Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, функция f будет однолистной и конформной внекоторой окрестности полюса a в том и только том случае, когда этот полюспростой.Рассмотрим теперь случай, когда f голоморфна в окрестности бесконечноудаленной точки. Обсуждать вопрос конформности f в точке z = ∞ имеетсмысл лишь при условии существования предела (конечного или бесконечного)функции f (z) при z → ∞. Допустим вначале, что этот предел конечный, т. е.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП79f (z) → w0 при z → ∞ и w0 ∈ C. Другими словами, точка z = ∞ являетсяустранимой особой точкой для функции f . Тогда функция g(ζ) = f (1/ζ) такжебудет иметь в точке ζ = 0 устранимую особенность.
Полагая g(0) = w0 , мыполучаем голоморфную в окрестности точки ζ = 0 функцию g. Конформностьфункции g в точке ζ = 0 эквивалентна условию g 0 (0) 6= 0. Перепишем этоусловие на функцию f . Посколькуg(ζ) − w0= lim z(f (z) − w0 ) = − res f (z),z→∞z=∞ζ→0ζg 0 (0) = limто приходим к выводу: если z = ∞ является устранимой особой точкой дляфункции f , то отображение w = f (z) будет однолистным и конформным внекоторой окрестности бесконечно удаленной точки в том и только том случае, если res f (z) 6= 0.z=∞Рассмотрим, наконец, случай f (z) → ∞ при z → ∞, т, е. когда z = ∞является полюсом для функции f .
В этом случае свойство конформности переносится на функцию g(ζ) = 1/f (1/ζ) в точке ζ = 0. Условие g 0 (0) 6= 0 втерминах функции f принимает видg 0 (0) = limζ→0g(ζ)z= lim6= 0.z→∞ f (z)ζЭто означает, что z = ∞ является простым полюсом для функции f .§ 12. Локально равномерная сходимость12.1. Определение и свойства локально равномерной сходимости.Среди различных видов сходимости последовательностей функций в теориианалитических функций исключительно важную роль играет так называемаялокально равномерная сходимость.Определение 12.1. Будем говорить, что последовательность определенных в области D функций fn , n = 1, 2, . . ., сходится локально равномерно вD к функции f , если для каждой точки z0 ∈ D найдется такая ее окрестностьOr (z0 ), r > 0, что Or (z0 ) ⊂ D и fn (z) → f (z) равномерно в Or (z0 ) при n → ∞.Замечание 12.1.
Приведенное определение можно дать в другой эквивалентной формулировке. Последовательность {fn } сходится локально равномерно в области D к функции f в том и только том случае, если для любогокомпактного подмножества K ⊂ D последовательность {fn } сходится равномерно на K к функции f .Доказательство. Действительно, если fn → f локально равномерно в Dв смысле определения 12.1 и K — компактное подмножество области D, то длялюбой точки z0 ∈ K найдется r0 > 0 такое, что Or0 (z0 ) ⊂ D и fn (z) → f (z)равномерно в Or0 (z0 ) при n → ∞.
Поскольку каждая точка множества Kобладает такой окрестностью, а K — компактное множество, то можно выбратьконечное число окрестностей Or1 (z1 ), . . . , Orm (zm ), которые покрывают K и вкаждой из которых сходимость последовательности {fn } равномерная. Пустьтеперь ε > 0. Для каждой окрестности Ork (zk ), k = 1, . . . , m, существует80В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С.
ПОЛОВИНКИНномер Nk такой, что |f (z) − fn (z)| < ε при всех z ∈ Ork (zk ) и n > Nk . Нотогда для n > max{N1 , . . . , Nm } и всех z ∈ K будет выполняться неравенство|f (z) − fn (z)| < ε. Поскольку ε > 0 выбиралось произвольно, то это и означаетравномерную сходимость последовательности {fn } на множестве K.Обратно, если последовательность {fn } сходится равномерно на каждомкомпактном подмножестве K ⊂ D, то для любой точки z0 ∈ D найдется (всилу того, что D — открытое множество) окрестность Or (z0 ) ⊂ D.
Замкнутыйкруг {z : |z − z0 | 6 r/2} является компактным подмножеством области D и попредположению fn (z) → f (z) равномерно в окрестности Or/2 (z0 ).Теорема 12.1. [Вейерштрасса]. Пусть {fn } — последовательность голоморфных в области D функций и fn (z) → f (z) локально равномерно в D приn → ∞. Тогда имеют место следующие утверждения:(i) f является голоморфной в D функцией;(ii) fn0 (z) → f 0 (z) локально равномерно в D при n → ∞.Доказательство.
(i) Пусть z0 — произвольная точка области D. Выберемr > 0 так, чтобы замкнутый круг Or (z0 ) содержался в области D. Посколькуэтот круг является компактным подмножеством области D, то fn (z) → f (z)равномерно на Or (z0 ), а предельная функция f будет непрерывной. Далее,для любой замкнутой кусочно-гладкой кривой γ ⊂ Or (z0 ) в силу равномернойсходимости последовательности {fn } на ней будем иметьZZlimfn (z)dz =f (z)dz.n→∞γγОднако по теореме Коши интегралы в левой части равенства равны нулю. Этоозначает, что для функции f в Or (z0 ) выполнены условия теоремы Морера 5.4и, следовательно, f голоморфна в Or (z0 ). Поскольку z0 была произвольнойточкой области D то голоморфность f в D доказана.Для доказательства (ii) воспользуемся интегральной формулой Коши дляпроизводных (5.2).
