Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Внутренний и внешний радиусы этого кольца можно получить, например, по формуле Коши—Адамара (3.2).Теорема 8.1. Любую функцию f , голоморфную в кольце K = {z : r < |z −a| < R}, можно представить как сумму сходящегося в K рядаf (z) =∞Xn=−∞cn (z − a)n ,коэффициенты которого определяются по формуламZ1f (ζ)cn =dζ,2πi(ζ − a)n+1(8.1)(8.2)γ%n = 0, ±1, ±2, . .
., где γ% — положительно ориентированная окружность |ζ −a| = %, r < % < R.Доказательство. Заметим прежде всего, что интегралы в правой части (8.2)не зависят от значения %. Действительно, если %0 , %00 ∈ (r, R), то γ%0 −γ%00 является циклом, гомологичным нулю относительно кольца K. Поэтому применениетеоремы Коши 7.2 к функции f (z)/(z − a)n+1 дает равенствоZf (ζ)dζ = 0,(ζ − a)n+1γ%0 −γ%00откуда следует, чтоZγ% 0f (ζ)dζ =(ζ − a)n+1Zγ%00f (ζ)dζ.(ζ − a)n+147ЛЕКЦИИ ПО ТФКППусть теперь r < r0 < R0 < R.
Тогда цикл γR0 − γr0 ограничивает кольцоK 0 = {z : r0 < |z − a| < R0 }. В силу интегральной формулы Коши (7.3) имеем вкольце K 0 представлениеZZf (ζ)f (ζ)11f (z) =dζ −dζ = f1 (z) + f2 (z),2πiζ −z2πiζ −zγR 0γr 0гдеf1 (z) =12πiZγR 0f (ζ)dζ,ζ −zf2 (z) = −12πiZγr0f (ζ)dζζ −zФункцию f1 можно рассматривать как интеграл Коши в круге |z − a| < R0 ипотому она является голоморфной в этом круге. В силу теоремы 6.1 функциюf1 можно представить рядом ТейлораZ∞(n)Xf1 (a)1f (ζ)nf1 (z) =cn (z − a) ,cn ==dζ,n!2πi(ζ − a)n+1n=0γR0т. е. коэффициенты cn , n = 0, 1, 2, .
. ., вычисляются по формулам (8.2). Дляполучения разложения функции f2 во внешности круга |z − a| > r0 представимядро Коши в виде−1=ζ −z1(z − a) 1 −ζ −az−a =∞X(ζ − a)n−1.(z − a)nn=1Поскольку при |z − a| > r0 и ζ ∈ γr0 выполняется неравенствоζ − ar0 z − a = |z − a| < 1,то полученный ряд сходится равномерно по ζ ∈ γr0 и его можно почленно интегрировать. Умножая его на ограниченную функцию f (ζ)/(2πi) и интегрируяпочленно, получаем∞Xbn,f2 (z) =(z−a)nn=1гдеbn =12πiZ(ζ − a)n−1 f (ζ)dζ = c−n .γr 0Складывая теперь полученные разложения для f1 и f2 , получаем разложение (8.1) для функции f в кольце K 0 .
Поскольку r0 и R0 можно выбрать скольугодно близко к r и R, соответственно, и коэффициенты cn не зависят от этоговыбора, то полученное представление имеет место во всем кольце K.Определение 8.1. Ряд (8.1), коэффициенты которого вычисляются по формулам (8.2), называется рядом Лорана функции f в кольце K. Совокупностьчленов этого ряда с неотрицательными степенями (z − a)n , n = 0, 1, . .
., называется его правильной частью, а совокупность членов с отрицательнымистепенями (z − a)n , n = −1, −2, . . ., — главной частью.48В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТеорема 8.2. [Единственность ряда Лорана.] Если функция f представима сходящимся в кольце K = {z : r < |z − a| < R} рядом (8.1), то егокоэффициенты определяются по формулам (8.2).Доказательство. Фиксируем % ∈ (r, R). Ряд (8.1) сходится равномернона окружности γ% . Поэтому его можно почленно интегрировать. Равномерная сходимость не нарушится, если его умножить на ограниченную функцию.Умножая равенство (8.1) на (z − a)−m−1 , где m — произвольное целое, и переходя к почленному интегрированию, получаем∞Xn=−∞Zcn(z − a)n−m−1Zdz =γ%γ%f (z)dz.(z − a)m+1Однако в сумме левой части последнего равенства все слагаемые, кроме соответствующего индексу n = m, обращаются в нуль.
