Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 7
Текст из файла (страница 7)
., образуют фундаментальную последовательность, а ее предел z ∗ принадлежит всем треугольникам∆n .Для произвольного ε > 0 выберем δ > 0 так, чтобы окрестность Oδ (z ∗ )содержалась в области D и при z ∈ Ȯδ (z ∗ ) выполнялось неравенство f (z) − f (z ∗ )0 ∗ − f (z ) < ε z − z∗или, что эквивалентно,|I(∆n )| >|f (z) − f (z ∗ ) − (z − z ∗ )f 0 (z ∗ )| < ε|z − z ∗ |.Пусть l — периметр треугольника ∆. Тогда периметр треугольника ∆n будетравен l · 2−n , n = 1, 2, . .
., и найдется такой номер N , что ∆n ⊂ Oδ (z ∗ ) приn > N . Выберем теперь n > N и, используя соотношенияZZdz = 0,(z − z ∗ )dz = 0,∂∆n∂∆nкоторые являются следствием того, что dz и (z − z ∗ )dz представляют собойполные дифференциалы в C, получаем Z ZZ ∗∗ 0 ∗|I(∆n )| = f (z)dz = (f (z) − f (z ) − (z − z )f (z ))dz 6 ε|z−z ∗ ||dz|. ∂∆n∂∆n∂∆nПоскольку z ∗ расположена внутри ∆n , то для z ∈ ∂∆n величина |z − z ∗ | непревышает периметра треугольника ∆n , т. е.
величины l · 2−n . Но тогда изспособа построения треугольников ∆n и полученного выше неравенства имеемZZ1εlεl2∗|I(∆)|6|I(∆)|6ε|z−z||dz|6|dz|=.n4n2n4n∂∆n∂∆nОтсюда следует неравенство |I(∆)| 6 εl2 , которое в силу произвольности ε > 0влечет равенство I(∆) = 0. Теорема доказана.29ЛЕКЦИИ ПО ТФКПТеорема 4.3. [Усиление леммы Гурса] Пусть D — область в комплекснойплоскости C и a ∈ D. Допустим также, что функция f голоморфна в D \{a}и непрерывна в D. Тогда для любого треугольника ∆, расположенного вместесо своим замыканием в D, имеет место равенство (4.4).Доказательство.
В случае, когда точка a лежит вне треугольника ∆,утверждение следует из теоремы 4.2. Если a является вершиной треугольника∆, то проведем следующие рассуждения. Пусть z1 , z2 , z3 — вершины треугольника ∆ и a = z1 . Тогда для λ ∈ (0, 1) рассмотрим разбиение ∆ на треугольники:∆1 с вершинами z1 , z20 , z30 , гдеz20 = (1 − λ)z1 + λz2 ,z30 = (1 − λ)z1 + λz3 ,∆2 с вершинами z2 , z20 , z30 и ∆3 с вершинами z2 , z30 , z3 .
ПосколькуZZZZf (z)dz =f (z)dz +f (z)dz +f (z)dz∂∆∂∆1∂∆2∂∆3и по доказанному последние два интеграла равны нулю, тоZZf (z)dz =f (z)dz.∂∆∂∆1ОднакоZf (z)dz 6 max |f (z)| · Length(∂∆1 ) = λ · max |f (z)| · Length(∂∆) → 0z∈∆z∈∆∂∆1при λ → 0.В случае, когда точка a лежит на одной из сторон треугольника ∆ или внутри его, доказательство утверждения сводится к предыдущему случаю посредством разбиения исходного треугольника, соединяя a с вершинами z1 , z2 , z3 .Теорема доказана.Теорема 4.4. Пусть D — выпуклая область в комплексной плоскости C иa ∈ D. Допустим также, что функция f голоморфна в D\{a} и непрерывна вD. Тогда f (z)dz — полный дифференциал в области D и для любой замкнутойкусочно-гладкой кривой γ, расположенной в области D, выполняется равенствоZf (z)dz = 0.γДоказательство. Поскольку D является выпуклым множеством, то длялюбого z ∈ D отрезок [a, z] содержится в D и мы можем определить функциюZF (z) =f (ζ)dζ.[a,z]Покажем, что F является первообразной для f в области D.
Действительно,если z0 ∈ D, то найдется окрестность Or (z0 ) ⊂ D и для любого z ∈ Ȯr (z0 )30В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНтреугольник ∆ с вершинами в точках a, z0 , z будет расположен в D. По теореме 4.3Zf (ζ)dζ = 0.∂∆С другой стороны, в силу свойства аддитивности интегралаZZZZZf (ζ)dζ = F (z0 ) − F (z) +f (ζ)dζ +f (ζ)dζ +f (ζ)dζ =∂∆[a,z0 ][z0 ,z][z,a]f (ζ)dζ[z0 ,z]и, следовательно, как и при доказательстве теоремы 4.1 имеем равенствоZf (ζ)dζ.F (z) − F (z0 ) =[z0 ,z]Поэтому, повторяя соответствующие рассуждения из доказательства теоремы 4.1, получаем дифференцируемость функции F и равенство F 0 (z0 ) = f (z0 ).Теорема доказана.Замечание 4.1.
