Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Заметим, чтоz 0 (t) является касательным вектором к кривой γ в точке z(t). Направлениевектора z 0 (t) согласовано с ориентацией кривой. Если существует параметризация z = z(t), α 6 t 6 β, кривой γ и разбиение α = t0 < t1 < . . . < tn = βотрезка [α, β] такие, что кривые γk , k = 1, .
. . , n, с параметризацией z = z(t),tk−1 6 t 6 tk , являются гладкими, то γ называется кусочно-гладкой кривой иписать γ = γ1 + . . . + γn . В основном, мы будем иметь дело с кусочно-гладкимикривыми.Пусть γ : z = z(t), α 6 t 6 β, — некоторая кривая в C.
Под ее длиной понимается величина( n)XLenght(γ) = sup|z(tk ) − z(tk−1 )| ,k=1где супремум берется по всем разбиениям α = t0 < t1 < . . . < tn = β отрезка [α, β]. Этот супремум не зависит от выбора параметризации и в случае,когда он конечен, кривая γ называется спрямляемой. Допустим теперь, чтоспрямляемая кривая γ расположена в области D ⊂ C, в которой также определена непрерывная комплекснозначная функция f . Для каждого разбиения24В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНα = t0 < t1 < . . . < tn = β рассмотрим два вида интегральных суммnXk=1nXf (z(τk ))(z(tk ) − z(tk−1 )),k=1f (z(τk ))|z(tk ) − z(tk−1 )|,где τk ∈ [tk−1 , tk ], k = 1, . . . , n. Обозначая z(t) = x(t) + iy(t), ∆xk = x(tk ) −x(tk−1 ), ∆yk = y(tk ) − y(tk−1 ), ∆zk = ∆xk + i∆yk , k = 1, . . . , n, а также f (z) =u(x, y) + iv(x, y), интегральные суммы можно записать в видеnXf (z(τk ))∆zk =k=1nX(u(x(τk ), y(τk ))∆xk − v(x(τk ), y(τk ))∆yk )k=1nX+inXk=1f (z(τk ))|∆zk | =(u(x(τk ), y(τk ))∆yk + v(x(τk ), y(τk ))∆xk ),k=1nXnXk=1k=1(u(x(τk ), y(τk ))|∆zk | + i(v(x(τk ), y(τk ))|∆zk |.Из теории криволинейных интегралов первого и второго рода следует существование пределов интегральных сумм при стремлении к нулю максимальнойдлины интервалов разбиения [tk−1 , tk ].
При этомnXk=1f (z(τk ))(z(tk ) − z(tk−1 )) →nXk=1Zudx − vdy + iγf (z(τk ))|z(tk ) − z(tk−1 )| →Zudy + vdx,γZZuds + iγvds.γЭти пределы мы будем обозначать соответственноZZf (z)dzиf (z)|dz|.γγВ случае, когда γ является кусочно-гладкой кривой, вычисление этих интегралов можно свести к линейным интегралам по параметризующему промежуткуZβZf (z)dz =γZβZ0f (z(t))z (t)dt,f (z)|dz| =αγf (z(t))|z 0 (t)|dt.αВажнейшим свойством этих интегралов является то, что их значение не зависитот выбора параметризации кривой γ.
Действительно, если ζ = ζ(τ ), α1 6 τ 6β1 , — эквивалентная параметризация кривой γ, т. е. ζ(τ ) = z(t(τ )), где t = t(τ ),α1 6 τ 6 β1 , является непрерывно дифференцируемой функцией, тоZβ0Zβ1f (z(t))z (t)dt =α00Zβ1f (z(t(τ )))z (t(τ ))t (τ )dτ =α1α1f (ζ(τ ))ζ 0 (τ )dτ.25ЛЕКЦИИ ПО ТФКПОтметим также некоторые свойства этих интегралов, которые непосредственноследуют из свойств криволинейных интегралов.Линейность. Если f и g — две непрерывные функции и a, b ∈ C, тоZZZ(af (z) + bg(z))dz = a f (z)dz + b g(z)dz.γγγАддитивность.
