Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Фиксируем произвольноw∗ из Ȯ% (w0 ). Из условия выбора % следует, что|w0 − w∗ | < |f (z) − w0 |для всех z ∈ γ. Но тогда по теореме Руше́ функцииf (z) − w0иf (z) − w∗ = (f (z) − w0 ) + (w0 − w∗ )ЛЕКЦИИ ПО ТФКП75имеют в Or (z0 ) одинаковое число нулей с учетом их кратности. Однако, f (z) −w0 имеет в Or (z0 ) один нуль z = z0 порядка n. Поскольку f 0 (z) 6= 0 при z ∈Ȯr (z0 ), то все нули функции f (z)−w∗ в окрестности Or (z0 ) являются простыми.Таким образом, в Or (z0 ) содержится ровно n точек z1 , . .
. , zn , которые являютсярешениями уравнения f (z) = w∗ .Напомним, что голоморфная в области D функция f называется однолистной в этой области, если f (z1 ) 6= f (z2 ) при z1 6= z2 для любой пары точек z1 , z2из D. Функция f называется локально однолистной в D, если для каждойточки z0 ∈ D найдется окрестность Or (z0 ), в которой f однолистна.Замечание 11.1. Из теоремы о локальной структуре отображения следует,что необходимым и достаточным условием локальной однолистности функцииf в области D является необращение в нуль производной, т.
е. условие f 0 (z) 6= 0в D. Достаточность этого условия была доказана ранее, как следствие теоремыоб обратном отображении.Теорема 11.5. [Принцип открытости или сохранения области.] Непостоянная голоморфная функция f переводит открытые множества в открытые, а область — в область.Доказательство. Пусть f голоморфна в области D и f (D) = G. Еслиw0 ∈ G, то в D найдется такое z0 , что f (z0 ) = w0 . Поскольку f (z) 6≡ const,то найдется такое натуральное n, что f (n) (z0 ) 6= 0. Но тогда по теореме 11.4найдутся окрестности Or (z0 ) и O% (w0 ) такие, что O% (w0 ) ⊂ f (Or (z0 )) ⊂ G. Следовательно, G — открытое множество. Связность множества G следует из того,что при непрерывных отображениях связные множества переходят в связные.Теорема 11.6.
[Принцип максимума модуля.] Пусть f — непостояннаяголоморфная в области D функция. Тогда максимум модуля |f (z)| а также максимумы и минимумы вещественной Re f (z) и мнимой Im f (z) частейфункции f не могут достигаться во внутренних точках области D.Доказательство. Допустим, что в точке z0 ∈ D достигается максимум модуля функции f , т. е. |f (z)| 6 |f (z0 )| для всех z ∈ D. Тогда G = f (D) должнасодержаться в круге |w| 6 |f (z0 )|. С другой стороны, точка w0 = f (z0 ) лежитна границе этого круга, а по теореме 11.5 G является открытым множествоми, следовательно, найдется такое % > 0, что O% (w0 ) ⊂ G.
Однако в O% (w0 ) найдется точка w1 , для которой |w1 | > |w0 |, а в области D найдется точка z1 , длякоторой f (z1 ) = w1 , т. е. |f (z1 )| > |f (z0 )|. Получили противоречие предположению о максимальности |f (z0 )|. Аналогично устанавливаются утверждения омаксимуме и минимуме вещественной и мнимой частей функции f .Принцип максимума модуля имеет многочисленные приложения в анализе.Например, решение задачи о том, в какой точке квадрата достигается максимум произведения четырех расстояний от точки до вершин квадрата, существенно упрощается с применением принципа максимума модуля голоморфнойфункции. Следующая теорема также является следствием этого принципа.76В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТеорема 11.7. [Лемма Шварца.] Пусть голоморфная в единичном кругеD = {z ∈ C : |z| < 1} функция f удовлетворяет условиям: f (0) = 0 и |f (z)| 6 1при z ∈ D. Тогда для всех z ∈ D выполняется неравенство|f (z)| 6 |z|(11.2)|f 0 (0)| 6 1.(11.3)и, кроме того,При этом знак равенства в (11.2) при z 6= 0 или в (11.3) достигается лишь вслучае f (z) = eiθ z, где θ ∈ R.Доказательство. В силу сделанных в условии теоремы предположенийфункция ϕ(z) = f (z)/z голоморфна в D \ {0} и в точке z = 0 имеет устранимуюособенность. Полагая ϕ(0) = f 0 (0), получаем голоморфную в D функцию ϕ.При этом для каждого r ∈ (0, 1) в силу принципа максимума модуля имеемmax |ϕ(z)| = max |ϕ(z)| =|z|6r|z|=r11max |f (z)| 6 .r |z|=rrТаким образом, если z ∈ D фиксировано, то для r ∈ (|z|, 1) будет выполнятьсянеравенство |ϕ(z)| 6 1/r.
