Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Под теоремой Абеля (или первой теоремой Абеля) частоподразумевается утверждение: Если ряд (3.1) сходится в точке z0 , то он схо”дится абсолютно и равномерно в любом круге |z| 6 r < |z0 |.“ Это утверждениеочевидным образом следует из доказанного выше.Замечание 3.3. Применяя доказанную теорему к производной суммы степенного ряда, получаем голоморфность S 0 (z) и разложение для ее производнойS 00 (z) = 2a2 + 6a3 z + . . . .Повторяя этот процесс, приходим к бесконечной дифференцируемости суммыстепенного ряда (3.1) в круге сходимости и равенствамS (n) (z) = n!an +(n + 1)!(n + 2)!an+1 z +an+2 z 2 + .
. . ,1!2!n = 1, 2, . . .. В частности, имеют место формулыan =S (n) (0),n!S(z) =∞XS (n) (0) nz .n!n=0Другими словами, S(z) имеет разложение в ряд Тейлора — Маклорена.Экспонента. Важнейшими свойствами функции ex в вещественном анализе являются инвариантность относительно дифференцирования и условиеxeP|x=0 = 1.
Пусть функция f определена как сумма степенного ряда f (z) =∞nn=0 an z . Попробуем подобрать коэффициенты an так, чтобы выполнялисьусловия: f 0 (z) = f (z) и f (0) = 1. Второе условие эквивалентно равенствуa0 = 1. Замечая также,P∞что в круге сходимости степенного ряда выполняется равенство f 0 (z) = n=1 nan z n−1 , приходим к соотношениям: an−1 = nan ,n = 1, 2, . . .. Это вместе с условием a0 = 1 приводит к равенствам an = 1/n!,n = 1, 2, .
. .. Таким образом, естественно показательную функцию определитькак сумму степенного ряда∞Xzn.(3.3)ez =n!n=0√Поскольку n n! → ∞ при n → ∞, то ряд (3.3), как следует из теоремы 3.1сходится во всей комплексной плоскости. Следовательно, равенство (3.3) определяет ez как голоморфную в C функцию. В случае, когда z = x вещественно,мы получаем ряд Тейлора функции ex из вещественного анализа.
Другимисловами, определенная равенством (3.3) функция ez является продолжениемвещественной функции ex в комплексную плоскость. Вещественность коэффициентов степенного ряда (3.3) приводит к равенству ez = ez Отметим еще одноважное свойство функции ez .Теорема сложения. Для любых z1 , z2 ∈ C выполняется равенствоez1 +z2 = ez1 ez2 .20В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНДоказательство.
Фиксируем произвольно a ∈ C и рассмотрим функциюg(z) = ez ea−z . Посколькуg 0 (z) = ez ea−z − ez ea−z = 0для всех z ∈ C, то g(z) ≡ const. Заметим также, что g(0) = ea . Следовательно,ez ea−z ≡ ea . Полагая в этом тождестве a = z1 +z2 и z = z1 , приходим к теоремесложения.Из теоремы сложения, в частности, следует тождество ez e−z ≡ 1. Это означает, что ez 6= 0 ни при каком z ∈ C и e−z = 1/ez . Далее, применение теоремысложения и представление z = x + iy дает ez = ex eiy . С другой стороны,eiy = e−iy и |eiy |2 = eiy e−iy = 1. Следовательно, |ez | = ex = eRe z .Тригонометрические функции. Одним из преимуществ комплексногоанализа является то, что в нем наиболее полно раскрываются связи междуэлементарными функциями.
Мы уже отметили, что степенной ряд (3.3) является продолжением ряда Тейлора для ex в комплексную плоскость. В связис этим оправдано также введение тригонометрических функций посредствомравенств11 izcos z = (eiz + e−iz ),sin z =(e − e−iz ).22iПри этомcos z = 1 −z2z4+− ...,2!4!sin z = z −z3z5+− ....3!5!Для вещественных z = x мы получаем ряды Тейлора соответствующих функций вещественного переменного. Непосредственно из определения косинуса исинуса следует формула Эйлераeiz = cos z + i sin z,а также основное тригонометрическое тождество cos2 z + sin2 z = 1.
