Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Доопределяя ее некоторым значением g(a) ∈ C, получим голоморфную в полной окрестности Oδ (a) функцию. Если g(a) 6= 0, то должно выполняться предельное соотношение f (z) → 1/g(a)+Aпри z → a, что противоречит предположениям теоремы. В случае g(a) = 0должно выполняться условие f (z) → ∞ при z → a, что также противоречитпредположениям теоремы.В действительности имеется значительно более сильный результат, известный в литературе как большая теорема Пикара. Мы его сформулируем бездоказательства.52В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТеорема 8.6. [Пикара.] Допустим, что голоморфная функция f имеетсущественно особую точку z = a. Тогда в каждой окрестности этой точки функция f принимает все комплексные значения, за исключением бытьможет одного, бесконечное число раз.Бесконечно удаленная точка. В случае, когда f голоморфна во внешности некоторого круга, т. е. в области |z| > R, бесконечно удаленную точкутакже рассматривают как изолированную особую точку.
Характер особенности (и порядок полюса, если f (z) → ∞ при z → ∞) определяется в этом случаекак соответствующий характер изолированной особой точки ζ = 0 функцииg(ζ) = f (1/ζ). Легко видеть, что результаты теорем 8.3 — 8.5 остаются в силе,если в них положить a = ∞. Напомним при этом, что под главной частью ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки понимается совокупностьчленов разложения с положительными степенями z n .Допустим теперь, что f — целая функция.
Характер особой точки z = ∞ вомногом определяет вид функции f . Если z = ∞ является устранимой особойточкой, т. е. существует конечный предел функции f (z) при z → ∞, то в силутеоремы 5.7 Лиувилля f (z) ≡ const. Если z = ∞ является полюсом порядка m,то существует ненулевой конечный предел отношения f (z)/z m при z → ∞. Нотогда по теореме 5.6 функция f является полиномом степени m. Наконец, вслучае, когда z = ∞ является существенно особой точкой, по теореме 8.6 Пикара f (z) принимает все значения в C, за исключением, быть может, одного.Напомним, что ez не обращается в нуль. Иногда теорему Пикара для целыхфункций формулируют следующим образом: Если целая функция не принимает хотя бы двух различных комплексных значений, то она тождественнопостоянна.Целая функция, для которой бесконечно удаленная точка является существенно особой, называется целой трансцендентной.
Примерами целых трансцендентных функций являются ez , sin z, cos z.§ 9. Вычеты и вычисление интеграловПусть a — изолированная особая точка функции f и Ȯr (a) — проколотая окрестность точки a, в которой функция f является голоморфной. Из теоремы Кошидля Ȯr (a) следует, что интегралZf (z)dz,γ%где γ% — положительно ориентированная окружность |z − a| = %, не зависит отвыбора % в интервале (0, r). В связи с этим, вычетом голоморфной функцииf в изолированной особой точке a называется комплексное число1res f (z) =z=a2πiZf (z)dz,γ%53ЛЕКЦИИ ПО ТФКПгде γ% — положительно ориентированная окружность |z − a| = % с радиусом %из интервала (0, r), а f голоморфна в проколотой окрестности Ȯr (a).
Иногдадля обозначения вычета используют более короткую запись res f .aТеорема 9.1. Вычет функции f в изолированной особой точке a равен коэффициенту при (z − a)−1 лорановского разложения функции f в окрестноститочки a.P∞nДоказательство. Поскольку ряд Лоранаn=−∞ cn (z − a) функции fсходится равномерноRна окружности γ% , то его можно почленно интегрировать.Замечая также, что γ% (z − a)n dz = 0 при n 6= −1, получаемres f =a12πiZf (z)dz =γ%Z∞1 Xcn (z − a)n dz = c−1 J(γ% , a) = c−1 .2πi n=−∞γ%Теорема доказана.Замечание 9.1. Из хода доказательства теоремы видно, что если γ — замкнутая кусочно-гладкая кривая, расположенная в Ȯr (a), тоZ1f (z)dz = J(γ, a) res f.a2πiγСледствие 9.1.
В устранимой особой точке вычет равен нулю.Предложение 9.1. Пусть a — полюс кратности m > 1 голоморфной вȮr (a) функции f . Тогда (m−1)1dmres f (z) =lim(z−a)f(z).z=a(m − 1)! z→a dz m−1Доказательство. Поскольку кратность полюса a равняется m, то разложение в ряд Лорана функции f в окрестности Ȯr (a) будет иметь видf (z) = c−m (z − a)−m + . . . + c−1 (z − a)−1 + c0 + c1 (z − a) + . . . ,где c−m 6= 0. Функция g(z) = (z − a)m f (z) будет иметь в точке a устранимую особенность, а c−1 будет коэффициентом ее ряда Тейлора при (z − a)m−1 .Следовательно,1d(m−1)c−1 = res f =g(z).m−1a(m − 1)! dzz=aСледующий результат называют теоремой Коши о вычетах и он играет важную роль в вычислении интегралов.Теорема 9.2. Пусть D — область, ограниченная циклом γ (т.
