Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Используя условия Коши — Римана, якобиан этогоотображения преобразуется следующим образом 0 ux u0y 00000 20 202 v 0 v 0 = ux · vy − uy · vx = (ux ) + (vx ) = |f (z)| ,yxоткуда видно, что в Or (z0 ) выполнены условия теоремы об обратном отображении из вещественного анализа. Согласно этой теоремы найдутся такие окрестности U точки z0 и V точки w0 , что f взаимно однозначно отображает U наV и обратное отображение g = f −1 является непрерывно дифференцируемым(в вещественном смысле). Для нас сейчас важно то, что f : U 7→ V является топологическим отображением, т.
е. взаимно однозначным и непрерывнымв обе стороны. Поскольку V является открытым множеством, то найдетсяε > 0 такое, что Oε (w0 ) ⊂ V . Пусть теперь w ∈ Ȯε (w0 ) и ∆w = w − w0 ,∆z = g(w) − g(w0 ) = z − z0 . Тогда ∆z 6= 0 и ∆z → 0 в том и только том случае,когда ∆w → 0. Замечая, что ∆w = f (z) − f (z0 ), получаемg(w0 + ∆w) − g(w0 )∆z11= lim= lim= 0.∆w→0∆w→0 ∆w∆z→0 ∆w/∆z∆wf (z0 )limТаким образом, функция g дифференцируема в комплексном смысле в точкеw0 . Однако, для любой пары точек z ∈ U и w ∈ V , связанных равенствомw = f (z), выполнены все условия, что и для пары z0 , w0 . Следовательно,z = g(w) является дифференцируемой в комплексном смысле на всем открытоммножестве V и1g 0 (w) = 0.f (g(w))Определение 2.7.
Голоморфную в области D функцию f называют однолистной в D, если f (z1 ) = f (z2 ) лишь в случае z1 = z2 для любой пары точекz1 , z2 из D.Другими словами, функция f однолистна в D, если она отображает D взаимно однозначно. Теорема об обратной функции утверждает, что если f голоморфна и ее производная не обращается в нуль, то она локально однолистна,16В. В. ГОРЯЙНОВ, Е.
С. ПОЛОВИНКИНт. е. в некоторой окрестности. Пример функции w = z 2 показывает, что функция может быть локально однолистной, но не быть однолистной в области. Вкачестве области D можно рассмотреть кольцо {z ∈ C : 1 < |z| < 2}.§ 3. Степенные ряды и элементарные функцииПростейшим примером голоморфной функции является тождественно постоянная функция с производной, тождественно равной нулю.
Другим примером голоморфной функции является f (z) ≡ z с производной f 0 (z) ≡ 1. Поскольку сумма и произведение голоморфных функций также являются голоморфными функциями, то любой полином P (z) = an z n + . . . + a0 представляет собой голоморфную в C функцию. Для расширения класса голоморфныхфункций естественно перейти к бесконечным суммам, т. е. к рядам.Пусть {fn } — последовательность функций, определенных на множестве E ⊂C. Будем говорить, что эта последовательность сходится в точке z0 ∈ E к функции f , если для любого ε > 0 найдется такой номер N = N (ε, z0 ), что при всехn > N (ε, z0 ) выполняется неравенство |f (z0 ) − fn (z0 )| < ε.
Последовательностьfn сходится к функции f на множестве E, если она сходится в каждой точкемножества E. В случае, если для любого ε > 0 номер N = N (ε) можно выбрать выбрать так, чтобы неравенство |f (z) − fn (z)| < ε выполнялось для всехn > N (ε) и z ∈ E, то последовательность fn называется равномерно сходящейсяна множестве E. Важнейшим свойством равномерной сходимости является то,что пределом равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций является непрерывная функция. Совершенно аналогично вещественномуслучаю устанавливается критерий Коши для равномерной сходимости: После”довательность {fn } сходится равномерно на E ⊂ C в том и только том случае,если для любого ε > 0 найдется номер N (ε) такой, что |fn (z) − fm (z)| < ε длявсех z ∈ E и n, m > N (ε)“ .КритерийКоши, примененный к частичным суммам функционального ряP∞даf(z),признак Вейерштрасса равномерной сходимости.
Еслиn=1 nPдает∞числовой ряд n=1 αn с неотрицательными αn мажорирует на множестве EP∞z ∈ E и всех n, зафункциональный ряд n=1 fn (z), т. е. |fn (z)| 6 αn для всехP∞исключением, быть может,конечногочисла,ичисловойрядn=1 αn сходится,P∞то функциональный ряд n=1 fn (z) сходится на E равномерно.Под степенным рядом понимается функциональный ряд вида∞Xan z n = a0 + a1 z + a2 z 2 + .
. . ,(3.1)n=0где an , n = 0, 1, 2, . . . , — комплексные числа, называемые коэффициентами ряда, а z — комплексная переменная. Можно рассмотреть более общий вид стеP∞пенного ряда n=0 an (z − z0 )n , но его изучение сводится к (3.1) путем заменыпеременной ζ = z − z0 .Рассмотрим один простой, но важный, пример так называемого геометрического ряда 1 + z + z 2 + . . .. Его частичные суммы при z 6= 1 можно записать вв виде1 − z n+1Sn (z) = 1 + z + . .