Снова фиксируем z0 ∈ D и r > 0 такое, что Or (z0 ) ⊂D. Если γr = ∂Or (z0 ) — положительно ориентированная граница окрестностиOr (z0 ), то для всех z ∈ Or (z0 ) будут выполняться равенстваZZ1f (ζ)1fn (ζ)0f 0 (z) =dζ,f(z)=dζ.n22πi(ζ − z)2πi(ζ − z)2γrγrНо тогда для z ∈ Or/2 (z0 ) будем иметьZ1 f (ζ) − fn (ζ) 400|f (z) − fn (z)| =dζ 6 max |f (ζ) − fn (ζ)|.2π (ζ − z)2r ζ∈γrγrПоскольку правая часть этого неравенства не зависит от z ∈ Or/2 (z0 ) и стремится к нулю при n → ∞, то fn0 (z) → f 0 (z) равномерно в Or/2 (z0 ).
Принимая вовнимание то, что z0 выбиралось произвольно из D, приходим к утверждению(ii).ЛЕКЦИИ ПО ТФКП81Иногда утверждение (i) называют первой теоремой Вейерштрасса, а (ii) —второй теоремой Вейерштрасса.Ранее мы доказали, что сумма степенного ряда представляет собой голоморфную в круге сходимости функцию. Теорема Вейерштрасса позволяет расширить этот результат следующим образом.P∞Следствие 12.1. [Теорема Вейерштрасса для рядов]. Пусть ряд n=1 fn (z),составленный из голоморфных в области D Pфункций fn сходится локально∞равномерно в D.
Тогда его сумма f (z) =n=1 fn (z) является голоморфнойвDфункциейирядможнопочленнодифференцировать,т. е. f 0 (z) =P∞0n=1 fn (z).Теорема 12.2. [Гурвица.] Пусть функции fn , n = 1, 2, . . ., голоморфны ине обращаются в нуль в области D. Допустим также, что fn (z) → f (z)локально равномерно в D. Тогда либо f (z) ≡ 0, либо f (z) 6= 0 при z ∈ D.Доказательство. Допустим, что f (z) 6≡ 0 и f (a) = 0 в некоторой точкеa ∈ D. Тогда в силу изолированности нулей голоморфной функции найдетсятакое r > 0, что Or (a) ⊂ D и f (z) 6= 0 при z ∈ Ȯr (a).
Можно считать, чтоf не обращается в нуль и на γ = ∂Or (a). Поскольку γ является компактныммножеством, тоmin |f (z)| = δ > 0.z∈γВ силу локально равномерной сходимости последовательности {fn } найдетсяномер N такой, что|fn (z) − f (z)| < δ/2при всех n > N и z ∈ γ. Но тогда по теореме Руше функция fn (z) = f (z) +(fn (z) − f (z)) будет иметь в Or (a) столько же нулей с учетом их кратности,сколько и функция f (z). Однако, это противоречит условиям теоремы, согласно которым fn не должна обращаться в нуль в области D.Следствие 12.2. Пусть последовательность однолистных и голоморфныхв области D функций fn , n = 1, 2, .
. ., сходится локально равномерно в D кфункции f (z) 6≡ const. Тогда f также однолистна в области D.Доказательство. Допустим, что f (z1 ) = f (z2 ) = w0 для некоторых z1 , z2 ∈D и z1 6= z2 . Выберем r > 0 так, чтобы Or (z1 ) ⊂ D, Or (z2 ) ⊂ D и Or (z1 ) ∩Or (z2 ) = ∅. Поскольку каждая функция fn однолистна в D, то fn (z) 6= w0хотя бы в одной из окрестностей Or (z1 ) или Or (z2 ). Поэтому можно выбратьподпоследовательность {fnk } и одну из окрестностей Or (z1 ) или Or (z2 ) так,чтобы все функции подпоследовательности fnk не принимали значения w0 ввыбранной окрестности, т.
е. fnk (z) − w0 6= 0. Но тогда по теореме Гурвица либо f (z) ≡ w0 , либо f (z) 6= w0 в выбранной окрестности. Первоепротиворечит условию f (z) 6≡ const., а второе противоречит предположениюf (z1 ) = f (z2 ) = w0 .12.2. Принцип компактности. Пусть K — компактное множество в комплексной плоскости C. Через C(K) обозначим совокупность всех непрерывных комплекснозначных функций, определенных на K. Как известно из курса математического анализа, всякая непрерывная на компактном множестве82В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНфункция является и равномерно непрерывной на этом компактном множестве.Кроме того предел равномерно сходящейся последовательности функций представляет собой непрерывную функцию.
Для семейств непрерывных функцийвозникает еще одно понятие, связанное с непрерывностью.Определение 12.2. Пусть F — семейство комплекснозначных функций, определенных на множестве E ⊂ C. Будем говорить, что это семейство является равностепенно непрерывным на E, если для любого ε > 0 найдется такоеδ > 0, что |f (z 0 ) − f (z 00 )| < ε для любых z 0 , z 00 из E, удовлетворяющих условию|z 0 − z 00 | < δ, и всех функций f из семейства F.Очевидно, что каждая функция f из равностепенно непрерывного семействаF является равномерно непрерывной на множестве E. Следующий результатсоставляет принцип компактности в C(K).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
