Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Н. Яковлев. Функциональные пространствагде f (x) — локально интегрируемая функция, удовлетворяющая условию:∃k :f (x) = O(xk ) при x → ±∞.(2)Любая такая функция называется функцией медленного роста,поэтому обобщённые функции из S 0 тоже называют обобщнными функциями медленного роста.Лемма. Любая функция f (x), x ∈ R, медленного роста поформуле (1) порождает обобщённую функцию из S 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любой функции ϕ ∈ S интеграл (1) сходится, так как при x → ±∞ функция f (x) можетвозрастать лишь как некоторая степень x, а любая функцияϕ ∈ S убывает быстрее любой степени 1/x.
Линейность функционала (1) очевидна, докажем его непрерывность. Для этогодостаточно показать, что он непрерывен в нуле.Пусть функция f (x) удовлетворяет условию (2), и пустьϕn (x) → 0 в S при n → ∞. Положимkϕn kk+2 = sup(1 + |x|k+2 )|ϕn (x)|.xТогда kϕn kk+2 → 0 при n → ∞, иZ|f (x)|Jk+2 (f ) =dx < +∞.k+2R 1 + |x|А так как|(f,ϕn )| 6 kϕn kk+2 Jk+2 (f ),то (f,ϕn ) → 0 при n → ∞.Лемма доказана.В S 0 , кроме функционалов, порождаемых функциями медленного роста, есть и другие линейные непрерывные функционалы. Например, легко видеть, что любая абсолютно интегрируемая на R функция f (x) по формуле порождает обобщённую функцию из S 0 .
Функцией из S 0 будет и δ-функция:(δ,ϕ) = ϕ(0),ϕ ∈ S.§ 7. Преобразование Фурье обобщённых функций119Для обобщённых функций медленного роста можно определить операцию умножения на многочлен.Для любой функции f ∈ S 0 и любого многочлена p(x) произведение pf определим как функционал, заданный равенством(pf,ϕ) = (f,pϕ) ∀ϕ ∈ S.Очевидно, что так определённый функционал pf являетсялинейным и непрерывным на S.Для обобщённых функций из S 0 производная определяетсятак же, как и для функций из D0 .
Именно, производная f 0функции f определяется по формуле(f 0 ,ϕ) = −(f,ϕ0 ), ϕ ∈ S.Легко доказывается, что1) производная любой обобщённой функции из S 0 является обобщённой функцией из S 0 , и, следовательно, любая функцияf ∈ S 0 имеет производные любого порядка;2) операция дифференцирования линейна, т.е. для любых обобщённых функций f и g и любых чисел α и β(αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 ;3) операция дифференцирования непрерывна, т.е. если fn → fв S 0 , то и fn0 → f в S 0 при n → ∞;4) для любой функции f ∈ S 0 и любого многочлена p(x)(pf )0 = p0 f + pf 0 .7.2.
Преобразование Фурье в пространстве Sбыстро убывающих функцийДля любой функции ϕ ∈ S определены прямое и обратноепреобразования Фурье:Z1ϕ̂(ξ) = √ϕ(x)e−ixξ dx,2π ZR1ϕ̃(ξ) = √ϕ(x)eixξ dx.2π R120Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваВ главе 15 (см. п. 4.6) было доказано, что если ϕ ∈ S, то ϕ̂ ∈ Sи ϕ̃ ∈ S, причём справедливы формулы обращенияF −1 [F [ϕ]] = F [F −1 [ϕ]] = ϕ∀ϕ ∈ S.Из них сразу следует, что преобразования Фурье взаимно однозначно отображают S на S.Докажем, что преобразования Фурье являются линейныминепрерывными отображениями S на S.Линейность очевидна. А для доказательства непрерывности на S достаточно показать, что они непрерывны в нуле.Пусть ϕn (x) → 0 в S при n → ∞. Тогдаkll(k)|ξ k ϕ̂(l)n (ξ)| = |ξ F [x ϕn (x)]| = |F [(x ϕn (x)) ]|Z +∞16 √|(xl ϕn (x))(k) | dx 62π −∞Z +∞1dx6 √ sup(1 + x2 )|(xl ϕn (x))(k) |=22π x−∞ 1 + xrπ=sup(1 + x2 )|(xl ϕn (x))(k) | → 02 xпри n → ∞, и поэтомуlim sup |ξ k ϕ̂(l)n (ξ)| = 0n→∞ξдля любых целых неотрицательных k и l.
