Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Околополовины века понадобилось для отыскания строгого доказательства этой теоремы. Одним из первых его получил Кебе. Ниже мы приведем доказательствотеоремы Римана, близкое к предложенному Кебе.В силу теоремы Лиувилля не существует конформного отображения всейплоскости на единичный круг.Теорема 13.5. [Римана.] Пусть D — односвязная область в комплекснойплоскости C и D 6= C. Допустим также, что z0 — точка области D. Тогдасуществует единственная голоморфная и однолистная в D функция f , которая отображает D на единичный круг D и удовлетворяет условиям f (z0 ) = 0,f 0 (z0 ) > 0.Доказательство.
Докажем вначале единственность. Допустим, что двефункции f1 и f2 удовлетворяют условиям теоремы. Тогда функция ζ = ϕ(w) =f2 ◦ f1−1 (w) будет конформно отображать единичный круг D на себя и ϕ(0) =0, ϕ0 (0) > 0. Как следует из предыдущей теоремы, ϕ должна определятьсяформулойw−aϕ(w) = eiθ.1 − awОднако, поскольку ϕ(0) = 0, то a = 0, а условие ϕ0 (0) > 0 приводит к тождествуϕ(w) ≡ w. Но тогда, подставляя w = f1 (z) в равенствоf2 ◦ f1−1 (w) ≡ w,96В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНполучаем f2 (z) ≡ f1 (z) и единственность отображения доказана.Для доказательства существования отображающей функции f введем в рассмотрение класс F однолистных в области D функций g, которые удовлетворяют условиям: g(z0 ) = 0, g 0 (z0 ) > 0 и |g(z)| < 1 при z ∈ D, т, е. g(D) ⊂ D.Покажем вначале непустоту введенного класса функций. По условиям теоремыD 6= C. Поэтому найдется a ∈ C \ D. В силу того, что D является односвязной областью и z − a не обращается в нуль в D, можно в области D выделитьрегулярные ветви функций ln(z − a) иQ(z) =√1z − a = e 2 ln(z−a) .Допустим, что для пары точек z1 и z2 из области D выполняется одно из равенствQ(z1 ) = Q(z2 )илиQ(z1 ) = −Q(z2 ).Тогда после возведения в квадрат обеих частей равенства получаем z1 = z2 .Это означает, что Q однолистна в D и Q(D) не содержит пары точек, симметричных относительно начала координат. В силу принципа открытости точка w0 = Q(z0 ) принадлежит области Q(D) вместе с некоторой окрестностьюOr (w0 ).
Но тогда, в силу отмеченного выше свойства области Q(D), симметричная окрестность Or (−w0 ) должна иметь пустое пересечение с Q(D). Следовательно, |Q(z) + w0 | > r для всех z ∈ D, а функцияh(z) =rw0 + Q(z)является однолистной в области D и |h(z)| < 1 при z ∈ D. Выполняя дополнительно дробно-линейное преобразование, получаем функциюg(z) =h0 (z0 ) h(z) − h(z0 ),|h0 (z0 )| 1 − h(z0 )h(z)которая принадлежит семейству F, т. е.
g(D) ⊂ D, g(z0 ) = 0 и g 0 (z0 ) =|h0 (z0 )|/(1 − |h(z0 )|2 ) > 0. Таким образом непустота класса F доказана.Пусть теперьα = sup{g 0 (z0 ) : g ∈ F}.Мы пока не исключаем возможности того, что α = +∞. Из определениясупремума следует существование такой последовательности {fn } ⊂ F, чтоfn0 (z0 ) → α при n → ∞. Поскольку семейство F равномерно ограничено в области D, то в силу принципа компактности из последовательности {fn } можновыделить подпоследовательность fnk , которая сходится локально равномернов области D. Из теоремы 12.1 Вейерштрасса следует, что предельная функцияf подпоследовательности fnk является голоморфной в D иf 0 (z0 ) = lim fn0 k (z0 ) = α.k→∞Отсюда, в частности, следует конечность α.
