Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Это множество с естественными операциями сложения двух функций и умножения функции на числоявляется линейным пространством. В этом пространстве введём понятие сходимости.Определение 1. Последовательность функций◦ϕk (x) ∈ C ∞ , k ∈ N, называется сходящейся к функции ϕ(x) ∈◦∈ C ∞ , если1) ∃[a; b] :supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k; (l)2) lim sup ϕk (x) − ϕ(l) (x) = 0 ∀l = 0,1,2, . .
..k→∞ x∈R◦Последовательность функций из C ∞ называется сходя◦щейся, если существует функция из C ∞ , к которой она сходится.◦Определение 2. Линейное пространство C ∞ с введённымпонятием сходимости называется пространством D основныхфункций.◦Если последовательность функций ϕk ∈ C ∞ сходится к◦функции ϕ ∈ C ∞ в смысле определения 1, то будем говорить,что последовательность {ϕk } сходится в D к функции ϕ, иписать:ϕk → ϕ в D при k → ∞.Очевидно, если supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k и ϕk → ϕ при k → ∞, тои supp ϕ ⊂ [a; b].Легко видеть, что пространство D является полным от-102Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваносительно введнной сходимости. Точнее, имеет место следующее утверждение.◦Лемма 1. Пусть {ϕk } — последовательность функций изC ∞ . Тогда если1) ∃[a; b] : supp ϕk ⊂ [a; b] ∀ k;(l)2) для любого l = 0,1,2, . . . последовательность {ϕk } фундаментальна по норме C(R),◦то существует функция ϕ ∈ C ∞ такая, чтоϕk → ϕв D при k → ∞.Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть фундаментальные последовательности {ϕk } и {ϕ0k } по норме C(R) сходятся к некоторым функциям ϕ и ψ.
Тогда из равенстваZ xϕk (x) = ϕk (0) +ϕ0k (t) dt0в пределе при k → ∞ получаем равенствоZ xϕ(x) = ϕ(0) +ψ(t) dt,0из которого следует, что функция ϕ(x) дифференцируема иϕ0 (x) = ψ(x). Аналогично доказывается, что функция ϕ0 (x)тоже дифференцируема и ϕ00 (x) = lim ϕ00k (x). Поступая такk→∞и далее, получаем, что ϕ(x) бесконечно дифференцируема иϕk → ϕ в D при k → ∞.◦Очевидно, линейные операции в C ∞ непрерывны относительно введённой сходимости, т.е. если ϕk → ϕ и ψk → ψ в Dпри k → ∞, тоαϕk + βψk → αϕ + βψ в D при k → ∞для любых чисел α и β. Кроме того, если λ(x) — бесконечнодифференцируемая на R функция, тоλϕk → λϕ в D при k → ∞.§ 6. Обобщённые функции103yПример 1. Легко показать, что1для любого a > 0 функция(x2exp 2, если |x| < a,ϕ(x) =x − a20,если |x| > a,график которой имеет вид «шапочки»0a x−a(рис.
2), является финитной и бескоРис. 2нечно дифференцируемой. Последовательность1ϕk (x) = ϕ(x; a), k ∈ N,kсходится к нулю в пространстве D. Последовательность1 x ψk (x) = ϕ; a , k ∈ N,kkтоже сходится к нулю равномерно на R вместе со всеми своимипроизводными, т.е. удовлетворяет условию 2) из определения1, однако не сходится к нулю в пространстве D, так как онане удовлетворяет условию 1): не существует отрезка [a; b], внекоторого все функции ψk (x) равны нулю.6.3. Обобщённые функцииНа пространстве D основных функций рассмотрим линейные непрерывные функционалы. Значение функционала f нафункции ϕ ∈ D будем обозначать (f,ϕ).Напомним, функционал f , определённый на D, называетсялинейным, если(f,αϕ + βψ) = α(f,ϕ) + β(f,ψ)для любых чисел α, β и любых ϕ и ψ из D.Линейный функционал f называется непрерывным, если онудовлетворяет условию: если ϕk → 0 в D, то (f,ϕk ) → 0 приk → ∞.Определение 1. Любой линейный непрерывный функционал на D называется обобщнной функцией.104Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваВ множестве обобщённых функций на D естественнымобразом вводятся операции сложения двух функций и умножения функции на число. Именно, для любых двух функций f иg и любых чисел α и β через αf +βg обозначается функционал,который на любую функцию ϕ ∈ D действует по формуле(αf + βg,ϕ) = α(f,ϕ) + β(g,ϕ).Легко видеть, что так определённый функционал αf ++βg будет линейным и непрерывным, т.е. будет обобщённойфункцией на D.