. + z n =.1−z17ЛЕКЦИИ ПО ТФКПЗаметим, что в случае |z| < 1 предел частичных сумм существует иS(z) = lim Sn (z) =n→∞1.1−zВ случае |z| > 1 не выполняется необходимое условие сходимости ряда и геометрический ряд расходится. Оказывается, что такая ситуация в определенномсмысле типична для степенных рядов.Теорема 3.1. Для каждого степенного ряда (3.1) числоp0 6 R 6 +∞,R = 1/ lim n |an |,n→∞(3.2)называемое радиусом сходимости, удовлетворяет следующим условиям:(i) В каждом круге |z| 6 r < R ряд (3.1) сходится абсолютно и равномерно;(ii) Если |z| > R, то ряд (3.1) расходится;P∞(iii) Сумма ряда S(z) = n=0 an z n является голоморфной в круге |z| < Rфункцией, а ее производная S 0 (z) представляетсумму почленноPсобой∞продифференцированного ряда (3.1), т.
е. ряда n=1 nan z n−1 .Доказательство. (i) Пусть R > 0 и 0 < r < R. Выберем % из интервала(r, R), т. е. r < % < R. Посколькуlimn→∞pn|an | =11< ,R%pто найдется такой номер N , что n |an | < 1/% при всех n > N . Но тогда дляn > N и z из круга |z| 6 r будут выполняться неравенства nr|an z | = |an | · |z| 6.%nnЭто означает, что в круге |z| 6 r члены ряда (3.1) мажорируются геометриP∞nческой прогрессией (r/%)n , n > N .
Поскольку r/% < 1, то рядn=0 (r/%)сходится и по признаку Вейерштрасса степенной ряд (3.1) сходится абсолютнои равномерно в круге |z| 6 r. Таким образом, утверждение (i) доказано.Для доказательства (ii) заметим, что если |z| > R, то в силу определенияверхнего предела найдется подпоследовательность номеров nk , k = 1, 2, .
. .,такая, что |ank z nk | > 1, посколькуp11<= lim n |an |.n→∞|z|RP∞Это означает, что для ряда n=0 an z n не выполняется необходимое условиесходимости и утверждение (ii) доказано.Приступая к доказательству (iii), заметим прежде всего, что ряд∞Xn=1nan z n−1 ,18В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С.
ПОЛОВИНКИНполученный почленнымPдифференцированием ряда (3.1), имеет тот же радиус√∞сходимости, что и ряд n=1 nan z n . Однако, поскольку limn→∞ n n = 1, тоpp1lim n n|an | = lim n |an | = ,n→∞n→∞RP∞и радиус сходимости этих рядов также равен R. Пусть g(z) = n=1 nan z n−1 .Для каждого натурального n обозначим через Sn (z) = a0 + a1 z + . . .
+ an−1 z n−1P∞частичную сумму ряда (3.1), а через Qn (z) = k=n ak z k обозначим остаток этого ряда. Поскольку Sn представляет собой полином, то является голоморфнойфункцией, а его производная Sn0 (z) является частичной суммой продифференцированного ряда (3.1). Следовательно, Sn0 (z) → g(z) при n → ∞ для любогоz из круга |z| < R.Фиксируем произвольно z0 , |z0 | < R, и пусть r удовлетворяет неравенству|z0 | < r < R. Для z 6= z0 из круга |z| < r и натурального n имеет месторавенствоS(z) − S(z0 )Sn (z) − Sn (z0 )0− g(z0 ) =− Sn (z0 )z − z0z − z0Qn (z) − Qn (z0 )+ (Sn0 (z0 ) − g(z0 )) +.z − z0Пусть ε > 0 фиксировано.
Поскольку |z|, |z0 | < r, то∞X Qn (z) − Qn (z0 ) z k − z0k = akz − z0z − z0 k=n∞∞XX= ak (z k−1 + z k−2 z0 + . . . + z0k−1 ) 6k|ak |rk−1 .k=nk=nПравая часть последнего неравенства представляет собой остаток сходящегосяряда. Поэтому найдется такой номер N1 , что Qn (z) − Qn (z0 ) < εz − z03при n > N1 , |z| 6 r. Далее, найдется такой номер N2 , чтоε|Sn0 (z0 ) − g(z0 )| <3при n > N2 . Пусть теперь n > max{N1 , N2 }. Из определения производнойSn0 (z0 ) следует, что найдется такое δ > 0, что при 0 < |z − z0 | < δ будетвыполняться неравенство Sn (z) − Sn (z0 )ε0−S(z).n 0 <z − z03Таким образом, если |z| < r и 0 < |z − z0 | < δ, то S(z) − S(z0 )− g(z0 ) < ε.z − z0Это доказывает дифференцируемость функции S(z) и равенство S 0 (z) = g(z)для всех z из круга |z| < R.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП19Замечание 3.1. Равенство (3.2) известно в литературе как формула Коши — Адамара.Замечание 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
