Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

ТогдаZ2π1f (a) =f (a + reiθ )dθ.2π0Доказательство. В силу теоремы 5.2 имеет место равенствоZf (ζ)1dζ,f (a) =2πiζ −aγrгде γr — положительно ориентированная граница круга Or (a). Выбирая дляокружности γr параметризацию ζ = a + reiθ , 0 6 θ 6 2π, приходим к утверждению теоремы.Голоморфная во всей комплексной плоскости C функция f называется целой.К целым функциям относятся полиномы, экспонента, синус, косинус и другие.Следующие две теоремы касаются целых функций.Теорема 5.6.

Пусть f — целая функция и для некоторых M > 0, r > 0 ицелого неотрицательного m выполняется неравенство|f (z)| 6 M |z|mпри |z| > r. Тогда f является полиномом степени не выше, чем m.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП35Доказательство. Пусть R > r и γR — положительно ориентированная окружность |ζ| = R. По интегральной формуле Коши (5.2) для производныхимеемZn!f(ζ) (n) 6 n!M Rm+1 (R − |z|)−n−1 ,dζf (z) =n+12π (ζ − z)γRгде |z| < R и n — натуральное число.

Из полученного неравенства следует,что f (m+1) (z) = 0. Действительно, если z фиксировано, то при R → ∞ праваячасть неравенства в случае n = m+1 стремится к нулю. Но тогда f (m) (z) ≡ cm ,где cm ∈ C.Далее, посколькуd (m−1)f(z) − cm z = f (m) (z) − cm ≡ 0,dzто f (m−1) (z) − cm z ≡ cm−1 , т. е. f (m−1) (z) = cm z + cm−1 . Аналогично получаемd12(m−2)f(z) − cm z − cm−1 z ≡ 0,dz2т. е. f (m−2) (z) = 21 cm z 2 +cm−1 z +cm−2 . Продолжая эти рассуждения, приходимк виду функцииf (z) =11cm z m +cm−1 z m−1 + .

. . + c0m!(m − 1)!и теорема доказана.Приведем важный частный случай доказанной теоремы.Теорема 5.7. [Лиувилля].постоянна.Целая ограниченная функция тождественно§ 6. Ряд Тейлора и теорема единственностиНаше определение голоморфной (или аналитической) функции базировалось на свойстве комплексной дифференцируемости. Имеется другой подход копределению аналитической функции, основанный на представлении ее в видесуммы степенного ряда в окрестности каждой точки области. Следующий результат показывает, что оба эти подхода приводят к одному и тому же классуфункций.Теорема 6.1. Пусть f — голоморфная в области D функция и z0 — произвольная точка области D. Тогда в любом круге Or (z0 ) ⊂ D функция fпредставима в виде суммы сходящегося степенного рядаf (z) =∞Xn=0cn (z − z0 )n ,(6.1)36В. В. ГОРЯЙНОВ, Е.

С. ПОЛОВИНКИНкоэффициенты которого вычисляются по формуламcn =f (n) (z0 ),n!(6.2)n = 1, 2, . . ..Доказательство. Допустим вначале, что Or (z0 ) ⊂ D, и пусть γ = ∂Or (z0 )—положительно ориентированная граница круга Or (z0 ). Тогда f имеет представление в Or (z0 ) интегральной формулой КошиZ1f (ζ)f (z) =dζ.2πiζ −zγДля фиксированного z ∈ Or (z0 ) ядро Коши 1/(ζ − z) разложим в ряд1=ζ −z1(ζ − z0 ) 1 −z − z0ζ − z0 =∞X(z − z0 )n.(ζ − z0 )n+1n=0Поскольку для всех ζ ∈ γ выполняется неравенство z − z0 |z − z0 |< 1, ζ − z0 =rто полученный ряд сходится равномерно по ζ ∈ γ в силу признака Вейерштрасса. Следовательно, этот ряд можно почленно интегрировать на γ. Умножая егона непрерывную функцию f (ζ)/(2πi) и выполняя почленное интегрирование,приходим к равенствуZ∞Xf (ζ) 1f (z) =dζ  (z − z0 )n .n+12πi(ζ−z)0n=0γВ силу интегральной формулы Коши для производныхZf (ζ)f (n) (z0 )1dζ=,2πi(ζ − z0 )n+1n!γn = 1, 2, .

. ..Остается заметить, что коэффициенты (6.2) ряда (6.1) не зависят ни от точки z, ни от выбора окружности γ. Поэтому ряд (6.1) сходится и его суммасовпадает с функцией f в любом круге Or (z0 ), который содержится в областиD.Замечание 6.1. Ряд (6.1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (6.2), называется рядом Тейлора функции f в окрестности точки z0 .Кроме того, если функция f представима в виде ряда (6.1) в некотором круге Or (z0 ), то коэффициенты ряда однозначно определяются формулами (6.2),как было показано в замечании к теореме 3.1. Другими словами, представлениеголоморфной функции в виде суммы ряда по степеням (z − z0 ) единственно.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП37Нули голоморфной функции и теорема единственности.Точка a ∈ C называется нулем функции f , если f (a) = 0.Определение 6.1. Порядком (или кратностью) нуля a ∈ C функции f ,голоморфной в этой точке, называется наименьший номер отличной от нуляпроизводной f (n) (a).