(Докажите это утверждение в качестве упражнения.)Таким образом, множество обобщнных функций на D сестественными операциями сложения двух функций и умножения функции на число является линейным пространством.Это линейное пространство будем обозначать D0 . Оно является пространством, сопряжённым к пространству D.Лемма 1. Для любой локально интегрируемой на R функции f функционалZ(f,ϕ) =f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D,(1)Rявляется обобщённой функцией.Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность функционала (1) очевидна, докажем его непрерывность.Пусть ϕk → 0 при k → ∞, и пусть supp ϕk ⊂ [a; b] ∀k. ТогдаZ b|(f,ϕk )| 6|f (x)| · |ϕk (x)| dx 6aZ b6|f (x)| dx · sup |ϕk (x)| → 0axпри k → 0.Лемма 1 доказана.Определение 2.
Обобщённая функция называется регулярной, если она имеет представление вида (1) с некоторой§ 6. Обобщённые функции105локально интегрируемой функцией f . В противном случае обобщённая функция называется сингулярной.Лемма 2. Функционал δ, определённый формулой(δ,ϕ) = ϕ(0), ϕ ∈ D,(2)является сингулярной обобщённой функцией.Д о к а з а т е л ь с т в о. Линейность и непрерывностьфункционала (2) очевидна. Докажем, что он не может бытьпредставлен в виде (1).Допустим, что существует локально интегрируемая функция f такая, чтоZ(δ,ϕ) =f (x)ϕ(x) dx.RВместо ϕ(x) подставим функцию ϕ(x; a), рассмотренную в предыдущем пункте.
Тогда Z a Z aZx2 f (x)ϕ(x; a) dx = f (x)e x2 −a2 dx 6|f (x)| dx → 0 −aR−aпри a → +0. С другой стороны, согласно формуле (2),Zf (x)ϕ(x; a) dx = ϕ(0; a) = 1.RСледовательно, наше допущение неверное.Лемма 2 доказана.Определение 3. Обобщённая функция, определяемая формулой (2), называется δ-функцией.Очевидно, если непрерывные функции f и g на R равны,то соответствующие регулярные обобщённые функции тожеравны. Справедливо и обратное утверждение: если регулярные обобщённые функции, порождённые непрерывными функциями f и g, равны, то f (x) = g(x) ∀x ∈ R.106Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространстваДействительно, если существует точка x0 , в которой, например, f (x0 ) < g(x0 ), то, в силу непрерывности функций f иg в точке x0 , существует δ > 0 такое, чтоf (x) < g(x) ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ).Тогда если ψ(x) = ϕ(x − x0 ; δ), где ϕ(x; δ) — функция «шапочка», рассмотренная в предыдущем пункте, тоZ x0 +δ(f,ψ) =f (x)ϕ(x − x0 ; δ) dx <x0 −δZx0 +δg(x)ϕ(x − x0 ; δ) dx = (g,ψ),<x0 −δи поэтому регулярные обобщённые функции, порождаемыефункциями f и g, являются разными.Аналогично доказывается, что если регулярные обобщённые функции, порождённые локально интегрируемыми функциями f и g равны, то f (x) = g(x) в любой точке x ∈ R, гдефункции f и g непрерывны.По аналогии с обычными функциями, обобщённую функцию f , которая действует на основные функции от переменнойx, удобно обозначать f (x).
Например, δ-функцию, определённую по формуле (2), обозначают δ(x), а обобщённую функцию,которая каждой функции ϕ(x) ∈ D ставит в соответствие еёзначение в точке x0 обозначают δ(x − x0 ) и пишут(δ(x − x0 ),ϕ(x)) = ϕ(x0 ).(3)Функция δ(x − x0 ) называется смещнной δ-функцией.Обычно регулярную обобщённую функцию отождествляютс функцией, которая её порождает.
