Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 21
Текст из файла (страница 21)
. . , (fn , Un ) — цепочка элементов, в которой(fk , Uk ) и (fk−1 , Uk−1 ) являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга при всех k = 2, . . . , n В этом случае будем говорить, что(fn , Un ) является аналитическим продолжением элемента (f1 , U1 ) вдоль цепочки элементов.Сразу же отметим одно важное обстоятельство. Если (fn , Un ) является аналитическим продолжением элемента (f1 , U1 ) вдоль некоторой цепочки элементов и U1 ∩ Un 6= ∅, то вовсе не обязательно, чтобы (f1 , U1 ) и (fn , Un ) являлись непосредственным аналитическим продолжением друг друга. Например,рассмотрим круги Uk , k = 0, 1, 2, единичного радиуса с центрами в точкахak = ei2kπ/3 , а в качестве функций fk выберем регулярные ветви многозначной√функции { z} в этих кругах с условиями fk (ak ) = eikπ/3 .
Тогда, как легкоубедиться, пары элементов (f0 , U0 ), (f1 , U1 ) и (f1 , U1 ), (f2 , U2 ) являются непосредственными аналитическими продолжениями друг друга, но f0 (z) 6= f2 (z) впересечении U0 ∩ U2 .С другой стороны, если (f3 , U3 ) является аналитическим продолжением элемента (f1 , U1 ) вдоль цепочки элементов (f1 , U1 ), (f2 , U2 ), (f3 , U3 ) иU1 ∩ U2 ∩ U3 6= ∅,то (f1 , U1 ), (f3 , U3 ) должны быть непосредственным аналитическим продолжением друг друга в силу теоремы единственности.В этом параграфе нам не нужно требование гладкости кривых (или путей).Кроме того, в качестве промежутка изменения параметра для удобства будембрать отрезок [0, 1].Определение 14.4.
Пусть γ — путь с параметризацией z = z(t), 0 6 t 6 1.Если существует такое разбиение 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1 и такая цепочка элементов (f1 , U1 ), . . . , (fn , Un ), что (fk , Uk ), (fk+1 , Uk+1 ) являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга для всех k = 1, . . . , n − 1 иz(t) ∈ Uk при t ∈ [tk−1 , tk ] для всех k = 1, . . . , n, то будем говорить, что (fn , Un )является аналитическим продолжением элемента (f1 , U1 ) вдоль пути γ.Теорема 14.2.
Пусть (f, U ) — элемент и γ — путь с начальной точкойz0 ∈ U и конечной точкой z1 . Допустим, что (f1 , U1 ), . . . , (fn , Un ) и (g1 , V1 ),. . ., (gm , Vm ) — две цепочки элементов, осуществляющих аналитическое продолжение элемента (f, U ) вдоль пути γ. Тогда (fn , Un ) и (gm , Vm ) являютсянепосредственным аналитическим продолжением друг друга.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП101Доказательство. Пусть γ : z = z(t), 0 6 t 6 1, и цепочке (f1 , U1 ), .
. .,(fn , Un ) соответствует разбиение 0 = t0 < t1 < . . . < tn = 1, а цепочке (g1 , V1 ),. . ., (gm , Vm ) соответствует разбиение 0 = s0 < s1 < . . . < sm = 1. По условиюf1 (z) = f (z) = g1 (z) в U = U1 = V1 и точка z(1) = z1 принадлежит пересечениюUn ∩ Vm . Теорема будет доказана, если показать, что в случае, когда отрезки[ti−1 , ti ] и [sj−1 , sj ] имеют непустое пересечение, элементы (fi , Ui ) и (gj , Vj ) являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга.Допустим противное и пусть пара индексов (i, j) имеет минимальную суммуi + j среди тех, которые удовлетворяют условиям: [ti−1 , ti ] ∩ [sj−1 , sj ] 6= ∅ и(fi , Ui ), (gj , Vj ) не являются прямым аналитическим продолжением друг друга.Пусть для определенности sj−1 6 ti−1 . Тогда i > 2 (в противном случае ti−1 =sj−1 = 0) и sj > ti−1 .