Другими словами, точка a является нулем функции fпорядка m, если f (a) = f 0 (a) = . . . = f (m−1) (a) = 0, f (m) (a) 6= 0.Из формул для коэффициентов ряда Тейлора следует, что порядок нулясовпадает с наименьшим номером отличного от нуля коэффициента тейлоровского разложения функции в окрестности этой точки. При этом, если a — нульбесконечного порядка, то f (z) ≡ 0 в некоторой окрестности Or (a). С другойстороны, если a — нуль конечного порядка m, то найдется окрестность Oδ (a),δ > 0, в которой нет нулей функции f , отличных от a. Действительно, в некоторой окрестности Or (a) функция f представима рядом Тейлораf (z) = (z − a)m∞Xk=0cm+k (z − a)k = (z − a)m ϕ(z),где ϕ — голоморфная в Or (a) функция и ϕ(a) = cm 6= 0.

В силу непрерывности функции ϕ найдется окрестность Oδ (a), в которой ϕ не обращается внуль. В силу отсутствия делителей нуля в поле комплексных чисел f (z) 6= 0 впроколотой окрестности Ȯδ (a).Заметим, что в вещественном анализе ситуация с нулями и представлениембесконечно дифференцируемой функции ее рядом Тейлора кардинально отличается. Классическим примером является функция(2e−1/x , если x 6= 0,f (x) =0,если x = 0,которая имеет в окрестности точки ряд Тейлора с нулевыми коэффициентами,но обращается нуль лишь в самой точке x = 0.Теорема 6.2. [Единственности.] Если две голоморфные в области D функции f и g совпадают на множестве E, которое имеет хотя бы одну предельную точку a, принадлежащую области D, то f (z) ≡ g(z) всюду в D.Доказательство.

Рассмотрим функцию h(z) = f (z) − g(z), которая является голоморфной в области D и обращается в нуль на множестве E, а всилу непрерывности и в точке a. Нам нужно доказать, что h(z) ≡ 0. ПустьQ — множество нулей функции h в области D. Внутренность этого множестваобозначим через G1 . Другими словами, ζ ∈ G1 в том и только том случае,если найдется окрестность O% (ζ), в которой h обращается в нуль. По самомуопределению G1 является открытым множеством и G1 ⊂ D.

Пусть G2 = D \ G1и покажем, что G2 также является открытым множеством, т. е. каждая точкапринадлежит G2 с некоторой окрестностью. Действительно, в противном случае некоторая точка ζ из G2 была бы предельной точкой нулей функции h. Нотогда, как показывают рассуждения, проведенные перед формулировкой теоремы, ζ не может быть нулем конечной кратности и нашлась бы окрестность38В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНэтой точки, в которой h обращается в нуль. Но это означало бы, что ζ ∈ G1 .Итак, D = G1 ∪ G2 , где G1 и G2 — открытые непересекающиеся множества.

Всилу связности D одно из множеств G1 или G2 должно быть пустым. С другойстороны, точка a является предельной точкой нулей функции h и, следовательно, принадлежит G1 . В результате, G2 = ∅ и G1 = D, что и доказываеттеорему.Следствие 6.1. Если f (z) 6≡ 0 голоморфна в области D, то все ее нулиизолированы и конечного порядка.§ 7. Индекс. Общая форма теоремыКоши и интегральной формулы КошиДля дальнейшего расширения теоремы Коши нам потребуется ввести некоторые топологические понятия.7.1. Приращение аргумента вдоль кривой. Индекс.

Пусть γ : z =z(t), α 6 t 6 β, — кусочно-гладкая кривая, не проходящая через начало координат. Тогда определен интегралZγdz=zZβz 0 (t)dt.z(t)αВыясним геометрический смысл его мнимой части. Пусть d = dist(γ, 0) — расстояние от γ до начала координат. Поскольку z(t) является равномерно непрерывной функцией на отрезке [α, β], то найдется такое δ > 0, что |z(t0 ) − z(t00 )| <d/2 при |t0 − t00 | < δ. Выполним разбиение t0 = α < t1 < . . . < tn = β отрезка[α, β] так, чтобы (tk − tk−1 ) < δ для всех k = 1, . . .