ПоэтомуZf (z)dzcm · 2πi =(z − a)m+1γ%и теорема доказана.Смысл теоремы состоит в том, что всякий сходящийся ряд является рядомЛорана своей суммы. Формулы для вычисления коэффициентов ряда Лоранана практике применяются редко ввиду громоздкости соответствующих вычислений. На основании доказанной теоремы для получения лорановского разложения можно использовать любой корректный прием.Приведем теперь некоторые замечания о ряде Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки. Если функция f голоморфна во внешности некоторогокруга |z| > R, т. е. в окрестности бесконечно удаленной точки, то в силу теоремы 8.1 ее можно разложить в этой окрестности в ряд Лоранаf (z) =∞Xcn z n ,n=−∞коэффициенты которого вычисляются по формуламZ1f (ζ)cn =dζ,2πiζ n+1γ%где γ% — положительно ориентированная окружность |ζ| = %, % > R.
Однакопри этом несколько меняется терминология. Под главной частью ряда ЛораP∞nна в окрестности бесконечно удаленной точки понимается суммаn=1 cn zпо положительным степеням z, а под правильной частью понимается суммаP0nnn=−∞ cn z по отрицательным степеням z и c0 . Это связано с тем, что z → 0при z → ∞ для отрицательных n и z n → ∞ при z → ∞ для положительныхn. В случае отсутствия главной части f (z) → c0 при z → ∞, а замена z = 1/ζприводит к тому, что функция g(ζ) = f (1/ζ) будет голоморфной в окрестноститочки ζ = 0.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП498.2.
Изолированные особые точки. Точка a ∈ C называется изолированной особой точкой (однозначного характера) для функции f , если найдетсятакое r > 0, что f является голоморфной в проколотой окрестности Ȯr (a). Взависимости от поведения функции f (z) при приближении z к особой точке aпроводится следующая классификация.Определение 8.2. Изолированная особая точка a ∈ C функции f называется:(i) устранимой особой точкой, если существует конечный пределlim f (z) = A;z→a(ii) полюсом, если f (z) → ∞ при z → a;(iii) существенно особой точкой, если f (z) не имеет ни конечного, ни бесконечного предела при z → a.Теорема 8.3.
Изолированная особая точка a функции f является устранимой в том и только том случае, если f ограничена в некоторой окрестности Ȯr (a), r > 0.Доказательство. Если a является устранимой особой точкой, то ограниченность f (z) в некоторой окрестности Ȯr (a) следует из существования пределаlim f (z) при z → a.Допустим теперь, что |f (z)| 6 M при всех z ∈ Ȯr (a) и некотором M > 0.В Ȯr (a), как в кольцевой области, функция f представима в виде суммы рядаЛорана∞Xf (z) =cn (z − a)n ,n=−∞коэффициенты которого вычисляются по формуламZ1f (ζ)cn =dζ,2πi(ζ − a)n+1γ%где γ% — положительно ориентированная окружность |ζ − a| = %, а % можновыбрать любым в интервале (0, r).
ПосколькуZZ1 f (ζ)MM|cn | =dζ 6|dζ| = n ,n+1n+12π(ζ − a)2π%%γ%γ%то cn = 0 для всех отрицательных n. Таким образом, ряд Лорана функции f вȮr (a) является, по существу, обычным степенным рядом, а его сумма g(z) представляет собой голоморфную в Ȯr (a) функцию, которая совпадает с функциейf в проколотой окрестности Ȯr (a).Замечание 8.1. Из доказательства теоремы видно, что доопределение (илипереопределение) функции f в устранимой особой точке a делает ее голоморфной в полной окрестности Or (a), чем и объясняется ее название.50В. В.
ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНЗамечание 8.2. Полученные в ходе доказательства неравенства |cn | 6 M/%nдля коэффициентов ряда Лорана, гдеM = max |f (z)|,z∈γ%иногда называют неравенствами Коши.Следствие 8.1. Пусть f — голоморфная в области D функция и a является ее нулем порядка m. Тогда в области D имеет место равенствоf (z) = (z − a)m g(z),где g — голоморфная в D функция и g(a) 6= 0.Доказательство.