Осуществляя в этом неравенстве предельный переходпри r → 1, получаем |ϕ(z)| 6 1. Это эквивалентно неравенству |f (z)| 6 |z|.Кроме того, |ϕ(0)| = |f 0 (0)| 6 1.Допустим теперь, что для z0 6= 0 из D выполняется равенство |f (z0 )| = |z0 |.Это означало бы, что |ϕ(z0 )| = 1. Но тогда в силу принципа максимума модуляϕ(z) ≡ eiθ , θ ∈ R, или, что эквивалентно, f (z) ≡ eiθ z. В случае равенствав (11.3) выполнялось бы равенство |ϕ(0)| = 1 и мы снова приходим к видуфункции f (z) ≡ eiθ z.Конформность.Рассмотрим голоморфную в области D функцию f . Допустим, что в точке z0 ∈ D не обращается в нуль производная f 0 (z0 ) 6= 0. Тогда, как следуетиз теоремы о локальной структуре отображения, найдется окрестность Or (z0 ),в которой f однолистна.
Пусть γ : z = z(t), α 6 t 6 β, — гладкий путь (т. е.z 0 (t) 6= 0) в Or (z0 ), проходящий через точку z0 , т. е. z(t0 ) = z0 при некоторомt0 ∈ (α, β). Его образ Γ : w = f (z(t)), α 6 t 6 β, при отображении w = f (z)также является гладким путем, проходящим через точку w0 = f (z0 ). Действительно, w0 (t) = f 0 (z(t))z 0 (t) 6= 0 при t ∈ (α, β). В частности,w0 (t0 ) = f 0 (z0 )z 0 (t0 ).(11.4)Исследуем значение этого равенства.Вначале заметим, что ∆w = w(t) − w(t0 ) — секущая для кривой Γ, проходящая через точку w0 , а ∆z = z(t)−z(t0 ) — соответствующая секущая для кривойγ, проходящая через точку z0 .
При этом ∆w = f 0 (z0 )∆z + o(|∆z|) иlim∆z→0|∆w|= |f 0 (z0 )|.|∆z|ЛЕКЦИИ ПО ТФКП77Геометрически это означает, что |f 0 (z0 )| является коэффициентом искажениядлины в точке z0 при отображении f . Причем он не зависит от направленияпути, проходящего через точку z0 , т. е. все пути в точке z0 имеют один и тотже коэффициент искажения длины.
Образно это можно сформулировать както, что бесконечно малая“ окружность с центром в точке z0 переходит в бес””конечно малую“ окружность с центром в точке w0 = f (z0 ). Таким образом,геометрический смысл модуля производной в точке — это коэффициент искажения длин в этой точке. Ранее мы видели, что |f 0 (z0 )|2 является якобианомотображения w = f (z), т. е. коэффициентом искажения площади.Поскольку касательная к гладкой кривой является предельным положениемсекущей, то arg z 0 (t0 ) выражает угол, который образует касательная к кривойγ в точке z0 с положительным направлением вещественной оси. Аналогичноезначение имеет arg w0 (t0 ) в w-плоскости. При соответствующем выборе ветвиаргумента из равенства (11.4) получаемarg w0 (t0 ) = arg f 0 (z0 ) + arg z 0 (t0 ).Таким образом, геометрический смысл arg f 0 (z0 ) — это угол поворота направления направления касательной к гладкой кривой γ в точке z0 при отображениипосредством f .