, n. Это разбиение индуцирует разложение кривой γ в сумму дуг γ = γ1 + . . . + γn , где γk : z = z(t),tk−1 6 t 6 tk . Через ∆k обозначим круг Or (z(tk )) с центром в z(tk ) и радиусомr = d/2. Из условия на разбиение следует, что γk ⊂ ∆k , k = 1, . . . , n. Крометого, расстояние от точки z = 0 до каждого круга ∆k не меньше d/2. Это позволяет в каждом круге ∆k определить непрерывную ветвь arg(k) z (в каждомсвою) и, следовательно, регулярную ветвь логарифма ln(k) z = ln |z| + i arg(k) z,которая будет первообразной функции 1/z в ∆k .

Используя свойство аддитивности интеграла, получаемZn ZXdzdz=zzk=1γγ=nXk(ln |z(tk )| − ln |z(tk−1 )|) + ik=1nX(arg(k) z(tk ) − arg(k) z(tk−1 ))k=1nX z(β) z(tk )+i= ln arg,z(α) z(tk−1 )k=1где в последней сумме под аргументом понимается главное значение из интервала (−π, π). В действительности, разность (arg(k) z(tk ) − arg(k) z(tk−1 )) не39ЛЕКЦИИ ПО ТФКПзависит от выбора ветви аргумента. СуммаnXargk=1z(tk )z(tk−1 )выражает приращение аргумента z(t) (в радианной мере), когда z(t) пробегаеткривую γ.

Как и ранее, поворот вектора против движения часовой стрелкисчитается положительным. В связи с этими рассуждениями введем следующеепонятие.Определение 7.1. Пусть γ — кусочно-гладкая кривая, не проходящая через точку z = 0. Приращением аргумента z вдоль кривой γ называется величинаZdz∆γ arg z = Im.zγЗаметим, что в этих терминахZ z(β) dz + i∆γ arg z.= ln zz(α) γВ случае замкнутой кривой γ имеет место равенствоZdz= i∆γ arg z,zγа само приращение аргумента ∆γ arg z кратно 2π.Допустим теперь, что кривая γ : z = z(t), α 6 t 6 β, расположена в областиD, в которой определена голоморфная функция w = f (z). Если кроме тогоf (z) 6= 0 на γ, то кривая Γ = f (γ) : w = f (z(t)), α 6 t 6 β, не будет проходитьчерез точку w = 0. Поэтому определена величина ∆Γ arg w, которую будемназывать приращением аргумента функции f вдоль кривой γ и обозначать∆γ arg f (z). Непосредственно из определения получаемZ∆γ arg f (z) = ImΓdw= ImwZβf 0 (z(t)) 0z (t)dt = Imf (z(t))αZf 0 (z)dz,f (z)γт.

е.Z∆γ arg f (z) = Imf 0 (z)dz.f (z)(7.1)γИз (7.1) сразу же следует, что для любого комплексного числа c 6= 0 имеетместо равенство∆γ arg(cf (z)) = ∆γ arg f (z).Отметим еще одно так называемое логарифмическое свойство приращения аргумента функции вдоль кривой.40В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЛемма 7.1. Пусть γ — кусочно-гладкая кривая, расположенная в областиD, в которой определены голоморфные функции f1 и f2 . Допустим также,что f1 и f2 не обращаются в нуль на γ.

Тогда∆γ arg(f1 (z)f2 (z)) = ∆γ arg f1 (z) + ∆γ arg f2 (z).Доказательство. Из формулы (7.1) и правила дифференцирования произведения следует, чтоZ(f1 (z)f2 (z))0∆γ arg(f1 (z)f2 (z)) = Imdzf1 (z)f2 (z)γZ 0f1 (z)f2 (z) + f1 (z)f20 (z)dz= Imf1 (z)f2 (z)γ= ∆γ arg f1 (z) + ∆γ arg f2 (z),и лемма доказана.Из (7.1) и свойств интеграла также следует, что∆−γ arg f (z) = −∆γ arg f (z),∆γ arg1= −∆γ arg f (z).f (z)Введем в рассмотрение еще одно важное понятие, которое характеризуетсоотношение между замкнутой кривой и точкой вне этой кривой. Если γ —замкнутая кусочно-гладкая кривая, не проходящая через точку a, то f (z) =z − a является голоморфной функцией, которая не обращается в нуль на γ.Поэтому определена величинаZdz∆γ arg(z − a) = Im.z−aγПоскольку кривая γ замкнута, то эта величина кратна 2π, а вещественная частьинтеграла в правой части последнего равенства равна нулю.Определение 7.2.

Пусть γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая, не проходящая через точку a. Тогда индексом точки a относительно кривой γ называется числоZ1dzJ(γ, a) =.2πiz−aγИз предыдущего следует, что величинаJ(γ, a) =1∆γ arg(z − a)2πявляется целочисленной и выражает число оборотов вектора, соединяющего aс точкой z, когда она обходит кривую γ. Иногда J(γ, a) называют также порядком кривой γ относительно точки a. Непосредственно из определения индексаи свойств интеграла следует равенство J(−γ, a) = −J(γ, a).

Характеристики

Список файлов лекций