е. γ = ∂D —положительно ориентированная граница области D), и f — голоморфная наD функция, исключая конечное число особых точек a1 , . . . , an , расположенныхв D. ТогдаZnX1f (z)dz =res f (z).z=ak2πi∂Dk=154В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНДоказательство. Пусть r > 0 таково, что Or (ak ) ⊂ D дляPn всех k =1, .
. . , n, и Or (aj ) ∩ Or (ak ) = ∅ при j 6= k. Тогда цикл γ − k=1 λk , гдеλk = ∂Or (ak ), будет гомологичным нулю относительно области голоморфности функции f . Поэтому в силу теоремы Коши имеемZf (z)dz −∂Dn ZXf (z)dz = 0,k=1λkоткуда следует требуемое равенство, посколькуZ1f (z)dz = res f (z),z=ak2πiλkk = 1, . . . , n.Вычет в бесконечно удаленной точке. Пусть функция f голоморфнаво внешности некоторого круга |z| > R. Тогда бесконечно удаленную точку мыпричисляем к изолированным особым точкам. Определим вычет в бесконечноудаленной точке посредством равенстваZ1f (z)dz,res f (z) =z=∞2πi−γ%где γ% — положительно ориентированная окружностьP∞|z| = %, n% > R. Интегрируя почленно лорановское разложение f (z) =n=−∞ cn z функции f вокрестности z = ∞ по окружности −γ% , получаемres f (z) = −c−1 .z=∞Это равенство часто используется для вычисления вычетов функций в бесконечно удаленной точке.
Отметим в связи с этим отличие бесконечно удаленнойточки от конечных изолированных особых точек. Коэффициент c−1 относитсяк правильной части ряда Лорана разложения функции f в окрестности точкиz = ∞. Поэтому даже в случае, когда z = ∞ является устранимой особойточкой, вычет в ней может оказаться отличным от нуля.Теорема 9.3. Пусть функция f является голоморфной во всей комплексной плоскости C, за исключением конечного числа особых точек a1 , .
. . , an .ТогдаnXres f (z) +res f (z) = 0.z=∞k=1z=akДоказательство. Поскольку особых точек конечное число, то найдетсятакое R > 0, что |ak | < R для всех k = 1, . . . , n. Обозначим γR положительноориентированную окружность |z| = R. По предыдущей теореме12πiZf (z)dz =γRnXk=1res f (z).z=ak55ЛЕКЦИИ ПО ТФКПЗамечая, что12πiZf (z)dz = − res f (z),z=∞γRполучаем требуемое равенство.Пусть D — область, которая получена удалением из комплексной плоскостиC конечного числа замкнутых попарно не пересекающихся жордановых областей ∆1 , . .
. , ∆n , ограниченных кусочно-гладкими кривыми γ1 , . . . , γn , соответственно. Такую область будем называть внешней областью с кусочно-гладкойграницей. Положительно ориентированной границей этой области будем считать отрицательно ориентированные кривые γk (J(γk , a) = −1 для a ∈ ∆k ),k = 1, .
. . , n, и обозначать ∂D. В случае достаточно простых кривых γk можносказать, что при движении вдоль границы ∂D область D остается слева.Теорема 9.4. Пусть D — внешняя область с кусочно-гладкой границей ∂Dи f — голоморфная на D функция, исключая конечное число особых точек a1 ,. . ., an , расположенных в D.
Тогда12πiZf (z)dz = res f (z) +z=∞nXk=1∂Dres f (z).z=akДоказательство. Пусть R > 0 такое, что граница ∂D и точки a1 , . . . , anрасположены внутри круга |z| < R. Обозначим через ΓR положительно ориентированную окружность |z| = R и пусть DR = {z ∈ D : |z| < R}. Тогда ΓR + ∂Dбудет положительно ориентированной границей области DR и по теореме 9.2получаем равенство12πiZf (z)dz =ΓR +∂DnXk=1res f (z).z=akЗамечая, что12πiZf (z)dz = − res f (z),z=∞ΓRприходим к доказываемому утверждению.Вычисление интегралов. Теория вычетов дает очень эффективный инструмент для вычисления определенных интегралов.
При этом следует иметьв виду, что подынтегральная функция должна быть близка к голоморфной.На практике это, как правило, выполняется в силу того, что интегрируются,в основном, элементарные функции. Более существенным является то, чтотеория вычетов связана с интегрированием по замкнутым кривым, в то время как в вещественном анализе интегрирование ведется по отрезку, а в случаенесобственных интегралов по всей числовой прямой или некоторой ее части.Рассмотрим некоторые типичные примеры преодоления этих трудностей.I.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ56В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНПусть R(x, y) — рациональная функция (т. е. отношение полиномов) двухпеременных. Рассмотрим интегралZ2πR(cos θ, sin θ)dθ.0Идея применения техники вычетов к вычислению такого интеграла состоитв том, чтобы представить его как линейный интеграл, полученный при интегрировании по замкнутой кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
