Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пусть T — положительно ориентированнаяединичная окружность и T : z = eiθ , 0 6 θ 6 2π, — ее параметризация. Тогдана T будут выполняться следующие соотношения1111dz = izdθ,cos θ =z+,sin θ =z−2z2izи, следовательно,Z Z2π1111dz=R(cos θ, sin θ)dθ.Rz+,z−2z2iziz0TЕсли рациональная функцияR1 (z) =1Rz 1111z+,z−2z2izот комплексной переменной z не имеет на T полюсов, тоZ2π1R(cos θ, sin θ)dθ =i0ZR1 (z)dz = 2πX|a|<1Tres R1 (z),z=aгде суммирование ведется по всем полюсам функции R1 , которые расположенывнутри единичного круга.

Такая запись суммы мотивирована тем, что вычетв точке голоморфности функции R1 равен нулю.II. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙРассмотрим теперь интеграл видаZ∞P (x)dx,Q(x)−∞где P (x) и Q(x) — полиномы степени m и n, соответственно. Будем считать,что они не имеют общих корней, т. е. дробь P/Q является несократимой. Длятого, чтобы сходился рассматриваемый интеграл, нужно, чтобы знаменательQ не имел вещественных корней и степень числителя P была меньше степенизнаменателя Q, по крайней мере, на 2, т. е.

n − m > 2.Лемма 9.1. Пусть P и Q — полиномы без общих корней степени m и n,соответственно. Допустим, что Q не имеет вещественных корней и n−m >2. ТогдаZ∞XP (x)P (z)dx = 2πires,z=aQ(x)Q(z)−∞Im a>057ЛЕКЦИИ ПО ТФКПгде суммирование ведется по всем нулям полинома Q, расположенным в верхней полуплоскости.Доказательство. Пусть a1 , . . . , an — нули полинома Q. Поскольку дробьP/Q является несократимой (P и Q не имеют общих нулей), то эти точки являются полюсами рациональной функции P/Q. Выберем R > 0 так, чтобы длявсех k = 1, . . . , n выполнялись неравенства |ak | < R.

Другими словами, все полюсы рациональной функции P/Q расположены в круге |z| < R. Рассмотримполуокружность ΓR : z = Reiθ , 0 6 θ 6 π, и отрезок λR : z = x, −R 6 x 6 R.Поскольку ΓR + λR образует положительно ориентированную границу полукруга DR = {z : |z| < R, Im z > 0}, то по теореме 9.2ZXP (z)P (z)dz = 2πires.z=aQ(z)k Q(z)k : Im ak >0ΓR +λRЗаметим, что при увеличении R правая часть этого равенства не меняется,поскольку вне круга |z| < R нулей полинома Q нет. С другой стороны,ZP (z)dz =Q(z)ZP (z)dz +Q(z)P (x)dx,Q(x)−RΓRΓR +λRZRZRlimR→∞−RP (x)dx =Q(x)Z∞P (x)dx.Q(x)−∞Далее, пусть P (z) = bm z m + . . .

+ b0 , Q(z) = cn z n + . . . + c0 , где bm 6= 0, cn 6= 0.Тогда для z ∈ ΓR имеем P (z) 1 |bm + bm−1 /z + . . . + b0 /z m | Q(z) = Rn−m |cn + cn−1 /z + . . . + c0 /z n | ,откуда с учетом неравенства n − m > 2 следует, что P (z) →0R · max z∈ΓR Q(z) при R → ∞. Но тогдаZZ P (z) P (z) 6 · |dz| 6 πR · max P (z) → 0dz Q(z) Q(z) z∈ΓR Q(z) ΓRΓRпри R → ∞.

В результате приходим к равенству из формулировки леммы.III. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛЕММЫ ЖОРДАНАИнтегралы видаZ∞P (x)sin xdx,Q(x)−∞Z∞P (x)cos xdxQ(x)−∞абсолютно расходятся, если знаменатель имеет степень всего на единицу вышестепени числителя.

С другой стороны, интегралZ∞−∞sin xdxx58В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНсходится условно. Для вычисления таких интегралов с помощью вычетов используется лемма Жордана.Лемма 9.2. [Жордана.] Пусть g — непрерывная на множестве {z : Im z >0, |z| > R0 } функция при некотором R0 > 0 . Допустим также, чтоmax |g(z)| → 0z∈ΓRпри R → ∞, где ΓR : z = Reiθ , 0 6 θ 6 π, — полуокружность. Тогда для любогоα > 0 выполняется соотношениеZg(z)eiαz dz = 0.limR→∞ΓRДоказательство. Для доказательства нашего утверждения достаточно показать, что интегралZ iαz e |dz| = RZπe−αR sin θZπ/2dθ = 2Re−αR sin θ dθ0ΓR0ограничен равномерно по R > 0. Поскольку sin θ является вогнутой на промежутке (0, π) функцией, то sin θ > 2θ/π при 0 6 θ 6 π/2.

