Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть f — голоморфная в области D функция и f (z) 6= 0при z ∈ D. Тогда в области D можно выделить регулярную ветвь ln f (z) втом и только том случае, если для любой замкнутой кусочно-гладкой кривойγ, расположенной в D, выполняется условиеJ(f (γ), 0) = 0,или, что эквивалентно,∆γ arg f (z) = 0.(10.1)Доказательство. Допустим вначале, что F (z) — регулярная ветвь ln f (z)в области D, т.
е. F голоморфна в D и eF (z) ≡ f (z). Тогда F 0 (z) = f 0 (z)/f (z)и (f 0 (z)/f (z))dz — полный дифференциал в области D. Следовательно, длялюбой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ в области D будет выполнятьсяравенствоZ 0f (z)0 =dz = 2πiJ(f (γ), 0).f (z)γОбратно, допустим теперь, что J(f (γ), 0) = 0 для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ в D. Это эквивалентно тому, что (f 0 (z)/f (z))dz являетсяполным дифференциалом в D.
Поэтому существует первообразная F (z) дляf 0 (z)/f (z), которая определяется с точностью до аддитивной константы. Фиксируем некоторую точку a ∈ D и значение ln f (a) из Ln{f (a)}. Распорядимся аддитивной константой первообразной так, чтобы выполнялось равенствоF (a) = ln f (a). Заметим теперь, что0f (z)e−F (z) = e−F (z) (f 0 (z) − f (z)F 0 (z)) = 0для всех z ∈ D. Следовательно, f (z)e−F (z) ≡ const. При z = a имеемf (a)e− ln f (a) = 1. Таким образом, f (z)e−F (z) ≡ 1 и eF (z) ≡ f (z). Другимисловами, F (z) является регулярной ветвью в области D функции ln f (z).Следствие 10.1. Если f — голоморфная в области D функция, f (z) 6= 0при z ∈ D и выполняется условие (10.1), то для любого c ∈ C в области Dcможно выделить регулярную ветвь функции (f (z)) = ec ln f (z) .Следствие 10.2.
Если f — голоморфная в односвязной области D функцияи f (z) 6= 0 при z ∈ D, то в D можно выделить регулярные ветви функцийln f (z) и (f (z))c , c ∈ C.Действительно, поскольку D — односвязная область, а f 0 (z)/f (z) являетсяголоморфной в D функцией, то в силу теоремы КошиZ 0f (z)dz = 0f (z)γ64В. В.
ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНдля любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ, расположенной в D. Это означает выполнение условия (10.1) и возможность выделения регулярных ветвейфункций ln f (z) и (f (z))c , c ∈ C.Замечание 10.1. В условиях теоремы 10.1 регулярную ветвь ln f (z) в области D можно представить формулойZ 0f (ζ)ln f (z) = ln f (a) +dζ,(10.2)f (ζ)γzгде a — фиксированная точка области D, ln f (a) — некоторое значение из множества Ln{f (a)} и γz — кусочно-гладкая кривая, соединяющая точку a с точкойz в области D.Действительно, регулярная ветвь ln f (z) в области D выделяется как первообразная функции f 0 (z)/f (z). С другой стороны, при доказательстве теоремы 4.1 было показано, что первообразная может быть получена интегрированием по кусочно-гладким кривым с началом в некоторой фиксированной точкеa ∈ D и с концом в текущей точке z ∈ D.
Кроме того, учитывая геометрический смысл интеграла от логарифмической производнойZ 0 f (z) f (ζ) + i∆γz arg f (ζ),dζ = ln f (ζ)f (a) γzформулу (10.2) можно переписать в видеln f (z) = ln |f (z)| + i [θ + ∆γz arg f (ζ)] ,(10.3)где θ — некоторое фиксированное значение arg f (a), т. е. θ ∈ Arg{f (a)}.Замечание 10.2. Если D — односвязная область и 0 6∈ D, то в области Dможно определить ln z по формулеZdζln z = ln a += ln |z| + i [θ + ∆γz arg ζ] ,ζγzгде a ∈ D, ln a ∈ Ln{a}, γz — кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки a иz в D и θ ∈ Arg{a}.Замечание 10.3.
Все регулярные ветви ln f (z) в области D отличаютсядруг от друга на аддитивную постоянную 2kπi, k ∈ Z.Доказательство. Пусть F1 (z) и F2 (z) — две голоморфные в области Dфункции, удовлетворяющие условиюeF1 (z) ≡ eF2 (z) ≡ f (z).Тогда eF1 (z)−F2 (z) ≡ 1 и, следовательно,F1 (z) − F2 (z) ≡ k(z) · 2πi,где k(z) ∈ Z для всех z ∈ D.
