Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В результатеполучим:Rb|f (x)g(x)| dx1 1a6 + = 1.kf kp kgkqp qЛемма 4 доказана.Теперь, применяя неравенство Гёльдера, как и в примере 2для сумм, получаем:Z bZ bp|f (x) + g(x)| dx 6|f (x) + g(x)|p−1 |f (x)| dx+aaZ b+|f (x)g(x)|p−1 |g(x)| dx 6 kf + gkp/qp (kf kp + kgkq )aи, следовательно,kf + gkp 6 kf kp + kgkpдля любого p > 1. Для p = 1 оно очевидно.Это неравенство называется неравенством Минковскогодля интегралов.Таким образом, в линейном пространстве всех функций,определённых и непрерывных на отрезке [a; b], можно ввестинорму по формуле (8). Это линейное нормированное пространство обозначается CLp [a; b] или Lcp [a; b].Как и в случае p = 1 (см.
п. 1.2), доказывается, что пространство CLp [a; b] является неполным. Пополнение этого пространства обозначается Lp [a; b] и называется пространствомфункций, суммируемых в p-й степени.60Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства§ 4. Операторы в линейных нормированныхпространствах4.1. Общие замечанияВ этом параграфе будем рассматривать операторы, действующие из одного линейного нормированного пространствав другое. Для таких операторов имеют смысл все понятия, введённые в § 2 для отображений одного метрического пространства в другое, и остаются справедливыми все доказанные тамутверждения. Здесь лишь напомним некоторые общепринятыеобозначения и понятия.Пусть задан оператор f , действующий из множества X вмножество Y .
Через Df или D(f ), как обычно, будем обозначать область определения оператора f , а через Rf или R(f ) —множество его значений. В общем случае не предполагается,что Df = X или Rf = Y .Пусть заданы два оператора f и F , действующие из X в Y .Они называются равными, если Df = DF и f (x) = F (x) длялюбого x ∈ Df . Если же Df ⊂ DF и f (x) = F (x) для любогоx ∈ Df , то оператор F называется расширением оператора f ,а оператор f — сужением оператора F .Как известно, вместо термина “оператор” можно использовать термины “функция” или “отображение”.Определение 1. Оператор f , действующий из нормированного пространства X в нормированное пространство Y , называется ограниченным, если он любое множество M ⊂ Df ,ограниченное в X, переводит в множество f (M ), ограниченное в Y .Короче, оператор f называется ограниченным, если образлюбого ограниченного множества из Df является ограниченным.Отметим, что линейная функция y = ax + b, a 6= 0, рассматриваемая как оператор, отображающий R на R, является§ 4.
Операторы в линейных нормированных пространствах61ограниченным оператором. В этом смысле и функция y = x2 ,x ∈ R, является ограниченным оператором.Определение 2. Последовательность операторов fn , действующих из X в Y , называется сходящейся на множествеD ⊂ X, если D ⊂ Dfn , D ⊂ Df и fn (x) → f (x) при n → ∞ длялюбого x ∈ D.В этом случае иногда говорят, что fn при n → ∞ сходитсяпоточечно на D к f .Таким образом, fn → f при n → ∞ поточечно на D, еслиlim kfn (x) − f (x)k = 0 ∀ x ∈ D.n→∞Если жеlim sup kfn (x) − f (x)k = 0,n→∞ x∈Dто говорят, что fn сходится к f равномерно на множестве D.Сделаем ещё несколько замечаний относительно линейныхоператоров.Пусть X и Y — линейные пространства (оба над полемдействительных чисел или оба над полем комплексных чисел).Определение 3.