Если γ = γ1 + γ2 , тоZZZf (z)dz + f (z)dz.f (z)dz =γ2γ1γЗаметим, что в равенствах, выражающих свойства линейности и аддитивности,можно dz заменить на |dz|. Однако,ZZZZf (z)dz = − f (z)dz,f (z)|dz| = f (z)|dz|.−γ−γγγПрименяя неравенство треугольника к интегральным суммам и переходя к пределу, получаем также неравенствоZZ f (z)dz 6|f (z)||dz|.(4.1)γγСледует обратить внимание на то, что в левой и правой частях неравенства (4.1)стоят интегралы разные по структуре. Кроме того, посколькуZ|dz| = Length(γ),γтоZZ f (z)dz 6|f (z)||dz| 6 max |f (z)| · Length(γ).z∈γγγДругой аспект интегрального исчисления связан с рассмотрением интегрирования как операции, обратной дифференцированию. В связи с этим голоморфную в области D функцию F будем называть первообразной функции f ,если F 0 (z) = f (z) для всех z ∈ D.
Другими словами, существование первообразной в D для функции f означает, что f (z)dz является полным дифференциалом в области D. Это условие оказывается эквивалентным независимостиинтеграла от формы пути в области D, что можно также сформулировать какравенство нулю интеграла по любой замкнутой кривой в области D.Теорема 4.1. Пусть f — непрерывная в области D функция. Тогда имеютместо следующие утверждения:(i) Если f (z)dz является полным дифференциалом в области D, то длялюбой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ ⊂ D выполняется равенствоZf (z)dz = 0;(4.2)γ26В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С.
ПОЛОВИНКИН(ii) Если равенство (4.2) выполняется для любой замкнутой ломаной γ,расположенной в D, то f (z)dz является полным дифференциалом в области D.Доказательство. (i) Допустим, что f (z)dz является полным дифференциалом в области D, т. е. существует голоморфная в D функция F такая, чтоF 0 (z) = f (z) для всех z ∈ D. Если γ : z = z(t), α 6 t 6 β, — кусочно-гладкаякривая в области D, тоZβZf (z)dz =γ0Zβf (z(t))z (t)dt =αdF (z(t))dt = F (z(β)) − F (z(α)).dtαВ частности, если γ — замкнутая кривая, то z(β) = z(α) и выполняется равенство (4.2).(ii) Допустим теперь, что равенство (4.2) выполняется дляR любой замкнутойломаной γ, расположенной в D. Это означает, что интеграл λ f (z)dz не зависитот вида ломаной λ ⊂ D, а определяется лишь началом и концом этой ломаной.Фиксируем точку a ∈ D и определим функциюZF (z) =f (ζ)dζ,λzгде λz — ломаная, соединяющая в области D точку a с точкой z (т.
е. a — началоэтой ломаной, а z — ее конец). Из теоремы 2.3 и сделанных предположенийследует корректность определения функции F . Покажем, что она голоморфнав D и выполняется равенство F 0 (z) = f (z) для всех z ∈ D.Пусть z0 ∈ D и ε > 0. Поскольку D — открытое множество и f — непрерывная функция, то найдется такое δ > 0, что Oδ (z0 ) ⊂ D и |f (z) − f (z0 )| < εпри z ∈ Oδ (z0 ). Тогда для z ∈ Ȯδ (z0 ) в силу свойства аддитивности интегралабудем иметьZF (z) − F (z0 ) =f (ζ)dζ,[z0 ,z]где [z0 , z] — отрезок, соединяющий точки z0 и z. Далее, с учетом равенстваZf (z0 )dζ = (z − z0 )f (z0 )[z0 ,z]получаем ZZ F (z) − F (z0 )1ε− f (z0 ) =(f (ζ) − f (z0 ))dζ 6|dζ| = ε.
