Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Здесь введём понятие скалярного произведениядля элементов произвольного линейного пространства.Определение 1. Пусть E — линейное пространство надполем R действительных чисел. Функция ( , ) : E × E → R,которая каждой упорядоченной паре элементов x,y из E ставитв соответствие некоторое действительное число, обозначаемое(x,y), и которая удовлетворяет следующим условиям:1) (x,x) > 0 ∀ x ∈ E;(1)2) (αx,y) = α(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ α ∈ R;(2)3) (x + y,z) = (x,z) + (y,z) ∀ x,y,z ∈ E;(3)4) (x,y) = (y,x) ∀ x,y ∈ E,(4)называется почти скалярным произведением элементов линейного пространства E.Из свойств (2) и (4) следует, что(x,βy) = β(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ β ∈ R,а из свойства (3) при x = y = 0 следует, что(0,z) = 0∀ z ∈ E.78Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваТеорема. В линейном пространстве E, в котором введенопочти скалярное произведение, функцияpkxk = (x,x), x ∈ E,(5)является полунормой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,kxk > 0∀ x ∈ E, kαxk = |α| kxk∀ α ∈ R.Осталось доказать лишь неравенство треугольника:kx + yk 6 kxk + kyk.(6)Для этого сначала докажем так называемое неравенствоКоши–Буняковского.Лемма. Для любых x и y из E справедливо неравенство|(x,y)| 6 kxk · kyk.(7)Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,0 6 (αx − y,αx − y) = α2 kxk2 − 2α(x,y) + kyk2для любого α ∈ R.
Поэтому если kxk = 0, то (x,y) = 0, и, следовательно, в этом случае неравенство (7) справедливо. Еслиже kxk > 0, то, полагая α =06−(x,y), получаем неравенствоkxk2(x,y)2+ kyk2 ,kxk2которое равносильно неравенству (7), когда kxk =6 0.Лемма доказана.Теперь неравенство (6) легко следует из неравенства (7).Действительно,kx + yk2 = kxk2 + 2(x,y) + kyk2 66 kxk2 + 2kxk · kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 .Теорема доказана.§ 5.
Пространства со скалярным произведением79Определение 2. Пусть E — линейное пространство надполем R действительных чисел. Функция ( , ) : E × E → R называется скалярным произведением элементов пространстваE, если она является почти скалярным произведением и, крометого, удовлетворяет условию:если(x,x) = 0, то x = 0.(8)Само число (x,y) называют скалярным произведением элементов (векторов) x и y, а элементы x и y — его множителями или сомножителями, соответственно первым и вторым.Свойство, выражаемое условиями (1) и (8), называетсяположительной определнностью скалярного произведения,свойство (4) — коммутативностью, а свойство, выражаемоеусловиями (2) и (3), — линейностью (по первому сомножителю).Из коммутативности следует, что скалярное произведениеобладает свойством линейности и по второму сомножителю.Из доказанной теоремы следует, что любое линейное пространство со скалярным произведением является нормированным пространством с нормой, определяемой равенством(5).Норму (5) будем называть нормой, порожднной заданнымскалярным произведением.Очевидно, скалярное произведение является непрерывнойфункцией относительно нормы, порождённой этим скалярнымпроизведением.Действительно, если xn → x и yn → y при n → ∞, то|(xn ,yn ) − (x,y)| 6 |(xn ,yn ) − (x,yn )| + |(x,yn ) − (x,y)| 66 kxn − xk · kyn k + kxk · kyn − yk → 0при n → ∞, т.е.
lim (xn ,yn ) = (x,y).n→∞Если, как и в линейных пространствах с полунормой, элементы x,y из E, для которых kx − yk = 0, считать равными,80Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствато вместо “почти скалярное произведение” всегда можно говорить “скалярное произведение”. В дальнейшем мы всюду, гдене возникает разночтений, будем говорить о скалярных произведениях.Определение 3. Линейное пространство над полем действительных чисел, для элементов которого определено скалярное произведение, называется евклидовым пространством.Определение 4.
Полное евклидово пространство называется гильбертовым.Неполное евклидово пространство иногда называют предгильбертовым.Очевидно, арифметическое n-мерное векторное пространство Rn , в котором скалярное произведение векторов x == (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , .
. . ,yn ) определено по формуле(x,y) = x1 y1 + . . . + xn yn ,является евклидовым пространством.Более того, это пространство полное. В частности, множество действительных чисел R является линейным пространством над полем действительных чисел, и в нём обычное произведение двух чисел является скалярным произведением элементов этого линейного пространства.Приведём ещё несколько примеров евклидовых пространств.Пример 1.
Линейное нормированное пространство l2 надполем действительных чисел, в котором скалярное произведение элементов x = (x1 ,x2 , . . .) и y = (y1 ,y2 , . . .) определено поформуле∞X(x,y) =xk yk ,k=1является евклидовым пространством. Оно является полным.§ 5. Пространства со скалярным произведением81Пример 2. Линейное пространство функций, определённых и непрерывных на отрезке ∆ = [a; b], в котором скалярноепроизведение функций f (x) и g(x) введено по формулеZf (x)g(x) dx,(f,g) =∆очевидно, является евклидовым.Это пространство обозначается CL2 (∆). Ранее было показано, что оно неполное.Аналогично, линейное пространство RL2 (∆) функций,определённых и интегрируемых на отрезке ∆ = [a; b], в котором скалярное произведение введено по формуле (8), тожебудет евклидовым.