Этот угол не зависит от выбора кривой γ, проходящей черезточку z0 . Поэтому, если γ и γ ∗ — две кривые, проходящие через точку z0 ипересекающиеся в этой точке под углом α, то их образы Γ = f (γ) и Γ∗ = f (γ ∗ )будут пересекаться в точке w0 под тем же углом α. Это свойство называютконсерватизмом углов или конформностью отображения w = f (z) в точке z0 .Теорема 11.8. Пусть w = f (z) определена в области D и непрерывно дифференцируема в вещественном смысле. Тогда f является конформным в точке z0 ∈ D в том и только том случае, если она дифференцируема в комплексном смысле в этой точке и f 0 (z0 ) 6= 0.Доказательство.
Условие непрерывной дифференцируемости в вещественном смысле отображения w = f (z) означает, что координатные функции u(x, y)и v(x, y), где z = x + iy, w = u + iv, имеют непрерывные частные производные. То, что из дифференцируемости f в комплексном смысле и условияf 0 (z0 ) 6= 0 следует конформность (консерватизм углов) в точке z0 было показано выше. Допустим теперь, что отображение f конформно в точке z0 .Если γ : z = z(t), α 6 t 6 β, — гладкий путь, проходящий через точку z0 , т.
е.z(t0 ) = z0 , t0 ∈ (α, β), то производную от функции w = f (z(t)) можно записатьв виде∂f∂fw0 (t0 ) =(z0 )x0 (t0 ) +(z0 )y 0 (t0 ),∂x∂yгде∂f∂u∂v∂f∂u∂v=+i ,=+i .∂x∂x∂x∂y∂y∂yВыражая x0 (t) и y 0 (t) через z 0 (t) = x0 (t) + iy 0 (t), равенство для w0 (t0 ) можнопереписать в виде1 ∂f∂f1 ∂f∂f00w (t0 ) =−iz (t0 ) ++iz 0 (t0 ).2 ∂x∂y2 ∂x∂y78В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНПоскольку путь γ гладкий, то z 0 (t0 ) 6= 0 и из последнего равенства получаемw0 (t0 )1=z 0 (t0 )2∂f∂f−i∂x∂y1+2∂f∂f+i∂x∂yz 0 (t0 ).z 0 (t0 )(11.5)Конформность в точке z0 отображения w = f (z) означает, что arg{w0 (t0 )/z 0 (t0 )}не зависит от arg z 0 (t0 ). С другой стороны, выражение z 0 (t0 )/z 0 (t0 ) принимаетвсе значения eiθ , 0 6 θ 6 2π, когда меняется направление касательной z 0 (t0 ) ккривой γ в точке z0 (при повороте γ в точке z0 ). Поэтому из равенства (11.5)видно, что конформность отображения w = f (z) в точке z0 возможна лишь вслучае выполнения равенства∂f∂f+i= 0,∂x∂yкоторое эквивалентно условиям Коши— Римана.
Кроме того, поскольку гладкие кривые преобразуются при отображении w = f (z) в гладкие кривые, товыполняется условие f 0 (z0 ) 6= 0.Замечание 11.2. Из равенства (11.5) также следует, что условие независимости коэффициента искажения длины |w0 (t0 )/z 0 (t0 )| от направления пути γвлечет одно из соотношений∂f∂f+i= 0∂x∂yили∂f∂f−i= 0.∂x∂yПервое из них, как было отмечено выше, эквивалентно условиям Коши— Римана. Второе соотношение выражает тот факт, что функция f (z) являетсядифференцируемой в комплексном смысле в точке z0 .Конформность в расширенной комплексной плоскости.При рассмотрении конформных отображений f областей в расширеннойкомплексной плоскости C нужно распространить понятие конформности наслучаи, когда область определения или область значений (или обе) отображения f содержат бесконечно удаленную точку.Допустим вначале, что конечная точка a отображается посредством голоморфной функции f в бесконечно удаленную точку, т.
е. f (z) → ∞ при z → a.Это означает, что z = a является полюсом для функции f . Функция g(z) =1/f (z) будет иметь точку z = a в качестве устранимой особой точки. Кроме того, полагая g(a) = 0, получаем голоморфную в окрестности точки a функциюg. Конформность отображения g (а, следовательно, и f ) в точке a эквивалентна условию g 0 (a) 6= 0. Это означает, что функция f должна иметь в точке z = aпростой полюс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