Следовательно,z(ti−1 ) ∈ Ui−1 ∩ Ui ∩ Vj .Но тогда [sj−1 , sj ] ∩ [ti−2 , ti−1 ] 6= ∅ и в силу свойства минимальности суммыi + j элементы (fi−1 , Ui−1 ), (gj , Vj ) являются непосредственным аналитическимпродолжением друг друга. С другой стороны, (fi−1 , Ui−1 ) и (fi , Ui ) являютсянепосредственным аналитическим продолжением друг друга по определениюаналитического продолжения вдоль пути. Учитывая также, чтоUi−1 ∩ Ui ∩ Vj 6= ∅,приходим к заключению, что (fi , Ui ) и (gj , Vj ) являются непосредственным аналитическим продолжением друг друга. Полученное противоречие доказываеттеорему.Доказанная теорема показывает, что аналитическое продолжение элемента(f, U ) вдоль пути γ приводит к единственной функции, голоморфной в окрестности концевой точки пути γ.
Поэтому будем обозначать fγ эту функцию.Определение 14.5. Пусть D — область и γ0 : z = ϕ0 (t), γ1 : z = ϕ1 (t), 0 6t 6 1, — два пути в D с общими концами ϕ0 (0) = ϕ1 (0) = z0 , ϕ0 (1) = ϕ1 (1) = z1 .Будем говорить, что γ0 и γ1 гомотопны в D, если существует непрерывноеотображениеΦ : [0, 1] × [0, 1] → Dтакое, что Φ(0, t) = ϕ0 (t), Φ(1, t) = ϕ1 (t) для всех t ∈ [0, 1] и Φ(s, 0) = z0 ,Φ(s, 1) = z1 для всех s ∈ [0, 1]. В этом случае Φ называется гомотопией путейγ0 и γ1 .Гомотопию можно рассматривать как непрерывную деформацию кривой γ0 вкривую γ1 в области D.
Гомотопия осуществляет эту деформацию посредствомкривых γs : z = Φ(s, t), 0 6 t 6 1.Теорема 14.3. Любые два пути с общими концевыми точками в односвязной области гомотопны.Доказательство. Пусть γ0 : z = ϕ0 (t), γ1 : z = ϕ1 (t), 0 6 t 6 1, — два путив D с общими концевыми точками ϕ0 (0) = ϕ1 (0) = z0 и ϕ0 (1) = ϕ1 (1) = z1 .102В. В. ГОРЯЙНОВ, Е.
С. ПОЛОВИНКИНДопустим вначале, что D — выпуклая область. Тогда гомотопия Φ может бытьопределена равенствомΦ(s, t) = (1 − s)ϕ0 (t) + sϕ1 (t).В случае произвольной односвязной области D можно посредством конформного отображения f , которое существует в силу теоремы 13.5 Римана, отобразить D на единичный круг D. Образы f (γ0 ) и f (γ1 ) можно гомотопировать,поскольку D является выпуклой областью. Затем гомотопию путей f (γ0 ) иf (γ1 ) перевести обратным отображением f −1 в гомотопию γ0 и γ1 .Теорема 14.4. Пусть D — область в C и γ0 , γ1 — пути с общими концами z0 и z1 , гомотопные в D. Допустим также, что элемент (f, U ), U ⊂ D,z0 ∈ U , аналитически продолжается вдоль каждого пути γs , 0 6 s 6 1, которые определяет гомотопия.
Тогда результаты продолжения элемента (f, U )вдоль путей γ0 и γ1 совпадают, т. е. fγ0 (z) = fγ1 (z) в некоторой окрестноститочки z1 .Доказательство. Пусть Φ : [0, 1] × [0, 1] → D — гомотопия путей γ0 и γ1 .Как и выше, через γs , 0 6 s 6 1, будем обозначать путь с параметризациейz = Φ(s, t), 0 6 t 6 1. Покажем, что для каждого s0 ∈ [0, 1] найдется такоеδ > 0, что при всех s ∈ [0, 1], удовлетворяющих неравенству |s − s0 | < δ, аналитические продолжения элемента (f, U ) вдоль путей γs совпадают с аналитическим продолжением вдоль γs0 т.