Доказанная теорема означает, что если f голоморфна вобласти D, то локально f (z)dz является полным дифференциалом, посколькулюбая точка z0 из D принадлежит области вместе с некоторой окрестностьюOr (z0 ), которая является выпуклой. По доказанной теореме в этой окрестности можно определить первообразную F для f . С другой стороны, примерфункции f (z) = 1/(z − a), голоморфной в C \ {a},R показывает, что не для всехзамкнутых кривых γ в этой области интеграл γ dz/(z − a) равен нулю, т. е.
вэтом случае нельзя определить первообразную сразу во всей области.Замечание 4.2. При доказательстве теоремы использовалось лишь то, чтообласть D выпукла, функция f непрерывна в D и интеграл по границе любоготреугольника ∆, расположенного в D, равен нулю.§ 5. Интеграл КошиКак было показано в параграфе 3, сумма степенного ряда представляет собой голоморфную функцию в круге сходимости ряда. Другой способ полученияголоморфных функций дает следующая конструкция.Пусть γ — кусочно-гладкая кривая и ϕ — заданная на ней непрерывная функция. Тогда выражениеZ1ϕ(ζ)F (z) =dζ2πiζ −zγназывают интегралом Коши с плотностью ϕ.Теорема 5.1.
[Свойства интеграла Коши.] Пусть γ — кусочно-гладкая кривая и ϕ — непрерывная функция, определенная на γ. Тогда для каждого n =1, 2, . . . функцияZϕ(ζ)Fn (z; ϕ) =dζ(ζ − z)nγ31ЛЕКЦИИ ПО ТФКПявляется голоморфной в C \ γ, и выполняются равенстваFn0 (z; ϕ) = nFn+1 (z; ϕ).Доказательство. Докажем вначале непрерывность функции F1 . Пустьz0 — произвольная точка из C \ γ и δ > 0 выбрано меньше половины расстоянияот z0 до γ.
Тогда для z ∈ Oδ (z0 ) будем иметьZZϕ(ζ)dζ1|ϕ(ζ)||dζ|.|F1 (z; ϕ) − F1 (z0 ; ϕ)| = |z − z0 | 6 |z − z0 | 2δ 2 (ζ − z)(ζ − z0 ) γγОтсюда следует непрерывность F1 в точке z0 .Заметим теперь, что отношение приращенийZF1 (z; ϕ) − F1 (z0 ; ϕ)ϕ(ζ)ϕ(ζ)dζ= F1 z;=z − z0(ζ − z)(ζ − z0 )ζ − z0γимеет ту же структуру, что и F1 , но с плотностью ϕ(ζ)/(ζ −z0 ). Следовательно,она непрерывна в точке z0 иF1 (z; ϕ) − F1 (z0 ; ϕ)ϕϕlim= lim F1 z;= F1 z 0 ;= F2 (z0 ; ϕ).z→z0z→z0z − z0ζ − z0ζ − z0Таким образом, голоморфность функции F1 (z; ϕ) и равенство F10 (z; ϕ) = F2 (z; ϕ)доказаны.Воспользуемся теперь методом математической индукции и допустим, чтоголоморфность функции Fn−1 (z; ϕ) и равенство0Fn−1(z; ϕ) = (n − 1)Fn (z; ϕ)доказаны. Тогда из представленияZ 11−ϕ(ζ)dζFn (z; ϕ) − Fn (z0 ; ϕ) =(ζ − z)n(ζ − z)n−1 (ζ − z0 )γZZϕ(ζ)dζϕ(ζ)dζ+−n−1(ζ − z)(ζ − z0 )(ζ − z0 )nγγZϕ(ζ)dζ= (z − z0 )(ζ − z)n (ζ − z0 )γϕϕ+ Fn−1 z;− Fn−1 z0 ;ζ − z0ζ − z0следует непрерывность функции Fn (z; ϕ).
Действительно, ограниченность интеграла, который стоит множителем при (z−z0 ), устанавливается в окрестноститочки z0 как и при доказательстве непрерывности F1 , а непрерывность Fn−1имеем по предположению индукции. Далее, из равенстваϕϕ Fn−1 z;− Fn−1 z0 ;Fn (z; ϕ) − Fn (z0 ; ϕ)ϕζ − z0ζ − z0= Fn z;+,z − z0ζ − z0z − z032В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНдоказанной непрерывности Fn и предположений индукции получаем голоморфность функции Fn (z; ϕ) и выполнение соотношенияϕϕ0+ (n − 1)Fn z0 ;= nFn+1 (z0 ; ϕ).Fn (z0 ; ϕ) = Fn z0 ;ζ − z0ζ − z0Теорема доказана.Следствие 5.1.