Следовательно,ϕ̂n → 0 в S при n → ∞.Аналогично доказывается, что ϕ̃n → 0 в S при n → ∞.7.3. Преобразование Фурье обобщённых функциймедленного ростаМожно показать, что если функция f непрерывна и абсолютно интегрируема на R, то для любой функции ϕ ∈ SZZ ZZ−ixξ−ixξf (x)edx ϕ(ξ) dξ = f (x)ϕ(ξ)edξ dx,RRRR§ 7.
Преобразование Фурье обобщённых функцийи, следовательно,Zfˆ(ξ)ϕ(ξ) dξ =R121Zf (x)ϕ̂(x) dx.RЭто равенство делает естественным следующее определение.Определение 1. Для любой обобщённой функции f ∈ S 0функционал fˆ такой, что(fˆ,ϕ) = (f,ϕ̂) ∀ϕ ∈ S,называется преобразованием Фурье или образом Фурье функции f , а оператор F [f ] = fˆ — преобразованием Фурье.Таким образом, по определению,(F [f ],ϕ) = (f,F [ϕ]) ∀ϕ ∈ S.Аналогично, функционал f˜ такой, что(f˜,ϕ) = (f,ϕ̃) ∀ϕ ∈ S,называется обратным преобразованием Фурье или прообразомФурье функции f , а оператор F −1 [f ] = f˜ — обратным преобразованием Фурье.Пример 1. Найдём образ и прообраз Фурьеδ-функции.По определению,(δ̂,ϕ) = (δ,ϕ̂) = ϕ̂(0),(δ̃,ϕ) = (δ,ϕ̃) = ϕ̃(0).А так как1ϕ̂(0) = √2πZ1ϕ(x) dx = √ (1,ϕ)2πR1и ϕ̃(0) = √ (1,ϕ), то2π1F [δ] = F −1 [δ] = √ .2πПример 2.
Найдём преобразование Фурье функции θ(x).122Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваПо определению,Z +∞ Z1dx ϕ(ξ)e−iξx dξ.(F [θ],ϕ) = (θ,F [ϕ]) = √2π 0RСледовательно,Z η Z1limdx ϕ(ξ)e−iξx dξ.(F [θ],ϕ) √η→+∞2π0RВ последнем интеграле переставим порядок интегрирования ипроинтегрируем по x. ТогдаZ11 − e−iξx(F [θ],ϕ) √dξ.limϕ(ξ)iξ2π η→+∞ RОчевидно, последний интеграл по R равен суммеZ +∞Z +∞1 − e−iξη1 − eiξηϕ(ξ)dξ +ϕ(−ξ)dξ,iξ−iξ00поэтомуZ +∞iϕ(ξ) − ϕ(−ξ)(F [θ],ϕ) = − √dξ+ξ2π 0Z +∞ 1ϕ(−ξ) iξη ϕ(ξ) −iξη+√lime −edξ.iξiξ2π η→+∞ 0Из теоремы Римана об осцилляции следует, чтоZ +∞ϕ(±ξ) ±iξηlimedξ = 0,η→+∞ 1iξZ 1ϕ(±ξ) − ϕ(0) ±iξηlimedξ = 0,η→+∞ 0iξСледовательно,Z +∞iϕ(ξ) − ϕ(−ξ)(F [θ],ϕ) = − √dξ +ξ2π 0Z 112 sin ηξ+√lim ϕ(0)dξ =ξ2π η→+∞0Z +∞iϕ(ξ) − ϕ(−ξ)π= −√dξ + √ ϕ(0).ξ2π 02π§ 7.