Оператор f , действующий из X в Y , называется линейным, если Df — линейное многообразие, и еслиf (α1 x1 + α2 x2 ) = α1 f (x1 ) + α2 f (x2 )для любых x1 ,x2 ∈ Df и любых чисел α1 ,α2 .Легко видеть, что у любого линейного оператора множествозначений является линейным многообразием.Как и в линейной алгебре, линейные операторы будем обозначать в основном буквами A,B и т.д. и писать y = Ax,y = Bx и т.д.Из данного определения видно, что линейный оператор A,действующий из X в Y , не обязан быть заданным на всём X, ноон всегда задан на линейном многообразии, т.е. на линейномподпространстве пространства X.62Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваЕсли ограничить себя только рассмотрением линейныхпространств, то не ограничивая общности, можно считать, чтолинейный оператор, действующий из X в Y , определён для любого x ∈ X.Если же X — нормированное пространство, то наиболееинтересным является случай, когда область определения линейного оператора плотна в X. Однако если этот линейныйоператор ограничен, то, как будет показано ниже, его можнопродолжить по непрерывности на всё пространство X. А таккак изучение неограниченных операторов выходит за рамкинашего курса, то в дальнейшем будем считать, что любой линейный оператор, действующий из X в Y , определён на всёмпространстве X.Через L(X; Y ) обозначим множество всех ограниченных линейных операторов, отображающих X в Y .4.2.
Линейные операторыПусть X и Y — линейные нормированные пространства.Легко видеть, что линейный оператор A непрерывен в любойточке области определения DA ⊂ X, если он непрерывен вточке x = 0. Действительно, если x0 ∈ DA и x ∈ DA , тоx − x0 ∈ DA иAx − Ax0 = A(x − x0 ).Поэтому если оператор A непрерывен в точке x = 0, то A(x −−x0 ) → 0 при x → x0 , и, следовательно, Ax → Ax0 при x → x0 ,x ∈ DA .Теорема 1. Если линейный оператор A, действующий изX в Y , ограничен на единичном шаре, т.е. если существуетпостоянная C > 0 такая, чтоkAk 6 C∀x ∈ DA , kxk 6 1,то он ограничен на DA .Действительно, если множество M ⊂ DA ограничено, то∃ R > 0 : kxk 6 R∀ x ∈ M,§ 4. Операторы в линейных нормированных пространствах63и поэтому x kAxk = R A 6 RC.RСледовательно, оператор A любое ограниченное множествоM ⊂ DA переводит в ограниченное множество пространстваY.∀x ∈ MОпределение 1.
Для любого линейного оператора A, действующего из X в Y , величинаkAk = sup kAxk,x ∈ DA ,kxk61называется нормой оператора A.Таким образом, всегда kAk > 0. В частности, если kAk == 0, то A — нулевой оператор. Если же kAk = +∞, то A —неограниченный оператор.Из теоремы 1 следует, что линейный оператор ограничентогда и только тогда, когда его норма ограничена.Следствие 1. Линейный оператор A, действующий из X вY , ограничен тогда и только тогда, когда существует постоянная C > 0 такая, чтоkAxk 6 Ckxk∀ x ∈ DA .Очевидно,sup kAxk 6 kAk.kxk=1С другой стороны, если 0 < kxk 6 1, то x x 6 sup kAyk,kAxk = kxk · A6 Akxk kxk kyk=1и поэтомуkAk 6 sup kAxk.kxk=164Г. Н. Яковлев.