Используя этонеравенство, получаемZπ/2Zπ/2−αR sin θedθ 6e−α2Rθ/π dθ =0π2αR0ZαRe−t dt 60π2αRZ∞e−t dt =π.2αR0Отсюда находим, чтоZ iαz e |dz| < π .αΓRЛемма Жордана применяется обычно к вычислению интегралов видаZ∞I1 =Z∞g(x) cos αxdx,I2 =−∞g(x) sin αxdx−∞где α > 0, а g(x) — рациональная функция, у которой степень знаменателялишь на единицу больше степени числителя. Для применения теории вычетоврассматриваетсяZ∞I = I1 + iI2 =g(x)eiαx dx−∞и строится замкнутая кривая, состоящая из отрезка λR : z = x, −R 6 x 6 R, иполуокружности ΓR : z = Reiθ , 0 6 θ 6 π. При достаточно больших значенияхR имеемZXg(z)eiαz dz = 2πires g(z)eiαz .ΓR +λRIm a>0z=a59ЛЕКЦИИ ПО ТФКПОднако, в силу леммы ЖорданаZg(z)eiαz dz → 0ΓRпри R → ∞.

ПоэтомуZg(z)eiαz dz → IλRпри R → ∞ и, следовательно,I = 2πiXIm a>0res g(z)eiαz .z=aПри этом I1 = Re I и I2 = Im I.IV. ДОЛЕВОЙ ВЫЧЕТ В ПРОСТОМ ПОЛЮСЕПусть a — изолированная особая точка функции f , т. е. f голоморфна вȮr (a) при некотором r > 0. Рассмотрим дугу окружности γ%,α : z = a + %eiθ ,θ0 6 θ 6 θ0 + α, где % ∈ (0, r) и α ∈ (0, 2π]. Если α = 2π, то γ%,α представляетсобой полную окружность γ% иZf (z)dz = i2π res f (z).z=aγ%В общем случае для интеграла вдоль γ%,α при α < 2π выражения через вычет нет. Однако, если a является простым полюсом (кратности 1), то можновычислить предел этого интеграла при % → 0.Лемма 9.3.

Пусть a — простой полюс функции f и γ%,α : z = a + %eiθ , θ0 6θ 6 θ0 + α — дуга окружности, содержащаяся в угловом секторе раствора α,0 < α < 2π. ТогдаZlim%→0γ%,αf (z)dz = iα res f (z).z=aДоказательство. Поскольку a является простым полюсом функции f , тов окрестности этой точки разложение f в ряд Лорана имеет вид f (z) = c−1 (z −a)−1 + c0 + c1 (z − a) + .

. ., c−1 6= 0. Следовательно, в этой окрестности f (z) =c−1 (z − a)−1 + g(z), где g — голоморфная в полной окрестности точки a. НотогдаZZZdzf (z)dz = c−1+g(z)dz.z−aγ%,αγ%,αγ%,αПоскольку g(z) ограничена в окрестности точки a, тоZg(z)dz → 0γ%,α60В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНпри % → 0. Замечая также, чтоZγ%,αdz= iz−aθZ0 +αdθ = iα,θ0приходим к утверждению леммы.Приведем два примера применения доказанных лемм.Пример 1.