Однако, из этого равенства видно, что k(z) —непрерывная функция, принимающая только целые значения. Это возможно,как следует из леммы ниже, лишь в случае, когда k(z) тождественно постоянна,т. е. k(z) ≡ k.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП65Лемма 10.1. Пусть k(z) — непрерывная в области D функция, котораяпринимает значения из множества K ⊂ C, удовлетворяющего условию |w0 −w00 | > d > 0 для всех w0 , w00 ∈ K, w0 6= w00 . Тогда k(z) ≡ const.Доказательство. Фиксируем a ∈ D и через G1 обозначим множество техточек z ∈ D, для которых k(z) = k(a). Пусть также G2 = D \ G1 .
В силунепрерывности функции k(z) каждая точка z0 из G1 входит в это множество снекоторой окрестностью. Действительно, для ε ∈ (0, d/2) найдется δ > 0 такое,что |k(z)−k(z0 )| < ε при z ∈ Oδ (z0 ). Поскольку k(z0 ) = k(a) и ε < d/2, то такжедолжно выполняться равенство k(z) = k(a) и, следовательно, Oδ (z0 ) ⊂ G1 .Таким образом, G1 — открытое множество. Аналогично устанавливается, чтои G2 является открытым множеством. Однако, G1 ∩ G2 = ∅ и D ⊂ G1 ∪ G2 .В силу связности D одно из множеств G1 или G2 должно быть пустым. Поусловию a ∈ G1 .
Следовательно, G2 = ∅ и D = G1 т. е. k(z) ≡ k(a).Теорема 10.2. Пусть f — голоморфная в области D функция и f (z) 6= 0при z ∈ D. Тогда pдля натурального числа n в области D можно выделитьрегулярную ветвь n f (z) в том и только том случае, если для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ, расположенной в D, выполняется условиеJ(f (γ), 0) = k · n,или, что эквивалентно,∆γ arg f (z) = k · n · 2π, (10.4)где k ∈ Z.pДоказательство. Допустим вначале, что g(z) — регулярная ветвь n f (z)в области D, т.
е. g голоморфна в D и (g(z))n ≡ f (z). Тогда g(z) 6= 0 в D и изравенства f 0 (z) = n(g(z))n−1 g 0 (z) следуетf 0 (z)g 0 (z)= n.f (z)g(z)Если γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая в области D, то Γ = f (γ) и Γ∗ =g(γ) также будут замкнутыми кусочно-гладкими кривыми, которые не проходят через начало координат. Из полученного выше равенства получаемZ 0Z 01f (z)1g (z)J(f (γ), 0) =dz = ndz = nJ(Γ∗ , 0),2πif (z)2πig(z)γγт.
е. выполняется условие (10.4), поскольку J(Γ∗ , 0) является целым числом.Обратно, допустим, что условие (10.4) выполняется для любой замкнутойкусочно-гладкой кривой γ, расположенной в области D. Фиксируем в областиD точку a и некоторое значение g(a) ∈ {(f (a))1/n }. Определим в области Dфункцию 1 Z f 0 (ζ) g(z) = g(a) expdζ ,nf (ζ) γzгде γz — кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки a и z в области D. Покажем, что g(z) корректно определена, голоморфна в D и выполняется равенство(g(z))n = f (z) для всех z ∈ D.66В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНДля корректности определения g(z) нам нужно показать, что ее значение независит от выбора кусочно-гладкой кривой γz , соединяющей точки a и z. Пустьγz∗ — другая такая кривая. Тогда γ = γz − γz∗ будет замкнутой кусочно-гладкойкривой в D. По условию теоремыZ 01f (ζ)dζ = J(f (γ), 0) = k · n,2πif (ζ)γгде k ∈ Z. В силу периодичности экспоненты 1 Z f 0 (ζ) dζ = e2kπi = 1.expnf (ζ) γИспользуя свойство аддитивности интеграла, получаем 1 Z f 0 (ζ) 1 Z f 0 (ζ) expdζ · exp −dζ = 1,nf (ζ) n ∗ f (ζ) γzγzоткуда следует корректность определения функции g(z).Для доказательства голоморфности функции g(z) выберем произвольно точку z0 ∈ D и окрестность Or (z0 ) ⊂ D. Поскольку Or (z0 ) является односвязнойобластью, а функция f 0 (z)/f (z) голоморфна, то (f 0 (z)/f (z))dz — полный дифференциал в Or (z0 ).