е. fγs (z) = fγs0 (z) в некоторой окрестноститочки z1 .Допустим, что (f1 , U1 ), . . . , (fn , Un ) — цепочка элементов, осуществляющаяаналитическое продолжение (f, U ) вдоль пути γs0 , т. е. U1 = U , f1 (z) = f (z)при z ∈ U и z1 ∈ Un . Пусть также 0 = t0 < t1 < .
. . < tn = 1 — разбиениеотрезка [0, 1], при которомQk = {z = Φ(s0 , t) : tk−1 6 t 6 tk }содержится в круге Uk , k = 1, . . . , n. Поскольку Qk , k = 1, . . . , n, являютсякомпактными множествами, тоmin dist(Qk , ∂Uk ) = ε > 0.16k6nВ силу непрерывности функции Φ найдется такое δ > 0, что|Φ(s, t) − Φ(s0 , t)| < εпри всех t ∈ [0, 1] и |s − s0 | < δ. В частности, для всех k = 1, . . . , n и s,|s − s0 | < δ, будет выполняться условие Φ(s, t) ∈ Uk при t ∈ [tk−1 , tk ].
Этоозначает, что цепочка элементов (f1 , U1 ), . . . , (fn , Un ) осуществляет аналитическое продолжение (f, U ) и вдоль пути γs , т. е. fγs (z) = fγs0 (z) при z ∈ Un и|s − s0 | < δ.Пусть теперьG1 = {s ∈ [0, 1] : fγs (z) = fγ0 (z) в некоторой окрестности точки z1 },ЛЕКЦИИ ПО ТФКП103а G2 = [0, 1] \ G1 . По доказанному, если s1 ∈ G1 , то найдется δ1 > 0 такое,что s ∈ G1 при |s − s1 | < δ1 . Аналогично, если s2 ∈ G2 , то найдется δ2 > 0такое, что s ∈ G2 при |s − s2 | < δ2 . В силу связности отрезка [0, 1] одно измножеств G1 или G2 должно быть пустым.
Поскольку 0 ∈ G1 , то G2 = ∅ иfγ1 (z) = fγ0 (z) в некоторой окрестности точки z1 .Будем говорить, что два элемента (f1 , U1 ) и (f2 , U2 ) эквивалентны, еслиодин из другого получается аналитическим продолжением (вдоль некоторогопути). Очевидно, что такое определение эквивалентности является рефлексивным, симметричным и транзитивным.
Класс эквивалентности F элементовбудем называть полной аналитической функцией. Любой элемент (f, U ) из Fопределяет весь класс эквивалентности посредством аналитического продолжения.Допустим теперь, что D — некоторая область и в ней определена голоморфная функция f .
Если круг U содержится в D, то продолжения элемента (f, U )вдоль любого пути γ в D приводит к той же функции f . В этом случае можносказать, что элемент (f, U ) выделяет в D ветвь полной аналитической функцииF.Теорема 14.5. Пусть D — односвязная область и (f, U ) — элемент, который аналитически продолжается вдоль любого пути в области D. Тогда существует единственная голоморфная в D функция, которая совпадает с f вU.Доказательство. Пусть z0 — центр круга U и γz — путь в D с началом вточке z0 и концом в z ∈ D.
Через g(z) обозначим продолжение fγz (z) элемента(f, U ) вдоль пути γz . Из предыдущей теоремы следует, что g(z) не зависит отвыбора пути γz . Таким образом, функция g корректно определена, голоморфнав D и g(z) = f (z) при z ∈ U .Замечание 14.1. Эта теорема (а также предыдущая) называется теоремой о монодромии. Ее содержание можно сформулировать также следующимобразом.
Полная аналитическая функция, которая допускает аналитическоепродолжение вдоль любого пути в односвязной области D, определяет в Dветвь, выделяемую некоторым элементом.Для полной аналитической функции возникает новый тип изолированныхособых точек по сравнению с теми, которые были изучены для однозначныхфункций, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