Функция g(z) = f (z)/(z − a)m является голоморфной вD \ {a}. Из вида ряда Тейлора функции f в окрестности точки a следует, что aявляется устранимой особой точкой для функции g. Таким образом, доопределяя функцию g в точке a соответствующим образом, получаем голоморфнуюв D функцию. Условие g(a) = 0 означало бы, что f имеет в точке a нуль болеевысокого порядка, чем m. Следовательно, g(a) 6= 0.При доказательстве теоремы 8.3 мы установили также, что изолированнаяособая точка a является устранимой для функции f в том и только том случае,если разложение f в ряд Лорана в проколотой окрестности Ȯr (a) не содержит главной части.
Оказывается, что главная часть лорановского разложенияфункции в окрестности изолированной особой точки полностью определяет характер особенности.Теорема 8.4. Изолированная особая точка a ∈ C функции f является полюсом (существенно особой) в том и только том случае, если главная частьряда Лорана функции f в проколотой окрестности Ȯr (a) содержит конечное(бесконечное) число членов с ненулевыми коэффициентами.Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать только дляполюса. Допустим, что лорановское разложение функции f в Ȯr (a) имеет видf (z) = c−m (z − a)−m + c−m+1 (z − a)−m+1 + . .
.и c−m 6= 0, т. е. главная часть имеет конечное число членов с ненулевымикоэффициентами. Тогда функция ϕ, определяемая как сумма степенного рядаϕ(z) =∞Xk=0ck−m (z − a)k ,будет голоморфной в полной окрестности Or (a). При этом ϕ(a) = c−m 6= 0.Из равенства f (z) = (z − a)−m ϕ(z) видно, что f (z) → ∞ при z → a. Такимобразом, a является полюсом для функции f .Допустим теперь, что a — полюс функции f . Тогда f (z) 6= 0 в некоторойпроколотой окрестности Ȯr (a) и, следовательно, в этой окрестности функцияg(z) = 1/f (z) является голоморфной и g(z) → 0 при z → a. Полагая g(a) = 0,получаем голоморфную в Or (a) функцию. Пусть m — порядок нуля функции51ЛЕКЦИИ ПО ТФКПg в точке a.
Тогда g(z) = (z − a)m ϕ(z) где ϕ — голоморфная в Or (a) функцияи ϕ(z) 6= 0 при z ∈ Or (a). Функция 1/ϕ(z) также будет голоморфной в Or (a),а ее разложение в ряд Тейлора в Or (a) будет иметь вид∞X1=ak (z − a)k ,ϕ(z)k=0где a0 6= 0. Но тогда в Ȯr (a) функция f представима в виде∞f (z) =X11= (z − a)−m= (z − a)−mak (z − a)k ,g(z)ϕ(z)k=0из которого видно, что главная часть ряда Лорана функции f в окрестноститочки a имеет конечное число ненулевых членов.Определение 8.3. Порядком (или кратностью) полюса a функции f называется порядок этой точки как нуля функции 1/f .Из доказательства теоремы видно, что порядок полюса совпадает с номеромстаршего члена главной части лорановского разложения функции в окрестности полюса. Следующий результат указывает на сложное поведение функциив окрестности существенно особой точки.Теорема 8.5. [Сохоцкого] Пусть f голоморфна в проколотой окрестностиȮr (a) и a является существенно особой точкой функции f .
Тогда для любого A ∈ C найдется последовательность {zn } ⊂ Ȯr (a) такая, что zn → a,f (zn ) → A при n → ∞.Доказательство. В случае A = ∞ утверждение следует из теоремы 8.3,согласно которой f не может быть ограниченной в окрестности Ȯ% (a) ни длякакого % ∈ (0, r).Пусть A ∈ C и допустим, что A не является предельной точкой никакойпоследовательности {f (zn )}, для которой zn → a. Тогда найдутся такие ε > 0и δ > 0, что |f (z) − A| > ε при z ∈ Ȯδ (a) Функцияg(z) =1f (z) − Aбудет голоморфной в Ȯδ (a) и |g(z)| 6 1/ε. По теореме 8.3 точка a должна бытьустранимой особой точкой для функции g.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
