Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точка, симметричная к a относительно мнимой оси, выражается в комплекснойзаписи как −a.Для геометрической интерпретации произведения комплексных чисел введем в комплексной плоскости полярные координаты. Если (r, ϕ) — полярныекоординаты точки (α, β), которую мы ассоциируем с комплексным числом a =α + iβ, тоα = r cos ϕ,β = r sin ϕ.Это приводит нас к тригонометрической форме записи комплексного числа a:a = r(cos ϕ + i sin ϕ).При этом r = |a|, а полярный угол ϕ (угол, который образует вектор a с положительным направлением вещественной оси) называется аргументом комплексного числа a 6= 0. Нулю аргумент не приписывается. В остальныхслучаях аргумент определяется неоднозначно. Действительно, замена ϕ наϕ + 2kπ, k ∈ Z, в тригонометрической форме записи дает то же самое комплексное число.
В связи с этим условимся через arg a обозначать некотороевыделенное значение аргумента, например из промежутка (−π, π], а множество всех значений аргумента обозначатьArg{a} = {arg a + 2kπ : k ∈ Z}.Рассмотрим теперь два комплексных числа a1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) и a2 =r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ). Их произведение записывается в видеa1 a2 = r1 r2 [(cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ2 cos ϕ1 )].6В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНИспользуя теоремы косинусов и синусов суммы углов, получаемa1 a2 = r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 )).То, что модули перемножаются при умножении комплексных чисел, мы видели из алгебраического определения модуля. Полученное выше равенство даеттакже правило сложения аргументов:Arg{a1 a2 } = Arg{a1 } + Arg{a2 },или в другой записиarg(a1 a2 ) = arg a1 + arg a2(mod 2π).Другими словами, при произведении комплексных чисел их аргументы складываются.Пусть теперь a = r(cos ϕ + i sin ϕ) 6= 0.
Тогда11111== (cos ϕ − i sin ϕ) = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)).ar cos ϕ + i sin ϕrrОтсюда и из доказанного свойства аргумента для произведения получаемnaoArg= Arg{a} − Arg{b},bт. е. при делении комплексных чисел аргументы вычитаются.Тригонометрическая форма записи комплексного числа позволяет дать полный анализ решений биномиального уравненияz n = a,a 6= 0, n ∈ N. Пусть a = r(cos ϕ + i sin ϕ). Решение z будем искать в видеz = ρ(cos θ + i sin θ). Из правила умножения комплексных чисел сразу жеполучаемz n = ρn (cos nθ + i sin nθ).В случае ρ = 1 это равенство принимает вид(cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθи носит имя Муавра. Таким образом, уравнение z n = a эквивалентно системеρn = r,nθ = ϕ + 2kπ,k ∈ Z,из которой следует, что все решения уравнения z n = a можно представитьформулой√ϕ 2kπϕ 2kπz = n r cos++ sin+,nnnnk = 0, 1, .
. . , n − 1. Это — все корни n-ой степени из числа a 6= 0. Они располо√жены на окружности с центром в начале координат и радиуса n r. В случаеa = 1 получаем корни n-ой степени из единицы: 1, ωn , ωn2 , . . . , ωnn−1 , гдеωn = cos2π2π+ i sin.nnЛЕКЦИИ ПО ТФКП71.3. Последовательности и ряды. Расширенная комплексная плоскость. Аналогично вещественному случаю в комплексном анализе вводятсяпонятия окрестности и предела числовой последовательности на основе модуля комплексного числа. Для a ∈ C и r > 0 под окрестностью точки a радиусаr будем понимать множествоOr (a) = {z ∈ C : |z − a| < r}.Очевидно, что в плоскости C, которую можно отождествить с R2 , окрестностьOr (a) представляет собой открытый круг с центром в точке a и радиусом r.Через Or (a) будем обозначать замкнутый круг, т.
е.Or (a) = {z ∈ C : |z − a| 6 r},а через Ȯr (a) = {z ∈ C : 0 < |z − a| < r} — проколотую окрестность точки a.Пусть an = αn + iβn , n = 1, 2, . . ., — последовательность комплексных чисел.Будем говорить, что комплексное число a = α + iβ является пределом последовательности {an }, если для любого ε > 0 существует номер N (ε) такой, что|an − a| < ε при всех n > N (ε).
Другими словами, при n > N (ε) точки anбудут попадать в ε-окрестность Oε (a) точки a. В случае существования предела a последовательности {an } эту последовательность называют сходящейся ипишутlim an = a.n→∞Заметим, что в силу неравенств|αn − α| 6 |an − a|, |βn − β| 6 |an − a|, |an − a| 6 |αn − α| + |βn − β|условие limn→∞ an = a эквивалентно следующим двум:lim αn = α,n→∞lim βn = β.n→∞Таким образом, последовательность {an } комплексных чисел an = αn +iβn сходится в том и только том случае, если сходятся последовательности вещественных частей {αn } и мнимых частей {βn } одновременно. Кроме того, применениекритерия Коши для последовательностей вещественных и мнимых частей приводит к следующему результату. Последовательность {an } комплексных чиселявляется сходящейся в том и только том случае, если она фундаментальна,т.
е. для любого ε > 0 существует номер N (ε) такой, что |an − am | < ε при всехn, m > N (ε). Аналогично переносятся все свойства сходящихся последовательностей из вещественного анализа на комплексные последовательности.Среди расходящихся последовательностей {an } в комплексном анализе выделяют те, для которых |an | → +∞ при n → ∞. Более точно, будем говорить,что последовательность {an } стремится к бесконечности и писать an → ∞(или limn→∞ an = ∞), если для любого R > 0 найдется номер N (R) такой, что|an | > R при всех n > N (R). В связи с этим, а также по другим причинам,комплексная плоскость C пополняется бесконечно удаленной точкой z = ∞.Под окрестностью бесконечно удаленной точки понимается внешность круга сцентром в начале координат, т.