По следствию 12.2 из теоремыГурвица имеем также однолистность предельной функции f . Таким образомЛЕКЦИИ ПО ТФКП97f принадлежит семейству F и является решением поставленной выше экстремальной задачи.Покажем теперь, что полученная функция f и является конформным отображением области D на единичный круг D. Допустим противное, т. е. чтоf (D) 6= D. Тогда найдется точка w∗ ∈ D \ f (D). В односвязной области Dвыделим регулярную ветвьsf (z) − w∗H(z) =,1 − w∗ f (z)фиксируя некоторое значение H(z0 ) = ζ ∗ ∈ {(−w∗ )1/2 }. Как и в случае с функцией Q(z), легко проверяется однолистность функции H(z). Добиться условиянормировки можно с помощью дополнительного дробно-линейного преобразования, переходя к функцииF (z) =H 0 (z0 ) H(z) − ζ ∗.|H 0 (z0 )| 1 − ζ ∗ H(z)Функция F принадлежит семейству F иF 0 (z0 ) =|H 0 (z0 )|.1 − |ζ ∗ |2Дифференцируя равенство(H(z))2 =и полагая z = z0 , получаемf (z) − w∗1 − w∗ f (z)2ζ ∗ H 0 (z0 ) = α(1 − |w∗ |2 ).Следовательно,F 0 (z0 ) =α(1 − |w∗ |2 )1 + |w∗ |1 + |ζ ∗ |2=α=α.2|ζ ∗ |(1 − |ζ ∗ |2 )2|ζ ∗ |2|ζ ∗ |Поскольку |ζ ∗ | < 1, то 1 + |ζ ∗ |2 > 2|ζ ∗ |, и мы получаем противоречие определению α.Конформное отображение осуществляет взаимно однозначное соответствиеобластей, т.
е. открытых множеств. Вопрос о том, при каких условиях конформное отображение можно продолжить на границу области, был решен Каратеодори. Сформулируем без доказательства один из его результатов, который часто называют принцип соответствия границ.Теорема 13.6. [Каратеодори.] Пусть области D и D∗ ограничены жордановыми кривыми γ и γ ∗ . Тогда конформное отображение f области D наобласть D∗ можно продолжить до гомеоморфного (взаимно однозначного инепрерывного как прямого, так и обратного) отображения замкнутых областей.Заметим, что в силу теоремы Римана для любых двух односвязных областей,отличных от всей комплексной плоскости, существует конформное отображение одной области на другую.98В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИН§ 14. Аналитическое продолжениеСогласно теореме единственности голоморфная функция однозначно определяется ее значениями в сколь угодно малой окрестности какой-либо однойточки. Во времена Ньютона считалось, что все функции только такие, а трудности видели лишь в вычислении значений там, где исходная формула ее неопределяла, т. е. в аналитическом продолжении. Основная логическая трудность, связанная с аналитическим продолжением, состоит в его неоднозначности.До этого момента мы под функцией понимали классическое понятие, когдакаждой точке области определения ставилось в соответствие только одно комплексное число.
С другой стороны, при изучении логарифма и корней мы сталкивались с трудностью их определения, но преодолевали эту трудность выделением ветвей. В этом параграфе мы рассмотрим другую концепцию, котораярасширяет понятие функции и также направлена на преодоление трудностей,связанных с многозначностью логарифма и корней.Степенные ряды.Вейерштрасс в построении теории аналитическихP∞ функций систематическииспользовал степенные ряды. Степенной ряд n=0 cn (z − z0 )n определяет голоморфную функцию f в некотором круге OR0 (z0 ), радиус которого можно вычислить по коэффициентамP∞ ряда посредством формулы (3.2) Коши—Адамара.Пусть z1 ∈ OR0 (z0 ) и n=0 bn (z − z1 )n — разложение в ряд Тейлора этой жефункции f .
Радиус сходимости R1 этого ряда не меньше расстояния от z1 дограницыP∞круга OR0 (z0 ), но может оказаться больше. Во втором случае суммаряда n=0 bn (z −z1 )n представляет собой голоморфную функцию f1 в OR1 (z1 ),которая совпадает с f на пересечении кругов OR0 (z0 ) ∩ OR1 (z1 ). Таким образом мы получаем аналитическое продолжение функции f на OR0 (z0 ) ∪ OR1 (z1 ).Идея Вейерштрасса заключалась в повторении такого процесса продолженияфункции и под аналитической функцией он понимал совокупность всех продолжений начальной функции f . Степенные ряды из этой совокупности всехпродолжений рассматривались как различные формы одной и той же функции.Теорема 3.1 дает радиус сходимости степенного ряда, но не дает никакойинформации о его сходимости в граничных точках круга сходимости.