Первообразную h для f 0 (z)/f (z) в Or (z0 ) можно определить равенствомZf 0 (ζ)h(z) =dζ.f (ζ)[z0 ,z]Выбирая γz = γz0 + [z0 , z], приходим к равенству1g(z) = g(z0 )e n h(z) ,откуда следует голоморфность функции g в Or (z0 ). Поскольку точка z0 выбиралась произвольно, то g голоморфна в области D. Из представления g(z) вокрестности Or (z0 ) следует также, чтоg 0 (z) =1f 0 (z)1g(z)h0 (z) = g(z).nnf (z)Далее заметим, что функция f (z)(g(z))−n является голоморфной в области Dи в точке z = a принимает значение 1. Поскольку0f (z)(g(z))−n = f 0 (z)(g(z))−n − nf (z)(g(z))−n−1 g 0 (z)g 0 (z)−n0= (g(z))f (z) − nf (z) = 0g(z)для всех z ∈ D, то f (z)(g(z))−n ≡ 1 и (g(z))n ≡ f (z).67ЛЕКЦИИ ПО ТФКПЗамечание 10.4.
В условиях теоремы 10.2 регулярную ветвь g(z) функцииpnf (z) в области D можно получить по формуле 1 Z f 0 (ζ) g(z) = g(a) expdζ ,(10.5)nf (ζ) γzгде a ∈ D, g(a) ∈ {(f (a))1/n } и γz — кусочно-гладкая кривая, соединяющая вобласти D точки a и z. Принимая во внимание геометрический смысл интеграла отp логарифмической производной функции f , представление регулярнойветви n f (z) можно переписать в видеi(θ + ∆γz arg f (ζ)) ,g(z) = |f (z)|1/n exp(10.6)nгде θ ∈ Arg{f (a)}.pЗамечание 10.5. Все регулярные ветви функции n f (z) в области D отличаются друг от друга множителем ei2kπ/n , k = 0, 1, . . . , n − 1.Доказательство.Действительно, если g1 (z) и g2 (z) — две регулярные ветpви функции n f (z), тоng1 (z)≡ 1,g2 (z)откуда получаемg1 (z) ≡ κ(z)g2 (z),где κ(z) ∈ {ei2kπ/n : k = 0, 1, . .
. , n−1}. Из леммы 10.1 следует, что κ(z) ≡ const,и утверждение доказано.Пример 1. Исследоватьвопрос существования регулярных ветвей многоpзначной функции 4 z 3 (z + 1) в области D = C\E, где E — компактное связноемножество, содержащее точки z = 0 и z = −1 (например, E = [−1, 0]).Нам нужно проверить выполнимость условий теоремы 10.2 для функцииf (z) = z 3 (z + 1), n = 4, и области D = C \ E.
Поскольку точки z = 0 и z = −1не принадлежат области D, то f (z) 6= 0 при z ∈ D. Далее, пусть γ — замкнутаякусочно-гладкая кривая, расположенная в D. Рассматривая функцию f какпроизведение f (z) = f1 (z)f2 (z), где f1 (z) = z 3 и f2 (z) = z + 1, и применяялогарифмическое свойство индекса, получаемJ(f (γ), 0) = J(f1 (γ), 0) + J(f2 (γ), 0).Заметим теперь, чтоZ 0Z1f1 (z)3dzJ(f1 (γ), 0) =dz == 3J(γ, 0),2πif1 (z)2πizγJ(f2 (γ), 0) = J(γ, −1),γоткуда находим выражение для J(f (γ), 0):J(f (γ), 0) = 3J(γ, 0) + J(γ, −1).68В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНВ силу связности множества E точки z = 0 и z = −1 принадлежат одной и тойже компоненте связности C \ γ и по теореме 7.1 имеет место равенствоJ(γ, 0) = J(γ, −1) = k,где k ∈ Z. Таким образом,J(f (γ), 0) = 3k + k = 4k,т. е. условие (10.4) выполнено pи в области C \ E можно выделить регулярнуюветвь многозначной функции 4 z 3 (z + 1).10.2.
Разложение в ряды регулярных ветвей логарифма и корня.Рассмотрим теперь вопрос представления рядами Тейлора и Лорана регулярных ветвей (когда они существуют) многозначных функций ln f (z) и (f (z))a ,a ∈ C. Когда вводились элементарные функции, было показано, что для регулярной ветви ln(1+z), выделяемой в единичном круге D условием ln(1 + z)|z=0= 0, имеет место представлениеln(1 + z) =∞X(−1)n−1 nz .nn=1Поскольку другие регулярные ветви отличаются лишь слагаемым 2kπi, то дляних тейлоровское разложение в D будет иметь видln(k) (1 + z) = 2kπi +∞X(−1)n−1 nz ,nn=1k = 0, ±1, ±2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