Следует заметить, что здесь элементамиявляются не отдельные функции, а классы функций. Функцииf (x) и g(x) попадают в один класс, еслиZ|f (x) − g(x)|2 dx = 0.∆5.2. Унитарные (эрмитовы) пространстваПусть E — линейное пространство над полем C комплексных чисел.Определение 1. Функция ( , ) : E × E → C называетсяскалярным произведением элементов пространства E, еслиона удовлетворяет условиям:1) (x,x) > 0 ∀ x ∈ E, причём если (x,x) = 0, то x = 0;2) (αx,y) = α(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ α ∈ C;3) (x + y,z) = (x,z) + (y,z) ∀ x,y,z ∈ E;4) (x,y) = (y,x) ∀ x,y ∈ E,где черта означает комплексное сопряжение.Из свойств 2) и 4) следует, что(x,βy) = β(x,y) ∀ x,y ∈ E, ∀ β ∈ C.Действительно,(x,βy) = (βy,x) = β (y,x) = β(x,y).82Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространстваЛегко видеть, что(z,x + y) = (z,x) + (z,y).Теорема. В линейном пространстве E со скалярным произведением функцияpkxk = (x,x), x ∈ E,(5)является нормой.Очевидно, достаточно доказать лишь неравенство треугольника, а оно, как и в п. 5.1, следует из неравенства Коши–Буняковского.Для доказательства неравенства Коши–Буняковского заметим, что0 6 (αx − y,αx − y) = |α|2 kxk2 − α(x,y) − α(y,x) + kyk2для любого α ∈ C. Поэтому если kxk = 0, то (x,y) = 0, и,следовательно, (x,y) = kxk · kyk для любого y ∈ E. Если жеkxk > 0, то положив α =(y,x), получим неравенствоkxk2|(x,y)|2 (y,x)(x,y)|(x,y)|2206−(x,y)−(y,x)+kyk=−+kyk2.kxk2kxk2kxk2kxk2Таким образом,|(x,y)| 6 kxk · kyk∀ x,y ∈ E.Из доказанной теоремы следует, что любое линейное пространство со скалярным произведением является нормированным пространством с нормой, определяемой равенством (5).Определение 2.
Линейное пространство над полем комплексных чисел, для элементов которого определено скалярноепроизведение, называется унитарным (эрмитовым или комплексно евклидовым) пространством.Полное унитарное пространство называется гильбертовым.§ 5. Пространства со скалярным произведением83Очевидно, арифметическое n-мерное векторное комплексное пространство Cn , в котором скалярное произведение векторов x = (x1 , .
. . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) определено по формуле(x,y) = x1 y1 + . . . + xn yn ,является эрмитовым пространством.В частности, в множестве комплексных чисел C скалярноепроизведение определяется по формуле (x,y) = xy.Пример 1. Унитарным пространством является линейное нормированное пространство l2 последовательностей комплексных чисел x = (x1 ,x2 , . . .) и y = (y1 ,y2 , . . .), . . . , для которых скалярное произведение определено по формуле∞X(x,y) =xk yk .k=1Пример 2.
Линейное пространство функций f : ∆ →→ C, определённых и непрерывных на отрезке ∆ = [a; b], вкотором скалярное произведение функций f (x) и g(x) введенопо формулеZ(f,g) =f (x)g(x) dx,∆является унитарным. Оно обозначается CL2 (∆).Аналогично определяется унитарное пространство RL2 (∆).Пусть E — некоторое евклидово пространство (действительное или комплексное).Определение 3.
Два элемента евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведениеравно нулю.Определение 4. Произвольная система элементов евклидова пространства называется ортогональной, если любые дваеё элемента ортогональны. Если, кроме того, норма каждогоеё элемента равна единице, то эта система называется ортонормированной.84Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваОчевидно, любая ортонормированная система является линейно независимой. Примеры ортонормированных систембыли рассмотрены в главе 14.Пусть в евклидовом пространстве E задана линейно независимая счётная система элементов xn , n ∈ N.
Покажем, чтов E существует счётная ортогональная система yn , y ∈ N, такая, что для любого n элемент yn есть линейная комбинацияэлементов x1 , . . . ,xn .Положим y1 = x1 , y2 = α21 y1 − x2 и найдём α21 из условия(y2 ,y1 ) = 0. Тогдаα21 ky1 k2 = (x2 ,y1 ).Так как система {xn } линейно независимая, то ky1 k =6 0, ипоэтому(x2 ,y1 )α21 =.ky1 k2Далее, y3 = α31 y1 + α32 y2 − x3 , где α31 и α32 находим из условий(y3 ,y1 ) = (y3 ,y2 ) = 0. Очевидно,α31 =(x3 ,y1 ),ky1 k2α32 =(x3 ,y2 ).ky2 k2Пусть уже построена ортогональная система элементовyk 6= 0, k = 1,2, .
. . ,n, таких, что каждое yk есть линейная1комбинация элементов x1 , . . . ,xk . Положим yn+1 = αn+1y1 +nk+ . . . + αn+1 yn − xn+1 и найдём αn+1 из условий (yn+1 ,yk ) = 0,k = 1, . . . ,n. Тогдаkαn+1=(xn+1 ,yk ),kyk k2k = 1, . . . ,n.Согласно методу математической индукции, искомая ортогональная система {yn } построена. Метод, с помощью которого она построена, называется методом или процессом ортогонализации.§ 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