е. множество точек z ∈ C, для которых |z| > R,8В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНгде R > 0. Пополненная (или расширенная) комплексная плоскость обозначается через C. В расширенной комплексной плоскости C принцип Больцано—Вейерштрасса уточняется следующим образом. Из любой последовательности {an } ⊂ C можно выделить сходящуюся (в собственном или расширенном смысле) подпоследовательность. Действительно, если последовательность{an } ограничена, то к ней (как к последовательности точек в R2 ) можно применить классический принцип Больцано—Вейерштрасса.
(Либо применить егок последовательностям вещественных и мнимых частей.) В случае неограниченной последовательности {an } можно выделить подпоследовательность ank ,удовлетворяющую условию |ank | > k, k = 1, 2, . . ..Наглядное представление топологических свойств расширенной комплексной плоскости дает стереографическая проекция. Рассмотрим сферу S, которая в трехмерном пространстве задается уравнением x21 +x22 +x23 = 1. С каждойточкой (x1 , x2 , x3 ) на сфере S, исключая точку (0, 0, 1), можно ассоциироватькомплексное число z ∈ C по формулеz =x1 + ix2.1 − x3Это равенство определяет взаимно-однозначное соответствие между S\{(0, 0, 1)}и C.
Действительно, используя очевидное соотношение|z|2 =1 + x3x21 + x22=,(1 − x3 )21 − x3легко находится обратное отображениеx3 =|z|2 − 1,|z|2 + 1x1 =z+z,1 + |z|2x2 =1 z−z.i 1 + |z|2Заметим также, что при |z| → ∞ соответствующая точка на сфере S стремитсяк точке (0, 0, 1). Продолжая отображение соответствием (0, 0, 1) 7→ ∞, приходим к взаимно-однозначному соответствию S и C. Это отображение называетсястереографической проекцией и обладает рядом замечательных свойств.x3x2x1Рис. 1. Сфера РиманаЛЕКЦИИ ПО ТФКП9Как и в вещественном анализе под числовым рядом понимается формальнаяP∞суммаего частичныхn=1 an .
С рядом ассоциируется последовательностьP∞сумм Sn = a1 + . . . + an , n = 1, 2, . . .. Говорят, рядan=1 n сходится, еслисходится последовательность его частичных сумм. При этом S = limn→∞ SnP∞называется суммой ряда и пишут S = n=1 an .P∞Пусть an = αn + iβn , n = 1, 2, . . .. Тогда частичные суммы ряда n=1 anбудут иметь видnnXXSn =αk + iβk .k=1k=1P∞Следовательно, ряд n=1в том и только том случае, если сходятсяPa∞n сходитсяP∞два вещественных ряда n=1 αn и n=1 βn .
Критерий Коши,P∞ примененный кпоследовательности частичных сумм, показывает, что ряд n=1 an сходится втом и только том случае, если для любого ε > 0 найдется такой номер N (ε),чтоn+m X ak < εk=nпри всех n > N (ε) и натуральных m. Из критерия Коши и неравенства треугольника сразу же следует, что абсолютная сходимость ряда влечет его сходимость. Как и в вещественном случае из критерия Коши следует также необходимое условие сходимости ряда: an → 0 при n → ∞.§ 2. Комплексная дифференцируемостьТеория функций комплексного переменного расширяет исчисление на комплексную область.
При этом и дифференцирование и интегрирование приобретают некоторое новое значение. Их область применения существенно сужается и естественным образом возникает класс голоморфных или аналитическихфункций.Под функцией комплексного переменного w = f (z) будем понимать отображение множества D ⊂ C в комплексной z-плоскости в множество f (D) = G ⊂ Cкомплексной w-плоскости. Если представить z = x + iy, w = u + iv, то задание функции f эквивалентно определению двух вещественных функций u(x, y)и v(x, y) вещественных переменных x и y, т.
е. w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y).Другими словами, функции u(x, y) и v(x, y) дают запись отображения f в вещественных терминах. Как правило, мы будем рассматривать случай, когдафункция f определена на открытом множестве.Определение 2.1. Будем говорить, что функция f (z) имеет предел A приz → a и писатьlim f (z) = A,(2.1)z→aесли для каждого ε > 0 найдется такое δ > 0, что |f (z) − A| < ε при всехz ∈ Ȯδ (a), т. е. при 0 < |z − a| < δ.Формулировка определения легко видоизменяется в случаях, когда a = ∞или A = ∞ (или оба вместе). Например, при a = ∞ нужно фразу при всех”10В. В.
ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНz ∈ Ȯδ (a)“ заменить на фразу при |z| > δ“ . Хорошо известные из веществен”ного анализа результаты, касающиеся пределов суммы, произведения и частного, остаются верными и в комплексном случае, поскольку при их доказательстве используются лишь свойства модуля. Заметим также, что условие (2.1)эквивалентно следующемуlim f (z) = A.(2.2)z→aИз (2.1) и (2.2) сразу же следуют соотношенияlim Re f (z) = Re A,z→alim Im f (z) = Im A.z→aОбратно, если выполнены последние два соотношения, то выполняются (2.1)и (2.2). Функция f (z) называется непрерывной в точке a, еслиlim f (z) = f (a).z→aТермин непрерывная функция будем употреблять в случае, когда f непрерывнаво всех точках, где она определена. Из свойств предела следует, что сумма ипроизведение двух непрерывных функций являются непрерывными функциями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
