Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Пространства со скалярным произведением855.3. Гильбертовы пространстваКак и в теории линейных нормированных пространств, втеории пространств со скалярным произведением особую рольиграют полные пространства.Определение 1. Пространство со скалярным произведением, которое является полным относительно нормы, порождённой этим скалярным произведением, называется гильбертовым пространством.Гильбертово пространство может быть как действительным, так и комплексным. Любое конечномерное пространствонад полем действительных или комплексных чисел, в которомвведено скалярное произведение, является полным. Обычнотакие пространства называют евклидовыми, а гильбертовыминазывают полные бесконечномерные евклидовы пространства.В общем случае их обозначают буквой H с разными индексами.Определение 2.
Два евклидовых пространства E1 иE2 называются изоморфными, если существует изоморфизмf : E1 → E2 линейных пространств E1 и E2 такой, что(f (x),f (y))2 = (x,y)1∀ x,y ∈ E1 ,где ( , )1 и ( , )2 — скалярные произведения в E1 и соответственно в E2 .Определение 3. Гильбертово пространство H называется пополнением евклидова пространства E, если в H существует подпространство E 0 , которое изоморфно пространствуE и плотно в пространстве H.Теорема. Любое евклидово пространство имеет пополнение.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Любое евклидово пространство Eявляется нормированным пространством. Ранее было показано, что любое нормированное пространство E имеет попол-86Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстванение, и этим пополнением является пространство E ∗ , элементами которого являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей элементов из E.Через E 0 обозначим множество классов фундаментальныхпоследовательностей, среди которых есть стационарная последовательность.
Тогда каждому x ∈ E ставится в соответствие класс x0 ∈ E 0 такой, что он содержит последовательность x,x,x, . . ., причём, по определению, kx0 k∗ = kxk. Былодоказано, что E 0 плотно в E ∗ , т.е. что для любого x∗ ∈ E ∗существует последовательность элементов x0n ∈ E 0 таких, чтоx0n → x∗ при n → ∞.Для любой пары элементов x∗ и y ∗ из E ∗ скалярное произведение введём равенством(x∗ ,y ∗ )∗ = lim (xn ,yn ),n→∞(1)где {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ .Этот предел существует, так как|(xm ,ym ) − (xn ,yn )| 6 kxm − xn k · kym k + kxn k|ym − yn kдля любых m и n, поэтому числовая последовательность(xn ,yn ), n ∈ N, фундаментальная и, следовательно, имеет предел.Легко проверить, что предел (1) не зависит от выбора последовательностей {xn } ∈ x∗ и {yn } ∈ y ∗ и что функция (x∗ ,y ∗ )∗на E ∗ × E ∗ обладает всеми свойствами скалярного произведения.Важными примерами гильбертовых пространств являетсяпространство l2 числовых последовательностей и пространство L2 (∆), где ∆ — некоторый промежуток.
Напомним, чтоL2 (∆) — это пополнение евклидова пространства CL2 (∆).§ 5. Пространства со скалярным произведением875.4. Ряды ФурьеПусть в евклидовом пространстве E задана некоторая ортонормированная системаe1 ,e2 , . . . ,en , . . .(1)В общем случае эта система может быть как конечной, так ибесконечной.Конечномерные евклидовы пространства E изучаются влинейной алгебре. Мы же будем рассматривать бесконечномерные пространства. В любом таком пространстве E существует счётная линейно независимая система, из которой процессом ортогонализации можно получить счётную ортонормированную систему.Определение 1.
Пусть в евклидовом пространстве E задана ортонормированная система (1). Тогда для любого x ∈ Eчислаak = (x,ek ), k ∈ N,называются коэффициентами Фурье элемента x по ортонормированной системе (1), а ряд∞Xak ekk=1называется рядом Фурье элемента x по этой системе.Теорема 1. Если ak , k ∈ N, — коэффициенты Фурье эле∞Pмента x ∈ E по ортонормированной системе, то ряд|ak |2k=1сходится и∞X|ak |2 6 kxk2 .(2)k=1Д о к а з а т е л ь с т в о. Легко видеть, что2nnXX2ak ek = kxk −|ak |2 ,x −k=1k=1(3)88Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространстваи поэтомуnX|ak |2 6 kxk2k=1для любого n ∈ N. Следовательно, ряд с неотрицательнымичленами |ak |2 сходится, и выполняется неравенство (2).Неравенство (2) называется неравенством Бесселя.Из равенства (3), справедливого для любого n ∈ N, следует,что ряд Фурье элемента x ∈ E сходится к x, т.е.x=∞Xak ek ,k=1тогда и только тогда, когда выполняется равенство∞X|ak |2 = kxk2 .(4)k=1Это равенствоСтеклова.называетсяравенствомПарсеваля–Определение 2. Ортонормированная система (1) элементов пространства E называется замкнутой в смысле Стеклова, если для любого x ∈ E выполняется равенство (4).Таким образом, для того чтобы любой элемент евклидовапространства разлагался в ряд Фурье по ортонормированной системе, необходимо и достаточно, чтобы эта системабыла замкнутой в смысле Стеклова.Докажем теперь так называемое минимальное свойство коэффициентов Фурье.