Преобразование Фурье обобщённых функций123Таким образом,i1F [θ] = − √ P +2π ξАналогично доказывается, чтоri1[θ] = √ P +2π ξrF−1πδ(ξ).2πδ(ξ).2Теорема 1. Для любой обобщённой функции f ∈ S 0 функционалы fˆ и f˜ являются линейными и непрерывными на S, т.е.fˆ ∈ S 0 и f˜ ∈ S 0 . Кроме того, справедливы формулы обращения:F −1 [F [f ]] = F [F −1 [f ]] = f.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Для любых функций ϕ и ψ из S илюбых чисел α и β имеем:(fˆ,αϕ + βψ) = (f,αϕ̂ + βψ) == α(f,ϕ̂) + β(f,ψ̂) = α(fˆ,ϕ) + β(fˆ,ψ).Линейность функционала fˆ доказана. Докажем непрерывность.Пусть ϕn → ϕ в S при n → ∞. Тогда, как доказано впредыдущем пункте, и ϕ̂n → ϕ̂ в S при n → ∞. Следовательно,(f,ϕ̂n ) → (f,ϕ̂) при n → ∞,и поэтомуlim (fˆ,ϕn ) = (fˆ,ϕ).n→∞fˆ ∈ S 0 .Таким образом,Аналогично доказывается, что f˜ ∈0∈S.Формулы обращения для функции f ∈ S 0 следуют из формул обращения для функций из S. Действительно,(F −1 [F [f ]],ϕ) = (F [f ],F −1 [ϕ]) = (f,ϕ)для любой функции ϕ ∈ S. Следовательно,F −1 [F [f ]] = f.124Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваАналогично доказывается, чтоF [F −1 [f ]] = f.Теорема 1 доказана.Пример 3.Найдём преобразования Фурье функцииf (x) = 1.В примере 1 было получено, что√√1 = 2πF [δ],1 = 2πF −1 [δ].Отсюда по формулам обращения получаем:√√F −1 [1] = 2πδ, F [1] = 2πδ.Теорема 2. Преобразования Фурье являются линейныминепрерывными операторами, отображающими S 0 на S 0 .Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любых функций f и g из S 0 илюбых чисел α и β(F [αf + βg],ϕ) = (αf + βg,F [ϕ]) == α(f,F [ϕ]) + β(g,F [ϕ]) == α(F [f ],ϕ) + β(F [g],ϕ) == (αF [f ] + βF [g],ϕ),ϕ ∈ S.Следовательно,F [αf + βg] = αF [f ] + βF [g].Линейность оператора F на S 0 доказана. Докажем его непрерывность.Пусть fn → f в S 0 .
Тогда(F [fn ],ϕ) = (fn ,F [ϕ]) → (f,F [ϕ]) = (F [f ],ϕ)при n → ∞ для любой функции ϕ ∈ S. Следовательно,F [fn ] → F [f ] в S 0 при n → ∞.Аналогично доказывается, что обратное преобразованиеФурье тоже является линейным непрерывным оператором изS0 в S0.§ 7. Преобразование Фурье обобщённых функций125Из формул обращения следует, что операторы F и F −1 отображают S 0 на S 0 .
Действительно, любой элемент f ∈ S 0 является образом элемента f˜ ∈ S 0 при отображении F и образомэлемента fˆ ∈ S 0 при отображении F −1 .Теорема 2 доказана.Получим формулы для преобразования Фурье от производной.Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем:dk(k)(k)k(F [f ],ϕ) = (f ,F [ϕ]) = (−1) f, k F [ϕ] =dx= (f,F [(iξ)k ϕ(ξ)]) = (F [f ],(iξ)k ϕ(ξ)).Таким образом,F [f (k) ] = (iξ)k fˆ(ξ).Аналогично доказывается формулаF −1 [f (k) ] = (−iξ)k f˜(ξ).В заключение получим формулы для производной от преобразования Фурье.Для любой функции ϕ(ξ) ∈ S имеем: kd ˆf (ξ),ϕ(ξ) = (−1)k (fˆ(ξ),ϕ(k) (ξ)) =dξ k= (−1)k (f (x),F [ϕ(k) (ξ)]) == (−1)k (f (x),(ix)k F [ϕ]) == (F [(−ix)k f (x)],ϕ(ξ)).Следовательно,dk ˆf (ξ) = F [(−ix)k f (x)].dξ kАналогично доказывается, чтоdk ˜f (ξ) = F −1 [(ix)k f (x)].dξ k126Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваПолученные формулы записывают ещё и так:dk ˆf (x),dξ kdkF −1 [xk f (x)] = (−i)k k f˜(x).dξF [xk f (x)] = ikПример 4. Найдём преобразования Фурье от функцииf (x) = xk , где k ∈ N.√dk √F [xk ] = F [xk · 1] = ik k ( 2πδ(ξ)) = 2πik δ (k) (ξ);dξ√−1 kF [x ] = 2π(−i)k δ (k) (ξ).ОГЛАВЛЕНИЕ§ 1.1.1.1.2.1.3.1.4.1.5.Метрические пространства . . . . . . . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
