Лекции по ТФКП - Горяйнов (1188229), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Далее будем считать,что λ > max{λ0 , 0}.Из формулы Тейлора с учетом условия S 0 (x0 ) = 0 следует равенствоS(x) − S(x0 ) =11 00S (x0 )(x − x0 )2 + o (x − x0 )2 = S 00 (x0 )(x − x0 )2 h(x),22131ЛЕКЦИИ ПО ТФКПгде функция h также является бесконечно дифференцируемой и h(x0 ) = 1.В некоторой окрестности точки x0 функция h(x) принимает положительныезначения и потому в этой окрестности определена функцияpg(x) = (x − x0 ) h(x).Поскольку g(x0 ) = 0, g 0 (x0 ) = 1, то существует окрестность точки x0 , в которойg(x) строго монотонно возрастает и, следовательно, найдется такое ε > 0, чтона отрезке [−ε, ε] определена функция ϕ(y), обратная к функции g(x), т. е.g(ϕ(y)) = y при y ∈ [−ε, ε].
Пусть x1 = ϕ(−ε), x2 = ϕ(ε). Заметим, чтоa < x1 < x2 < b, и представим F (λ) в видеF (λ) = eλS(x0 ) (I1 (λ) + I2 (λ) + J(λ)),гдеZx1I1 (λ) =f (x)eλ[S(x)−S(x0 )]Zbdx,I2 (λ) =af (x)eλ[S(x)−S(x0 )] dxx2иZx2J(λ) =f (x)eλ[S(x)−S(x0 )] dx.x1В силу сделанных предположенийsup{S(x) − S(x0 ) : x ∈ (a, x1 ] ∪ [x2 , b)} = −µ,где µ > 0.
Поскольку при λ > λ0 выполняется неравенствоλ[S(x) − S(x0 )] = (λ − λ0 )[S(x) − S(x0 )] + λ0 [S(x) − S(x0 )]6 −(λ − λ0 )µ − λ0 S(x0 ) + λ0 S(x),то|I1 (λ)| 6 e−λµ λ0 (µ−S(x0 ))Zx1e|f (x)|eλ0 S(x) dx,aт. е. I1 (λ) = O(e−µλ ) при λ → ∞. Аналогично получаем, что I2 (λ) = O(e−µλ )при λ → ∞.Обозначим1 00S (x0 ) = −σ,σ > 0.2В этих обозначениях на промежутке [x1 , x2 ] имеемS(x) − S(x0 ) = −σ(g(x))2 .Поскольку на [x1 , x2 ] функция g(x) строго монотонно возрастает, то в интегралеJ(λ) можно выполнить замену переменной x = ϕ(y):ZεJ(λ) =2f (ϕ(y))e−λσy ϕ0 (y)dy−εZε= f (x0 )−εe−λσy 20Zεϕ (y)dy +−ε2(f (ϕ(y)) − f (x0 ))e−λσy ϕ0 (y)dy.132В. В.
ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНИз формулы Тейлора и условия ϕ(0) = x0 следует, чтоf (ϕ(y)) − f (x0 ) = yf1 (y),−ε 6 y 6 ε.Аналогично с учетом равенства ϕ0 (0) = 1 получаемϕ0 (y) − 1 = yψ(y),−ε 6 y 6 ε.Поэтому интеграл J(λ) можно записать в видеZεJ(λ) = f (x0 )e−λσy 2Zεdy +−ε2[ψ(y) + ϕ0 (y)f1 (y)]e−λσy ydy.−εПустьM =max |ψ(y) + ϕ0 (y)f1 (y)|.y∈[−ε,ε]Тогда εZZε2 [ψ(y) + ϕ0 (y)f1 (y)]e−λσy ydy 6 M e−λσy2 |y|dy−ε−εZε= 2M=Mσλ2e−λσy ydy0√εZ σλe−t dt0M16,σ λт. е. второй интеграл в представлении J(λ) является O(1/λ). Первый интегралв этом представлении запишем в видеZεe−λσy 2Z∞dy =−ε−λσy 2e−∞dy − 2Z∞2e−λσy dy.εЗамечая, чтоZ∞−λσy 2e−∞1dy = √λσZ∞e−u2rdu =π=λσs−∞2π−λS 00 (x0 )иZ∞0 6 2ε2e−λσy dy =Z∞dt1e−λσt √ 6εtε2Z∞e−λσt dt 61ελσZ∞e−u du =1,ελσ0ε2получаемsJ(λ) = f (x0 )2π+O−λS 00 (x0 ) 1.λ133ЛЕКЦИИ ПО ТФКПВ качестве простого применения доказанной теоремы приведем асимптотикугамма-функции Γ(λ) при λ → ∞.