Функциональные пространстваТаким образом, для любого линейного оператора A справедливо равенствоkAxkkAk = sup, x ∈ DA .x6=0 kxkСледствие 2. Для любого линейного оператора A, действующего из X в Y , справедливо неравенствоkAxk 6 kAk · kxk∀ x ∈ DA .Следствие 3. Если линейный оператор A ограничен, тоон непрерывен в любой точке x0 ∈ DA .Действительно, так какkAx − Ax0 k 6 kAk · kx − x0 k,то Ax → Ax0 при x → x0 .Для линейного оператора A, у которых DA = X, справедливо следующее, кажущееся неожиданным, утверждение.Теорема 2. Для того чтобы линейный оператор A : X →→ Y был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы он былнепрерывен в точке x = 0.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Уже доказано, что если оператор Aограничен, то он непрерывен. Обратное утверждение докажемметодом от противного.Допустим, что линейный оператор A является непрерывным в точке x = 0, но не является ограниченным на X. Тогдадля любого n ∈ N существует элемент xn ∈ X такой, чтоkxn k 6 1, kAxn k > n, и, следовательно, x n A > 1 ∀ n ∈ N.nС другой стороны, так какx 1 n 6 → 0 при n → ∞,nn§ 4. Операторы в линейных нормированных пространствах65и оператор A непрерывен в точке x = 0, то x n A → 0 при n → ∞.nПолученное противоречие показывает, что наше допущение неверное.Теорема 2 доказана.В конце этого пункта докажем теорему о продолжении линейного оператора по непрерывности.Пусть A — линейный оператор, у которого область определения DA плотна в пространстве X.
Кроме того, будем считать, что пространство Y банахово.Теорема 3. Пусть A — линейный ограниченный оператор,действующий из нормированного пространства X в банаховопространство Y . Тогда если DA плотна в X, то существуетлинейный ограниченный оператор A : x → Y такой, что Ax == Ax ∀ x ∈ DA и kAk = kAk.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x ∈ X, но x 6∈ DA . В силуплотности DA в X существует последовательность элементовxn ∈ DA таких, что xn → x при n → ∞.Из неравенстваkAxn − Axm k 6 kAk · kxn − xm kи ограниченности оператора A следует, что последовательность Axn , n ∈ N, фундаментальная.
А так как пространствоY банахово, то эта последовательность имеет предел. ПоложимAx = lim Axnn→∞и покажем, что это определение корректное.Пусть x0n ∈ DA и x0n → x при n → ∞, и пустьy = lim Axn ,n→∞y 0 = lim Ax0n .n→∞Тогдаky − y 0 k 6 ky − Axn k + kAxn − Ax0n k + kAx0n − y 0 k → 066Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствапри n → ∞, посколькуkAxn − Ax0n k 6 kAk · kxn − x0n k → 0при n → ∞. Следовательно, y = y 0 .Линейность оператора A очевидным образом следует из линейности оператора A и свойства линейности предела.Наконец, очевидно, что kAk 6 kAk. С другой стороны, изнеравенстваkAxn k 6 kAk · kxn kпри n → ∞ следует, чтоkAxk 6 kAk · kxk∀ x ∈ X,и поэтому kAk 6 kAk.Теорема 3 доказана.4.3.
Примеры ограниченных линейных операторовКак известно, любой линейный оператор, отображающийRn в Rn , задаётся равенствомy = Ax, x ∈ Rn ,(1)где A — квадратная матрица порядка n, а x и y —n-мерные столбцы:x = (x1 ,x2 , . . . ,xn ),y = (y1 ,y2 , . . . ,yn ).Если aij — элементы матрицы A, то матричное равенство (1)в координатах записывается так:nXyi =aij xj , i = 1,2, . . . ,n.(2)j=1RnТак как внорму можно задавать разными способами, тоодно и то же равенство (1) или (2) может задавать различныелинейные операторы. Рассмотрим несколько примеров такихоператоров.Пример 1. В линейном пространстве Rn введём норму поформулеkxkc = max |xj |j§ 4.
Операторы в линейных нормированных пространствах67и через cn обозначим полученное нормированное пространство.Будем рассматривать A как оператор, действующий из cn в cn .Из (2) следует, что|yi | 6nX|aij | · kxkc ,i = 1,2, . . . ,n,j=1и поэтомуkykc 6 maxinX|aij | · kxkc∀ x ∈ Rn .j=1Следовательно, оператор A : cn → cn ограничен, причёмkAk 6 maxinX|aij |.(3)j=1Покажем, что в действительности здесь выполняется равенство.Не ограничивая общности, будем считать, что максимумв (3) достигается при i = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