|z − z0 |z − z0|z − z0 | [z0 ,z][z0 ,z]Отсюда следует, чтоlimz→z0и теорема доказана.F (z) − F (z0 )= f (z0 ),z − z0ЛЕКЦИИ ПО ТФКП27Пример. Рассмотрим важный пример, к которому в дальнейшем мы будемнеоднократно обращаться. Пусть f (z) = (z − a)n . Если n является целым инеотрицательным, то функция F (z) = (z − a)n+1 /(n + 1) будет первообразнойдля f (z) во всей комплексной плоскости C. ПоэтомуZ(z − a)n dz = 0(4.3)γдля любой замкнутой кривой γ ⊂ C, если n = 0, 1, 2, .
. .. В случае n 6= −1 целогоотрицательного функция f (z) = (z − a)n будет голоморфной в C \ {a} и F (z) =(z − a)n+1 /(n + 1) будет ее первообразной в этой же области. Следовательно, ив этом случае равенство (4.3) будет выполняться для любой замкнутой кривойγ, не проходящей через точку a. Отдельно разберем случай n = −1. Допустимвначале, что замкнутая кривая γ расположена в C \ L, где L — луч, выходящийиз точки a на бесконечность. Поскольку в C \ L можно выделить непрерывнуюветвь arg(z − a) и, следовательно, ветвь F (z) = ln(z − a), то dz/(z − a) являетсяполным дифференциалом в C \ L. Таким образом, для такой кривой и n = −1снова выполнено равенство (4.3).Наконец, рассмотрим в качестве γ окружность с центром в точке a.
Будемсчитать, что окружность γ положительно ориентирована, т. е. при движении точки вдоль нее круг, ограниченный γ, остается слева. В дальнейшем вслучае таких простых областей, как круг, треугольник, прямоугольник, подположительно ориентированной границей будем понимать такой обход граничной кривой, когда ограниченная ею область остается слева. Часто такое определение положительно ориентированной границы распространяют вплоть дожордановых областей, хотя это не вполне строго. Положительной ориентацииокружности γ соответствует параметризация z = z(t) = a + reit , 0 6 t 6 2π, гдеr — радиус окружности γ.
При этом z 0 (t) = ireit иZγdz= iz−aZ2πdt = 2πi.04.2. Теорема Коши для выпуклой области. Существует несколько вариантов теоремы Коши, которые отличаются больше в топологическом плане,а не в аналитическом контексте. Поэтому естественно начать с более простойтопологической ситуации.Теорема 4.2. [Лемма Гурса] Пусть f — голоморфная в области D функцияи треугольник ∆ содержится в D вместе со своим замыканием. ТогдаZf (z)dz = 0,(4.4)∂∆где ∂∆ — положительно ориентированная граница треугольника ∆.RДоказательство.
Введем для удобства обозначение I(∆) = ∂∆ f (z)dz.Соединяя середины сторон треугольника ∆, разобьем его на четыре конгруэнтных треугольника ∆(1) , . . . , ∆(4) . Очевидно, чтоI(∆) = I(∆(1) ) + . . . + I(∆(4) ),28В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНпоскольку интегрирование вдоль каждой общей стороны двух смежных треугольников проводится в обоих направлениях, а потому сокращается.
Из последнего равенства следует, что среди ∆(1) , . . . , ∆(4) найдется треугольник, обозначим его ∆1 , для которого|I(∆1 )| >1|I(∆)| .4(1)(4)Теперь разобьем ∆1 на четыре конгруэнтных треугольника ∆1 , . . . , ∆1 и выберем из них ∆2 так, чтобы выполнялось неравенство11|I(∆1 )| > 2 |I(∆)| .44Продолжая этот процесс, получим последовательность вложенных треугольников ∆ ⊃ ∆1 ⊃ ∆2 ⊃ . . ., удовлетворяющих условию|I(∆2 )| >1|I(∆)|.4nЛегко видеть, что центры треугольников ∆n , n = 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