Действительно, для λ > 0 имеемZ∞Γ(λ + 1) =tλ e−t dt =0Z∞eλ(ln t−t/λ) dt.0Выполним замену переменной t по формуле t = λx. Тогда ln t = ln λ + ln x,dt = λdx иZ∞Z∞λ ln λλ(ln x−x)λ+1eeλS(x) dx,Γ(λ + 1) = λedx = λ000где S(x) = ln x − x. Из равенства S (x) = 1/x − 1 видно, что S(x) имеет на(0, ∞) максимум в единственной точке x0 = 1. При этом S(1) = S 00 (1) = −1.Но тогда в силу теоремы 17.1r ! λ √2π1λ1λ+1 −λ+O= 2πλ1+O √Γ(λ + 1) = λeλλeλпри λ → ∞. Для целых λ это равенство известно как формула Стирлинга n n √1n! = Γ(n + 1) = 2πn1+O √enпри n → ∞.
Интересно, что уже при n = 2 главная часть асимптотики даетзначение 1, 919 . . ., близкое к 2!.17.2. Метод стационарной фазы. Теперь рассмотрим асимптотику интегралов видаZbF (λ) =f (x)eiλS(x) dx(17.3)aпри λ → ∞, где [a, b] — конечный промежуток, а функции f (x) и S(x) по-прежнему будем считать бесконечно дифференцируемыми и называть соответственно амплитудой и фазовой функциями. Оказывается, что в этом случае приопределенных условиях основной вклад в интеграл (17.3) при λ → ∞ даеттакже лишь окрестность некоторой точки. Будем говорить, что x0 ∈ (a, b) является стационарной точкой фазовой функции, если S 0 (x0 ) = 0.
Стационарнаяточка x0 будет называться невырожденной, если S 00 (x0 ) 6= 0. Найдем главныйчлен асимптотики интеграла при наличии на (a, b) единственной невырожденной стационарной точки.Теорема 17.2. Пусть функции f (x) и S(x) бесконечно дифференцируемына отрезке [a, b], функция S(x) имеет единственную стационарную точкуx0 ∈ (a, b) и S 00 (x0 ) > 0.
Тогдаs Zb2π1iλS(x)iπ/4 iλS(x0 )+OF (λ) =f (x)edx = eef (x0 )00λS (x0 )λaпри λ → ∞.134В. В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНДоказательство. Как и в случае метода Лапласа1 00S (x0 )(x − x0 )2 h(x),2S(x) − S(x0 ) =где h(x) является бесконечно дифференцируемой функцией на [a, b] и h(x0 ) = 1.Снова рассмотрим функциюpg(x) = (x − x0 ) h(x),которая определена и является строго монотонно возрастающей в некоторойокрестности точки x0 . Пусть ϕ(y) = g −1 (y) — обратная функция, которая определена на промежутке [−ε, ε] при некотором ε > 0. Обозначимx1 = ϕ(−ε),x2 = ϕ(ε),σ =1 00S (x0 ).2ТогдаS(x) − S(x0 ) = σ · (g(x))2при x ∈ [x1 , x2 ] и интеграл F (λ) можно представить в видеF (λ) = eZx2iλS(x0 )2f (x)eiλσ(g(x)) dx + I1 (λ) + I2 (λ),(17.4)x1гдеZx1I1 (λ) =f (x)eiλS(x)Zbdx,I2 (λ) =af (x)eiλS(x) dx.x20Поскольку ϕ(0) = x0 , ϕ (0) = 1, тоf (ϕ(y)) − f (x0 ) = f 0 (x0 )y + o(y) = yψ1 (y),где функция ψ1 (y) определена и непрерывно дифференцируема на промежутке[−ε, ε].