А именно, докажем, что nn XX ak ek ,(5)inf x −αk ek = x −α1 ,...,αn k=1k=1где ak — коэффициенты Фурье элемента x ⊂ E по ортонормированной системе (1), а точная нижняя грань берётся по всемлинейным комбинациям элементов e1 ,e2 , . . . ,en системы (1).§ 5. Пространства со скалярным произведением89Легко вычисляется, что2nnnXXXαk ek = kxk2 −|ak |2 +|ak − αk |2 .x −k=1k=1k=1Отсюда следует, что минимум этого выражения достигается,когда αk = ak , что и доказывает свойство (5).Напомним, что система элементов нормированного пространства X называется полной в X, если её линейная оболочка плотна в X.Теорема 2. Если ортонормированная система (1) полна вевклидовом пространстве E, то любой элемент x ∈ E разлагается в ряд Фурье по этой системе.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как система (1) полна в нормированном пространстве E, то для любого x ∈ E выполняетсяусловие:NεXαk ek < ε.∀ ε > 0 ∃ α1 , .
. . ,αNε : x −k=1Отсюда и из минимального свойства коэффициентов Фурьеak = (x,ek ) следует, чтоNεXαk ek < εx −k=1и, в силу равенства (3),nXαk ek < ε ∀ n > Nε .x −k=1∞PТаким образом, x −αk ek .k=1Теорема 2 доказана.До сих пор евклидово пространство E могло быть неполным. Докажем несколько утверждений, когда E полное, т.е.когда E является гильбертовым пространством H.90Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваТеорема 3. Если ряд∞P|ak |2 сходится, то для любой ор-k=1тонормированной системы (1) в гильбертовом пространстве H∞Pрядak ek сходится и является рядом Фурье некоторого элеk=1мента x ∈ H.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из равенства n+p2n+p XXak ek =|ak |2 ,k=n+1k=n+1справедливого для любых n и p, следует, что ряд∞Pak ek удо-k=1влетворяет условию Коши. В силу полноты пространства Hэтот ряд сходится к некоторому элементу x ∈ H:x=∞Xak ek .k=1Из непрерывности скалярного произведения следует, чтоak = (x,ek ).
Действительно,nX(x,ek ) = lim aj ej ,ek = ak .n→∞j=1Теорема 3 доказана.Теорема 4. В гильбертовом пространстве H ортонормированная система (1) полна тогда и только тогда, когда в Hтолько ноль ортогонален всем элементам этой системы.Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если система (1) полнав H, то для любого x ∈ H выполняется равенство Парсеваля–Стеклова. Поэтому если (x,ek ) = 0 ∀ k, то x = 0.Пусть теперь система (1) такая, что в H только ноль ортогонален всем ek . Выберем некоторое x ∈ H и покажем, что§ 5. Пространства со скалярным произведениемесли ряд∞Xak ek91(6)k=1является рядом Фурье элемента x, то он сходитсяP∞к x.
2Из неравенства Бесселя следует, что рядk=1 |ak | сходится, и поэтому, согласно теореме 3, ряд (6) сходится к некоторому элементу x0 , для которого ряд (6) является рядомФурье. Следовательно, (x − x0 ,ek ) = 0 ∀ k, но тогда x − x0 == 0.Теорема 4 доказана.З а м е ч а н и е. В теореме 4 полнота системы (1) в пространстве H понимается как полнота этой системы в нормированном пространстве.
Во многих учебниках для ортонормированных систем полнота определяется иначе. Именно, ортонормированная система называется полной в евклидовом пространстве E, если в E только ноль ортогонален всем элементамэтой системы. Теорема 4 показывает, что оба понятия полнотыортонормированной системы в гильбертовом пространстве совпадают.5.5.
Изоморфизм сепарабельных гильбертовыхпространствНапомним, что нормированное пространство X называетсясепарабельным, если в X существует полная система из счётного числа элементов. Вообще говоря, пространство X можетбыть как конечномерным, так и бесконечномерным. Обычнопод сепарабельными понимают бесконечномерные пространства.Последовательность {ek } элементов нормированного пространства X называется базисом в X, если для любого x ∈ Xсуществует единственная последовательность чисел λk , k ∈ N,таких, что∞Xx=λk ek .k=192Г. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