Интеграл КошиF (z) =12πiZγϕ(ζ)dζζ −zпредставляет собой бесконечно дифференцируемую функцию в C\γ. При этомдля всех z ∈ C \ γ и n = 1, 2, . . . выполняются равенстваZϕ(ζ)n!dζ.(5.1)F (n) (z) =2πi(ζ − z)n+1γДоказательство. Прежде всего заметим, чтоF (z) =1F1 (z; ϕ).2πiПоэтому функция F является голоморфной в C \ γ иF 0 (z) =1F2 (z; ϕ).2πiФункция F2 (z; ϕ), а следовательно и F 0 (z), также является голоморфной иF 00 (z) =2!F3 (z; ϕ).2πiПо индукции получаем бесконечную дифференцируемость функции F и равенстваn!F (n) (z) =Fn+1 (z; ϕ),2πin = 1, 2, . .
., которые эквивалентны (5.1).Теорема 5.2. [Интегральная формула Коши для круга.] Пусть f — голоморфная в области D функция и круг Or (a) вместе со своим замыканиемсодержится в D. Тогда для всех z ∈ Or (a) выполняется равенствоZ1f (ζ)f (z) =dζ,2πiζ −zγrгде γr — положительно ориентированная граница круга Or (a).Доказательство. Пусть z ∈ Or (a) фиксировано и R > 0 такое, что r < Rи OR (a) ⊂ D.
Тогда функцияg(ζ) =f (ζ) − f (z)ζ −zЛЕКЦИИ ПО ТФКП33будет голоморфной в OR (a) \ {z} и g(ζ) → f 0 (z) при ζ → z. Следовательно, потеореме Коши для выпуклой области 4.4 имеет место равенствоZg(ζ)dζ = 0,γrкоторое можно записать в видеZZf (ζ)dζdζ = f (z).ζ −zζ −zγrγrВ силу свойств интеграла Коши функцияZdζϕ(z) =ζ −zγrявляется голоморфной в круге Or (a) иZdζ0ϕ (z) == 0,(ζ − z)2γrпоскольку dζ/(ζ −z)2 — полный дифференциал в C\{z}. Следовательно, ϕ(z) ≡const. в круге Or (a). С другой стороны,Zdζϕ(a) == 2πi,ζ −aγrкак было показано ранее. Таким образом, ϕ(z) ≡ 2πi в Or (a) и теорема доказана.Теорема 5.3.
Голоморфная в области D функция f является бесконечнодифференцируемой в этой области. При этом в круге Or (a), который содержится в области D вместе со своим замыканием, имеют место равенстваZn!f (ζ)dζf (n) (z) =,n = 1, 2 . . . ,(5.2)2πi(ζ − z)n+1γrгде γr — положительно ориентированная граница круга Or (a).Доказательство.
Пусть a ∈ D и Or (a) содержится в области D вместе сосвоей положительно ориентированной границей γr = ∂Or (a). Тогда интегральная формула Коши для функции f в Or (a) принимает видZ1f (ζ)f (z) =dζ.2πiζ −zγrЭто означает, что f (z) является интегралом Коши в круге Or (a) с плотностьюϕ(ζ) = f (ζ).
По следствию 5.1 функция f (z) является бесконечно дифференцируемой в Or (a), а формула (5.1) для производных принимает вид (5.2) иутверждение доказано.34В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЗамечание 5.1. Равенство (5.2) называется интегральной формулой Кошидля производных. Оно показывает, что не только сама голоморфная функция,но и ее производные, восстанавливаются внутри круга лишь по граничнымзначениям функции.Следующий результат по формулировке в некотором смысле является обратным к теореме Коши.Теорема 5.4. [Морера]. Пусть f — непрерывная в области D функция итакая, что для любого треугольника ∆, расположенного в D вместе со своимзамыканием, выполняется равенствоZf (z)dz = 0.∂∆Тогда f является голоморфной функцией в области D.Доказательство. Поскольку свойство голоморфности является локальным, то достаточно доказать, что при сделанных предположениях функцияf голоморфна в некоторой окрестности каждой точки области D.
Фиксируемпроизвольно a ∈ D и пусть Or (a) ⊂ D. Как и при доказательстве теоремы 4.4 Коши для выпуклой области (см. также замечание 4.2) с использованием предположения о равенстве нулю интеграла по границе любого треугольника, расположенного в Or (a), получаем утверждение о том, что f (z)dz являетсяполным дифференциалом в Or (a). Следовательно, f является голоморфной вOr (a), поскольку представляет собой производную от голоморфной функции.Теорема доказана.Теорема 5.5. [О среднем]. Пусть f — голоморфная в области D функцияи Or (a) ⊂ D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