Аналогично получаем представлениеϕ0 (y) − 1 = yψ2 (y).Используя эти представления, выполним в первом интеграле из (17.4) заменупеременной x = ϕ(y) и проведем следующие преобразованияZx2f (x)ex1iλσ(g(x))2Zεdx =2f (ϕ(y))ϕ0 (y)eiλσy dy−εZε= f (x0 )−εZε= f (x0 )−ε0ϕ (y)eiλσy 2Zεdy +2yψ1 (y)ϕ0 (y)eiλσy dy−ε2eiλσy dy +Zε−ε2y[f (x0 )ψ2 (y) + ϕ0 (y)ψ1 (y)]eiλσy dy.135ЛЕКЦИИ ПО ТФКППосколькуZεeiλσy 2Zε2eiλσy dydy = 2−ε0Z∞= 2eiλσy 2dy − 2Z∞2eiλσy dyε02= √λσZ∞eit2dt − 2Z∞2eiλσy dy,ε0то, учитывая значение интеграла Френеля (15.14), получаемZεeiλσy 2dy = eiπ/4r−επ−2λσZ∞2eiλσy dy.εЗаметим также, что ∞ ZZ∞ 221d12 eiλσy dy = eiλσy dy iλσy dyεε iλσy2 y=∞Z∞e2 dy 1iλσy= +eiλσy 2 iλσy y=ε611+λσε λσZ∞εdy2=.y2λσεεСледовательно,Zε2eiλσy dy = eiπ/4rπ+Oσλ 1.λ−εДалее, поскольку функцияΦ(y) = f (x0 )ψ2 (y) + ϕ0 (y)ψ1 (y)является непрерывно дифференцируемой на [−ε, ε], тоZεyΦ(y)e−εiλσy 21dy =i2λσZεΦ(y)d iλσy2 edydy−εZε22 y=ε1 =Φ(y)eiλσy − Φ0 (y)eiλσy dy i2λσy=−ε−ε 1= O.λ136В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИНТаким образом,Zx2iλσ(g(x))2f (x)edx = eiπ/4r π1f (x0 )+O.λσλx1Изучим теперь асимптотику интегралов I1 (λ) и I2 (λ). Поскольку x0 — единственная точка на [a, b], в которой S 0 (x) обращается в нуль, тоmin{|S 0 (x)| : x ∈ [a, x1 ] ∪ [x2 , b]} = µ > 0.Но тогдаZx1I1 (λ) =f (x)eiλS(x)1dx =iλZx1f (x) d iλS(x) edxS 0 (x) dxaax=x1 Zx1 df(x)11 f (x) iλS(x) iλS(x)− ee=dx = O.iλ S 0 (x)dx S 0 (x)λx=aaАналогично получаем, что I2 (λ) =) λ1 .В результате с учетом введенного обозначения σ = S 00 (x0 )/2 из равенства (17.4)следуетs 2π1iπ/4iλS(x0 )F (λ) = ef (x0 )e+OλS 00 (x0 )λи теорема доказана.Замечание 17.1.
Если в критической точке x0 выполняется неравенствоS 00 (x0 ) < 0, то замена S(x) на −S(x) в условиях теоремы приводит к соотношениюs 12πiπ/4−iλS(x0 )+O.F (λ) = ef (x0 )e−λS 00 (x0 )λСледовательно, в случае S 00 (x0 ) < 0 имеет место асимптотическое равенствоs 2π1−iπ/4iλS(x0 )F (λ) = ef (x0 )e+O.−λS 00 (x0 )λпри λ → ∞.Доказанная теорема позволяет получить асимптотику функции Эйри Ai(s)при s → −∞.
Выполняя в интеграле1Ai(s) =2πZ∞ei(t3/3+st)dt−∞замену переменной по формуле t = u1/2 x, u = −s, получаемu1/2Ai(s) = Ai(−u) =2πZ∞−∞eiu3/2(x3 /3−x)dx.137ЛЕКЦИИ ПО ТФКПОбозначим S(x) = x3 /3 − x и λ = u3/2 . ТогдаAi(−u) =u1/2F (λ),2πгде F (λ) принимает вид (17.3). Заметим, что в этом случае фазовая функцияS(x) = x3 /3 − x имеет две стационарные точки x = ±1.
