Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 18
Текст из файла (страница 18)
В случае конечных точек, т. е. когда z1 , z2 , z3 ∈ C, отображение T определяется равенствомz − z2z1 − z2T (z) =.z − z3z1 − z387ЛЕКЦИИ ПО ТФКПВ случае, когда одна из точек z1 , z2 или z3 является бесконечно удаленной,требуемое отображение получается из приведенной выше формулы соответствующим предельным переходом z − z2,если z1 = ∞,z − z3z −z13,если z2 = ∞,T (z) =z−z3 z − z2 ,если z3 = ∞.z1 − z2Остается доказать единственность отображения. Допустим, что S — дробно-линейное преобразование с теми же свойствами.
Тогда дробно-линейное преобразование L = S ◦ T −1 оставляет неподвижными точки 1, 0 и ∞. Из условияL(∞) = ∞ следует, что в представлении (13.1) коэффициент c должен равняться нулю. Поэтому L должно иметь вид L(z) = az + b. Используя теперьусловия L(0) = 0 и L(1) = 1, приходим к заключению, что L(z) ≡ z. Отсюдаследует тождество S(z) ≡ T (z).Определение 13.1. Под ангармоническим отношением четырех различных точек z1 , z2 , z3 , z4 в C понимается образ точки z1 при отображении ее посредством дробно-линейного преобразования T , которое удовлетворяет условиям T (z2 ) = 1, T (z3 ) = 0, T (z4 ) = ∞.
При этом используется обозначениеT (z1 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 ).Заметим, что если все четыре точки z1 , z2 , z3 , z4 конечны, тоz1 − z3z2 − z3(z1 , z2 , z3 , z4 ) =.z1 − z4z2 − z4Важность ангармонического отношения обусловлена уже тем, что оно являетсяинвариантом при дробно-линейном преобразовании.Теорема 13.1. Пусть z1 , z2 , z3 , z4 — четыре различные точки в C и L ∈ M.Тогда(L(z1 ), L(z2 ), L(z3 ), L(z4 )) = (z1 , z2 , z3 , z4 ).Доказательство. Пусть T (z) = (z, z2 , z3 , z4 ), т.
е. T ∈ M и T (z2 ) = 1,T (z3 ) = 0, T (z4 ) = ∞. Тогда S = T ◦ L−1 обладает свойством S(L(z2 )) = 1,S(L(z3 )) = 0 и S(L(z4 )) = ∞. По определению ангармонического отношенияимеем(L(z1 ), L(z2 ), L(z3 ), L(z4 )) = S(L(z1 )) = T ◦L−1 ◦L(z1 ) = T (z1 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 )и теорема доказана.Замечание 13.1. Для любых различных трех точек z1 , z2 , z3 в z-плоскостии различных трех точек w1 , w2 , w3 в w-плоскости существует единственноедробно-линейное преобразование L, для которогоL(z1 ) = w1 ,L(z2 ) = w2 ,L(z3 ) = w3 .88В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЭто отображение можно найти, разрешив равенство(w, w1 , w2 , w3 ) = (z, z1 , z2 , z3 )относительно w.Круговое свойствоПри стереографической проекции каждой окружности на сфере Римана вкомплексной плоскости C соответствует окружность или прямая. Поэтомупод окружностью в C в дальнейшем будем понимать окружность или прямую.Другими словами, прямая — это окружность в C проходящая через бесконечноудаленную точку. Оказывается, что семейство окружностей в C преобразуетсяпосредством дробно-линейных преобразований в себя.Предложение 13.4. Прообразом вещественной оси при отображении L :C 7→ C, L ∈ M, является окружность в C (т.
е. окружность или прямая).Доказательство. Пусть L определяется равенством (13.1) с условием (13.2)на коэффициенты. Условие z ∈ L−1 (R) можно записать в виде равенстваIm L(z) = 0 илиaz + b az + b−= 0.cz + d cz + dПоследнее равенство можно переписать в эквивалентном виде(ac − ac)|z|2 + (ad − bc)z + (bc − ad)z + (bd − bd) = 0.(13.3)Если ac − ac = 0, то уравнение (13.3) принимает видIm{(ad − bc)z} = Im{bd},т. е. определяет в комплексной z-плоскости прямую.Допустим теперь, что ac − ac 6= 0 Тогда уравнение (13.3) можно записать ввиде|z|2 − Az − Az + B = 0или|z − A|2 = |A|2 − B,гдеA =Замечая также, чтоad − bc,ac − ac|A|2 − B =B =bd − bd.ac − ac|ad − bc|2> 0,|ac − ac|2приходим к выводу о том, что уравнение (13.3) определяет окружность.Предложение 13.5. Различные четыре точки z1 , z2 , z3 , z4 лежат на одной окружности в C в том и только том случае, еслиIm(z1 , z2 , z3 , z4 ) = 0.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП89Доказательство.
Пусть T — дробно-линейное преобразование, удовлетворяющее условиям T (z2 ) = 1, T (z3 ) = 0, T (z4 ) = ∞, а C — окружность в C,проходящая через точки z2 , z3 , z4 . В силу предыдущего предложения прообразом вещественной оси при отображении T будет окружность в C. Посколькуточки 1, 0 и ∞ расположены на вещественной оси, то этим прообразом будетокружность C. Но тогда точка z1 будет принадлежать окружности C в том итолько случае, если T (z1 ) ∈ R, т. е.