Например, говорят об об√общённых функциях f (x) = x2 , f (x) = 3 x, f (x) = sin x, f (x) == |x|, f (x) = sgn x и т.д. В этом смысле множество обычныхфункций можно рассматривать как часть множества обобщённых функций.§ 6. Обобщённые функции107Если функция f (x), x ∈ R, локально интегрируема и x == ay + b, a 6= 0, то для любой ϕ ∈ D справедливо равенствоZZx−b 1f (ay + b)ϕ(y) dy =f (x) · ϕdx,aaRRт.е.1x−b(f (ay + b),ϕ(y)) = f (x), ϕ.(4)aaДля любой обобщённой функции f (x) из D0 равенство (4)примем за определение функции f (ay + b), где a 6= 0. Согласноэтому определению,(δ(x − x0 ),ϕ(x)) = (δ(x),ϕ(x + x0 )) = ϕ(x0 ),что не противоречит определению (3).6.4. Умножение обобщённых функцийДля обобщённых функций на D, кроме линейных операций,можно определить операцию умножения на бесконечно дифференцируемую функцию.
Именно, для любой обобщённой функции f (x) и любой бесконечно дифференцируемой функции ψ(x)произведение ψ(x)f (x) определим как функционал на D, заданный равенством(ψf,ϕ) = (f,ψϕ) ∀ϕ ∈ D.(1)Очевидно, что так определённый функционал ψf являетсялинейным и непрерывным на D.Пример 1.(1 + x)δ(x) = δ(x).Действительно, для любой функции ϕ ∈ D(2)((1 + x)δ(x),ϕ(x)) = (δ(x),(1 + x)ϕ(x)) = ϕ(0) = (δ(x),ϕ(x)),что и доказывает равенство (2).Аналогично, из определения (1) следует, чтоψ(x)δ(x) = ψ(0)δ(x)для любой бесконечно дифференцируемой на R функции ψ(x).108Г. Н. Яковлев.
Функциональные пространстваВозникает вопрос: нельзя ли определить умножение любыхобобщённых функций? Оно должно быть ассоциативным, коммутативным и совпадать с определённым выше умножением набесконечно дифференцируемую функцию. Известно, что такоеумножение определить нельзя. Чтобы это показать, рассмотрим ещё одну важную обобщённую функцию, обозначаемую1P x и называемую конечной частью или главным значением1интеграла от функции x .1Пример 2. Через P x обозначим функционал, который наϕ ∈ D действует по формуле Z +∞ϕ(x) − ϕ(−x)1dx.P ,ϕ(x) =xx0Этот функционал принимает конечное значение на любойϕ ∈ D.
Его линейность очевидна. Для доказательства егонепрерывности заметим, чтоZ +∞Z +∞ϕ(x) − ϕ(−x)dx = −(ϕ0 (x) + ϕ0 (−x)) ln x dx,x00и поэтомуZ +∞1P ,ϕ(x) = −ϕ0 (x) ln |x| dx.x−∞Пусть ϕk → ϕ в D при k → ∞. Тогда, согласно определению сходимости в D, существует отрезок [a; b] такой, что вне[a; b] функции ψk = ϕk − ϕ равны нулю. Следовательно,Z b1P ,ψk =ψk0 (x) ln |x| dx,xaZ b P 1 ,ψk 6 sup |ψ 0 (x)| ·ln|x| dx → 0kxx∈Raпри k → ∞.§ 6. Обобщённые функции109Пример 3.1= 1.xДействительно, для любой функции ϕ ∈ D11xP ,ϕ(x) = P ,xϕ(x) =xxZ +∞Z +∞ϕ(x) dx = (1,ϕ),=(ϕ(x) + ϕ(−x)) dx, =xP0(3)−∞что и доказывает равенство (3).Вернёмся к вопросу об определении произведения обобщённых функций. Из равенств 11xδ(x) P = 0 · P = 0,xx1δ(x) xP= δ(x) · 1 = δ(x)x1следует, что для функций x, δ(x) и P x нельзя определить произведение, обладающее свойствами ассоциативности и коммутативности.6.5.
Носитель обобщённой функцииДля обобщённой функции нет смысла говорить о её значении в точке. Однако довольно естественными являются следующие определения.Определение 1. Обобщённые функции f и g называютсяравными на открытом множестве G ⊂ R, если (f,ϕ) = (g,ϕ)для любой функции ϕ ∈ D, носитель которой содержится в G.В этом случае пишут f = g на G. В частности, f = 0 на G,если (f,ϕ) = 0 для любой функции ϕ ∈ D, supp ϕ ⊂ G.Очевидно, что δ-функция равна нулю на любом открытоммножестве, не содержащем точку x = 0.Определение 2. Объединение всех открытых множеств,на которых обобщённая функция f равна нулю, называется110Г. Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