При этом2S(1) = − ,3S 00 (1) = 2,2,3S(−1) =S 00 (−1) = −2.Обе стационарные точки являются невырожденными. Для получения асимптотики F (λ) при λ → ∞ разобьем промежуток интегрирования (−∞, ∞) наинтервалы (−∞, −2), (−2, 0), (0, 2), (2, ∞). Тогда для F (λ) получим представлениеZ−2F (λ) =e−∞iλS(x)Z0dx +eiλS(x)Z2dx +−2eiλS(x)Z∞dx +0eiλS(x) dx2= F1 (λ) + F2 (λ) + F3 (λ) + F4 (λ).Асимптотические свойства интегралов F1 (λ) и F4 (λ) получаются с использованием интегрирования по частям. Поскольку S 0 (x) = x2 − 1, тоZ−2F1 (λ) =−∞Z−2iλS(x) −2iλS(x)1exeeiλS(x) dx =+2dx ,iλ x2 − 1 −∞(x2 − 1)2−∞откуда следует, что F1 (λ) = O(1/λ) при λ → ∞. Аналогично получаем F4 (λ) =O(1/λ) при λ → ∞.Далее, из теоремы 17.2 следует, чтоr π1iπ/4 −i2λ/3+OF3 (λ) = ee.λλАналогично из замечания 17.1 получаемF2 (λ) = e−iπ/4 i2λ/3erπ+Oλ 1,λи далееr π2λ π1F2 (λ) + F3 (λ) = 2cos−+O.λ34λТаким образом,1Ai(s) = √cosπ|s|1/4при s → −∞.2 3/2 π|s| −34+O1|s|3/2138В.
В. ГОРЯЙНОВ, Е. С. ПОЛОВИНКИН17.3. Метод перевала. Для отыскания асимптотики функцииZ∞1Ai(u) =2π3ei(ux+x/3)dx−∞при u → ∞ выполним замену переменной интегрирования по формуле x =√t u, u > 0. В результате получаем представлениеZ∞u1/2Ai(u) =2πeiu3/2(t+t3 /3)dt.(17.5)−∞К этому интегралу мы не можем применить метод стационарной фазы, поскольку функция t + t3 /3 не имеет стационарных точек на вещественной оси.Поэтому воспользуемся методом перевала (или методом седловой точки). Этотметод связан с изучением асимптотики интегралов видаZF (λ) =f (z)eλS(z) dz,(17.6)γгде f и S являются голоморфными функциями в некоторой области D, а γ —кусочно-гладкая кривая, расположенная в этой области.
Основной вопрос состоит в поведении F (λ) при λ → ∞.Под критической точкой снова будем понимать корень уравнения S 0 (z) = 0.Критическую точку z0 будем называть невырожденной, если S 00 (z0 ) 6= 0.Идея метода заключается в том, чтобы с использованием интегральной теоремы Коши, не изменив значения F (λ), деформировать контур γ к такому,который проходил бы через критическую точку и выполнялись бы следующиеусловия:(i) Im S(z) является постоянной на γ;(ii) Re S(z) достигает максимума на γ в критической точке.В случае реализации выбора такого контура γ можно надеяться применитьметод Лапласа для получения главного члена асимптотики F (λ) при λ → ∞.Рассмотрим локальное поведение функции S(z) в окрестности невырожденной критической точки.
Пусть z0 ∈ D такова, что S 0 (z0 ) = 0 и S 00 (z0 ) 6= 0.Тогда z0 будет для функции S(z) − S(z0 ) нулем второго порядка иS(z) − S(z0 ) = (z − z0 )2 h(z),где h — голоморфная в D функция и h(z0 ) = 21 S 00 (z0 ) 6= 0. Условие h(z) 6= 0будет сохраняться также в некоторой окрестности Or (z0 ), r > 0. В силу следствия 10.2 (о выделении регулярной ветви логарифма в односвязнойобласти)pв Or (z0 ) можно выделить регулярную ветвь ψ(z) корня h(z). Определим вOr (z0 ) функцию g(z) = (z − z0 )ψ(z) и заметим, чтоS(z) − S(z0 ) = (g(z))2 .ЛЕКЦИИ ПО ТФКП139При этом g 0 (z0 ) = ψ(z0 ) 6= 0 и по теореме 11.4 о локальной структуре отображения найдется окрестность O% (0), в которой определена и однолистна обратнаяфункция ϕ(ζ) = g −1 (ζ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