Используятеорему сложения для экспоненты, легко выводятся формулыcos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b,sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a.Из разложения в степенной ряд (или непосредственно из определения) следуютформулы для производных(sin z)0 = cos z,(cos z)0 = − sin z.Как и в вещественном анализе, через синус и косинус вводятся другие тригонометрические функции: tg z, ctg z, .
. .. Аналогично через экспоненту вводятсягиперболические функцииch z =1 z(e + e−z ),2sh z =1 z(e − e−z ).2Периодичность. Будем говорить, что функция f имеет период ζ ∈ C,если f (z + ζ) = f (z) для всех z ∈ C. Условие на ζ быть периодом экспонентыЛЕКЦИИ ПО ТФКП21выражается равенством ez+ζ = ez или eζ = 1. Полагая ζ = ξ + iη, получаемусловия ξ = 0 и cos η + i sin η = 1, откуда находим η = 2kπ, k ∈ Z. Такимобразом, периоды функции ez определяются равенством ζ = i2kπ, k ∈ Z.Логарифм. В вещественном анализе функция ex является строго монотонно возрастающей и принимает положительные значения.
Поэтому ln x определяется однозначно для положительных x и является монотонной функциейна положительной полуоси. Естественно и в комплексном анализе под ln z понимать корень уравнения eζ = z. Поскольку eζ 6= 0 ни при каком ζ ∈ C, тологарифм нуля не определен. Пусть теперь ζ = ξ + iη. Тогда равенство eζ = zэквивалентно системеzeiη =eξ = |z|,.|z|Первое уравнение имеет единственное решение ξ = ln |z|, где понимается вещественный логарифм от положительного числа |z|.
Второе уравнение выражаетравенство двух комплексных чисел с единичным модулем. Поскольку по формулам Эйлера eiη = cos η + i sin η, то с учетом тригонометрической формызаписи комплексного числа z имеемη = arg z + 2kπ,k ∈ Z,где под arg z понимается некоторое значение из Arg{z} (например, значениеиз промежутка (−π, π] или [0, 2π)). Таким образом, для любого z ∈ C, z 6= 0,уравнение eζ = z имеет бесконечно много решений. Их совокупность можнопредставить формулойLn{z} = ln |z| + i Arg{z}.Все значения Ln{z} имеют одну и ту же вещественную часть ln |z|, а мнимыечасти двух различных значений логарифма отличаются на 2kπ, k ∈ Z. Изсвойств аргумента комплексного числа и вещественного логарифма следует,чтоLn{z1 z2 } = Ln{z1 } + Ln{z2 }для любых ненулевых комплексных чисел z1 и z2 .
Это равенство также непосредственно следует из теоремы сложения. Действительно, пусть ζ1 ∈ Ln{z1 },ζ2 ∈ Ln{z2 }. Тогдаeζ1 +ζ2 = eζ1 eζ2 = z1 z2 ,т. е. (ζ1 + ζ2 ) ∈ Ln{z1 z2 }.Допустим теперь, что в некоторой области D ⊂ C определена непрерывнаяфункция ζ = f (z), принимающая в каждой точке z ∈ D значение f (z) ∈ Ln{z}.Тогда ef (z) = z и мы будем называть f непрерывной ветвью (или просто ветвью) логарифма в области D. Будем писать f (z) = ln z, если ясно, о какойветви идет речь. Рассмотрим случай области D = C \ R− , R− = {x ∈ R : x 6 0}.В этой области можно выделить ветвь arg z, которая принимает значения изинтервала (−π, π).
Функция ζ = ln z = ln |z| + i arg z будет непрерывной в D иобратной к функции z = eζ , определенной в полосе | Im ζ| < π. По теореме обобратной функции выделенная ветвь ln z будет голоморфной функцией в D иd11ln z = ζ = .dzez22В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЗамечая, что 1 + z расположено в D = C \ R− при |z| < 1, можно рассмотретьнепрерывную ветвь ln(1 + z) в единичном круге D = {z ∈ C : |z| < 1}. Далее,∞Xd1ln(1 + z) ==(−1)n z n ,dz1+zn=0P∞nгде степенной ряд сходится в единичном круге D.