T (z1 ) = (z1 , z2 , z3 , z4 ) вещественно.Теорема 13.2. При дробно-линейном преобразовании окружности в C переходят в окружности в C.Доказательство. Пусть L — произвольное дробно-линейное преобразование и C — окружность в C. Выберем на C три различные точки z1 , z2 , z3 и пустьC ∗ — окружность в w-плоскости, которая проходит через точки L(z1 ), L(z2 ),L(z3 ). Для любого z ∈ C в силу инвариантности ангармонического отношенияотносительно дробно-линейного преобразования будет выполняться равенство(L(z), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )) = (z, z1 , z2 , z3 ).Из предыдущего предложения следует, что z ∈ C в том и только том случае,когда правая часть последнего равенства вещественна. Аналогично, L(z) ∈ C ∗в том и только том случае, когда левая часть этого же равенства вещественна.Таким образом, z ∈ C в том и только том случае, когда L(z) ∈ C ∗ , т.
е. L(C) =C∗.Принцип симметрии.Если дробно-линейное преобразование (13.1) определяется вещественнымикоэффициентами, то оно переводит вещественную ось на себя, а пару точекz и z, симметричных относительно вещественной оси, в пару точек, которые также будут симметричны относительно вещественной оси. Посколькудробно-линейные преобразования обладают круговым свойством, то естественно ожидать, что пары точек, симметричных относительно некоторой окружности в C будут переводиться дробно-линейным преобразованием в пары точек,симметричных относительно образа этой окружности.Предложение 13.6.
Пусть z1 , z2 , z3 — три различные точки в C и C —окружность (или прямая), проходящая через них. Тогда точки z и z ∗ симметричны относительно C в том и только том случае, если выполняетсясоотношение(z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ).(13.4)Доказательство. Пусть T — дробно-линейное преобразование, которое переводит точки z1 , z2 , z3 в 1, 0 и ∞, соответственно. Тогда условие (13.4) эквивалентно тому, что T (z ∗ ) = T (z), или z ∗ = T −1 (T (z)). Поэтому утверждениебудет доказано, если мы покажем, что равенство (13.4) влечет симметрию точек z и z ∗ относительно C.
Выделим в доказательстве этого два случая.1). Пусть C является прямой, т. е. проходит через бесконечно удаленную точку. Тогда отношение (z1 − z2 )/(z1 − z3 ) вещественно и условие (13.4) принимаетвидz ∗ − z2z − z2=.z ∗ − z3z − z390В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНОтсюда следуют равенстваargz ∗ − z2z − z2= − arg,z ∗ − z3z − z3|z ∗ − z2 ||z − z2 |=,|z ∗ − z3 ||z − z3 |которые означают подобие треугольников с вершинами z ∗ , z2 , z3 и z, z2 , z3 . Поскольку эти треугольники имеют еще и общую сторону, то они равны.
Отсюдаследует симметричность z ∗ и z относительно прямой C, проходящей через точки z2 и z3 .2). Пусть теперь C — окружность с центром в точке a и радиуса R. Поскольку точки z1 , z2 , z3 лежат на C, то |zk − a| = R для k = 1, 2, 3. Используя это иинвариантность ангармонического отношения относительно дробно-линейныхпреобразований, соотношение (13.4) приводится к следующему виду(z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ) 2R2R2R2R,,,=z − a z1 − a z2 − a z3 − a 2R=, z1 − a, z2 − a, z3 − az−a 2R=+ a, z1 , z2 , z3 .z−aДругими словами,T (z ∗ ) = TR2+a .z−aПоскольку T однолистно, то отсюда следует, чтоz∗ =R2+az−aилиz∗ − a =Следовательно, для z и z ∗ выполняются соотношенияarg(z ∗ − a) = arg(z − a),R2.z−a|z ∗ − a| · |z − a| = R2 .Первое соотношение означает, что z и z ∗ лежат на одном луче, выходящемиз центра a окружности C, а второе равенство показывает, что произведениерасстояний от центра a до точек z и z ∗ равно квадрату радиуса окружности C.Таким образом, z и z ∗ являются симметричными относительно C.Теорема 13.3.
Пусть дробно-линейное преобразование L отображает окружность C в C в окружность C 0 в C, т. е. C 0 = L(C). Тогда каждая параточек z и z ∗ , симметричных относительно C, переводится в пару точек L(z)и L(z ∗ ), симметричных относительно C 0 .Доказательство. Пусть z1 , z2 , z3 — три различные точки на окружности C.Тогда L(z1 ), L(z2 ), L(z3 ) расположены на C 0 . Допустим теперь, что z и z ∗ — параточек, симметричных относительно C. В силу доказанного выше предложенияэто эквивалентно равенству(z ∗ , z1 , z2 , z3 ) = (z, z1 , z2 , z3 ).ЛЕКЦИИ ПО ТФКП91Однако, в силу инвариантности ангармонического отношения относительнодробно-линейных преобразований, это равенство влечет следующее(L(z ∗ ), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )) = (L(z), L(z1 ), L(z2 ), L(z3 )),которое эквивалентно условию симметричности точек L(z) и L(z ∗ ) относительно окружности C 0 .Прежде чем мы приступим к изучению других элементарных конформныхотображений, сделаем некоторые общие замечания.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