Доказать равенствоZ∞π2ln xdx =.−14x20В комплексной плоскости C с разрезом вдоль луча L = {z = iy : y 6 0}можно выделить регулярную ветвь логарифмаln z = ln |z| + i arg z,−π/2 < arg z < 3π/2,и рассмотреть функцию f (z) = ln z/(z 2 − 1). Эта функция имеет в C \ L двеизолированные особые точки z = ±1. Поскольку в окрестности точки z = 1выделенная ветвь логарифма имеет разложениеln z = ln(1 + (z − 1)) =∞Xn=1(−1)n−1(z − 1)n,nто для функции f (z) точка z = 1 является устранимой особой точкой. Точкаz = −1 является простым полюсом с вычетомres f (z) = limz=−1z→−1ln z1iπ= − ln(−1) = − .z−122Для больших R > 2 и малых ε < 1/4 рассмотрим область D(R, ε), котораяполучается из полукруга {z : |z| < R, Im z > 0} удалением множеств {z : |z| 6ε, Im z > 0} и {z : |z+1| 6 ε, Im z > 0}. Положительно ориентированная границаобласти D(R, ε) состоит из дуг:∂D(R, ε) = ΓR + λε1 − γ1ε + λε2 − γ2ε + λε3 ,где ΓR : z = Reiθ , 0 6 θ 6 π; λε1 : z = x, −R 6 x 6 −1 − ε; γ1ε : z = −1 + εeiθ ,0 6 θ 6 π; λε2 : z = x, −1 + ε 6 x 6 −ε; γ2ε : z = εeiθ , 0 6 θ 6 π; λε3 : z = x,ε 6 x 6 R.Поскольку f голоморфна на D(R, ε), то по теореме КошиZf (z)dz = 0,∂D(R,ε)61ЛЕКЦИИ ПО ТФКПΓRγ1εγ2ελε1λε2−R −1 −ε 0 ελε31RРис.

2. К примеру 1или, что эквивалентно,Z−1−εZZ−Rγ1εf (x)dx −f (z)dz +ΓRZ−εf (z)dz +−1+εf (x)dx −ZRZf (z)dz +γ2εf (x)dx = 0.εЗаметим, чтоpZ Z(ln R)2 + π 2 f (z)dz 6|f(z)|·|dz|6πR → 0R2 − 1ΓRΓRпри R → ∞. Поэтому, осуществляя предельный переход при R → ∞, получаем−1−εZ−∞ln |x| + iπdx +x2 − 1Z−ε−1+εln |x| + iπdx +x2 − 1Z∞εln xdx −2x −1Zγ1εf (z)dz −Zf (z)dz = 0.γ2εОтделяя в левой части равенства вещественную часть и выполняя в первыхдвух интегралах замену переменной, получаем1−εZZ∞Z∞ZZln xln xln xdx+dx+dx−Ref(z)dz+f(z)dz= 0.x2 − 1x2 − 1x2 − 1εεεε1+εγ1Далее,Z p(ln ε)2 + π 2πε → 0 f (z)dz 61−εγ2εпри ε → 0, а в силу доказанной выше леммыZπ2lim f (z)dz = iπ res f (z) =.ε→0z=−12γ1εγ262В. В.

ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТаким образом,Z∞20Z∞π2ln xdx−= 0,x2 − 120ln xπ2dx=.x2 − 14Пример 2. Вычислить интегралZ∞I =sin xdx.x−∞Заметим вначале, что функция f (z) = eiz /z голоморфна в C \ {0} и в точкеz = 0 имеет простой полюс с вычетомeiz= lim eiz = 1.z→0z=0 zresДля R > 1 и 0 < % < 1/2 рассмотрим кривые:ΓR : z = Reit , 0 6 t 6 π;λ%R = [−R, −%],γ% : z = %eit , 0 6 t 6 π;L%R = [%, R].Поскольку ΓR +λ%R −γ% +L%R является положительно ориентированной границейобласти D(R, %), в которой функция f (z) голоморфна, то по теореме КошиZZZZf (z)dz + f (z)dz − f (z)dz +f (z)dz = 0.λ%RΓRL%Rγ%В силу леммы ЖорданаZlimR→∞ΓRf (z)dz = 0.Поэтому при R → ∞ получаем равенствоZ−%eixdx +x−∞Z∞%eixdx =xZf (z)dz.γ%Приравнивая мнимые части в этом равенстве, приходим к соотношениюZ−%Z∞Zsin xsin xdx +dx = Imf (z)dz .xx−∞%γ%Наконец, осуществляя предельный переход при % → 0, получаемZ∞nosin xdx = Im iπ res f (z) = π.z=0x−∞63ЛЕКЦИИ ПО ТФКП§ 10.

Регулярные ветви логарифма и корней10.1. Условия существования регулярных ветвей. Основной вопрос,который изучается в этом параграфе, заключаетсяpв выяснении условий возможности выделения регулярной ветви ln f (z) и n f (z) для голоморфной вобласти D функции f . Очевидно, что нужно в качестве одного из условий потребовать необращение в нуль функции f в области D. Другие условия связаныс топологической структурой области D и ее образа f (D).Теорема 10.1.

Характеристики

Список файлов лекций