Ряд n=1 (−1)n−1 zn такжесходитсяв D, а его сумма S(z) является голоморфной функцией в D и S 0 (z) =P∞n nn=0 (−1) z . Таким образом,0(ln(1 + z) − S(z)) = 0для всех z ∈ D и по теореме 2.4 имеем ln(1 + z) − S(z) ≡ const в D. Однако,ln(1 + z)|z=0 = 0 = S(0)и мы приходим к равенствуln(1 + z) =∞X(−1)n−1n=1zn.nКомплексные степени. Если a и b — комплексные числа и a 6= 0, то подab будем понимать значения из множества ba = eb Ln{a} .Для b = n, n ∈ Z, все значения n Ln{a} отличаются друг от друга на 2kπi, k ∈ Z,и в силу периодичности экспоненты {an } состоит из единственного комплексного числа. √В случае b = m/n где m и n взаимно простые натуральные числа,{am/n } = { n am } имеет ровно n различных значений.
В области D = C \ R−можно рассмотреть ветвьz b = eb ln z ,где в качестве ln z выбрана ветвь, описанная выше.§ 4. Комплексное интегрирование4.1. Интеграл и его свойства. Комплексное интегрирование являетсяважным инструментом в изучении свойств голоморфных функций. При этом,как и в вещественном анализе, возникает два направления в интегрировании.Одно связано с понятием сумм Римана и играет роль определенного интеграла. Второе связано с понятием первообразной и может рассматриваться какоперация, обратная дифференцированию.Начнем этот параграф с краткого обзора понятия кривой. Как образно выразился Феликс Клейн: Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится”математике настолько, что вконец запутается в бесчисленных исключениях“ .Уравнение кривой γ в плоскости удобно задать в параметрической формеx = x(t), y = y(t), где параметр t пробегает некоторый промежуток α 6 t 6 β,а x(t) и y(t) являются непрерывными функциями.
В комплексной записиЛЕКЦИИ ПО ТФКП23z(t) = x(t) + iy(t). Образ кривой как точечное множество {z = z(t) : α 6 t 6 β}является компактным и связным. Однако не следует отождествлять кривую сэтим множеством. Очень существенно, что ее точки упорядочены возрастаниемпараметра t. Если возрастающая непрерывная функция t = ϕ(τ ) отображаетпромежуток α1 6 τ 6 β1 на α 6 t 6 β, то z = z(ϕ(τ )) определяет тот жепорядок точек, что z = z(t). В связи с этим отображение z = z(t) называютпутем или параметризацией кривой γ, а под самой кривой понимают классэквивалентных путей.
Два пути z = z(t), α1 6 t 6 β1 , и ζ = ζ(τ ), α2 6 τ 6 β2 ,считаются эквивалентными, если существует непрерывная строго возрастающая функция τ = τ (t) : [α1 , β1 ] 7→ [α2 , β2 ] такая, что z(t) = ζ(τ (t)) для всехt ∈ [α1 , β1 ].Таким образом, чтобы определить кривую γ, достаточно выбрать путь z =z(t), α 6 t 6 β, из класса эквивалентности.
Точка z(α) называется началомкривой, а точка z(β) — концом кривой. Это определение не зависит от выборапути из класса эквивалентности. Путь z = z(−t), −β 6 t 6 −α, имеет тот жеобраз, что и путь z = z(t), α 6 t 6 β, но не является эквивалентным ему. Соответствующую кривую будем обозначать −γ (иногда используют обозначениеγ − ) и говорить, что эта кривая получается из γ сменой ориентации. Будемтакже говорить, что γ и −γ являются противоположно ориентированнымикривыми. Кривая γ называется жордановой, если ее параметризация z = z(t),α 6 t 6 β, удовлетворяет условию z(t1 ) 6= z(t2 ) при t1 6= t2 .
Кривая γ называется замкнутой, если z(α) = z(β). Замкнутая жорданова кривая: z(α) = z(β), ноz(t1 ) 6= z(t2 ) при t1 , t2 ∈ [α, β) и t1 6= t2 . Замкнутую жорданову кривую можнорассматривать как топологическое отображение окружности в плоскость и потеореме Жордана она разбивает плоскость на две области. Кривую γ будемназывать гладкой, если найдется ее параметризация z = z(t) = x(t) + iy(t),α 6 t 6 β, которая удовлетворяет условиям: x(t) и y(t) непрерывно дифференцируемы на [α, β] и z 0 (t) = x0 (t) + iy 0 (t) 6= 0 при всех t ∈ [α, β]. Производныеz 0 (α) и z 0 (β) в концевых точках понимаются как односторонние.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