Можнобыло бы предположить, что сходимость ряда в граничной точке как то связана с возможностью аналитического продолжения его суммы через эту точкуза пределы круга сходимости. Однако это не так, в чем можно убедиться,рассмотрев следующие два примера.Функция f (z) = 1/(1 − z) голоморфнаPв∞C \ {1}, но в единичном круге представляет собой сумму степенного ряда n=0 z n , который расходится в каждойточке единичной окружности. С другой стороны, сумма g(z) степенного рядаP∞ n 2n=1 z /n не может быть продолжена аналитически из единичного круга вобласть, содержащую точку z = 1, посколькуg 00 (z) =∞Xn+1 nzn+2n=0стремится к ∞, когда z → 1 вдоль вещественного радиуса.ЛЕКЦИИ ПО ТФКП99Определение 14.1. Пусть S(z) — сумма степенного ряда∞Xcn z n(14.1)n=0с положительным радиусом сходимости R.
Будем говорить, что точка z0 наокружности |z| = R является регулярной точкой степенного ряда (14.1), если S(z) аналитически продолжается в некоторую окрестность этой точки. Впротивном случае будем называть z0 особой точкой степенного ряда (14.1).Следующий результат известен как теорема Коши— Адамара.Теорема 14.1. Пусть степенной ряд (14.1) имеет положительный радиуссходимости R.
Тогда на окружности |z| = R имеется хотя бы одна особаяточка.Доказательство. Допустим противное, т. е. для каждой точки ζ ∈ γR ,γR = ∂OR (0), найдется круг Uζ с центром в точке ζ и радиусом Rζ > 0 такой,что сумма S(z) ряда (14.1) аналитически продолжается в Uζ ∪ OR (0). Поскольку семейство кругов Uζ , ζ ∈ γR , образует открытое покрытие компактногомножества γR , то из него в силу леммы Гейне— Бореля можно выделить конечное подпокрытие Uζ1 , . .
. , Uζn . Но тогда S(z) аналитически продолжается вобласть!n[ [D = OR (0)U ζk .k=1Это продолжение корректно определено, поскольку в случае Uζk ∩ Uζl 6= ∅также имеемUζk ∩ Uζl ∩ OR (0) 6= ∅и в последнем пересечении трех кругов продолжения в Uζk и Uζl совпадают сS(z), а по теореме единственности они совпадают и во всей области определения. В результате мы получаем, что S(z) является голоморфной функциейв области D, которая содержит круг большего радиуса, чем R. Но это противоречит тому, что R — радиус сходимости степенного ряда (14.1) и теоремадоказана.Определение 14.2. Если ряд (14.1) имеет положительный радиус сходимости R и каждая точка окружности |z| = R является особой, то эта окружностьназывается естественной границей суммы ряда S(z).Примерами степенных рядов, для которых граница круга сходимости является естественной границей, могут служить ряды∞Xz n! ,n=0∞Xnz2 .n=0В обоих примерах все точки единичной окружности являются особыми для ихсуммы.Аналитическое продолжение вдоль пути.Уточним вначале терминологию.100В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНОпределение 14.3. Функциональным элементом или, короче, элементомбудем называть пару (f, U ) где U — некоторый круг, а f — голоморфная в Uфункция.Два элемента (f, U ) и (g, V ) являются непосредственным аналитическимпродолжением друг друга, если U ∩ V 6= ∅ и f (z) = g(z) при z ∈ U ∩ V .Вместе f и g определяют голоморфную функцию в объединении кругов U ∪ V .Поэтому также говорят, что g является аналитическим продолжением функцииf в круг V . В силу теоремы единственности для аналитических функций такоепродолжение единственно, если оно существует.Допустим теперь, что (f1 , U1 ), .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
