Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Однако в линейномпространстве интегрируемых на отрезке [a; b] функций функция (4) не будет нормой: она не удовлетворяет аксиоме 4).Первое пространство будем обозначать CL1 [a; b], а второе —RL1 [a; b].Определение 2. Функция kxk : X → R, удовлетворяющаяаксиомам 1), 2), 3) нормы, но не удовлетворяющая аксиоме 4),называется полунормой. Линейное пространство с полунормойназывается полунормированным.Функция (4) в линейном пространстве интегрируемых наотрезке [a; b] функций является полунормой. Однако еслифункции f и g, для которых kf − gk1 = 0, считать равными,то функция (4) будет нормой в RL1 [a; b].Аналогично, в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых функций f на отрезке [a; b] функцияkf k = max |f 0 (x)|x∈[a;b](5)§ 3.

Линейные, нормированные и банаховы пространства45является полунормой. Однако если функции f и g, которыеотличаются на аддитивную постоянную, считать равными, тофункция (5) будет нормой.В дальнейшем будем рассматривать только нормированные пространства, считая, что два элемента равны, если нормаих разности равна нулю.Легко проверить, что функцияρ(x,y) = kx − yk, x,y ∈ X,удовлетворяет всем аксиомам метрики.

Следовательно, линейное нормированное пространство является метрическим, и поэтому в нём определены все понятия метрического пространства.Например, множество E элементов нормированного пространства X называется ограниченным, если∃M > 0 :∀x ∈ Ekxk 6 M.Последовательность {xn } точек нормированного пространства X называется сходящейся к точке x0 , если∀ ε > 0 ∃N :∀n > Nkxn − x0 k < ε.Последовательность {xn } называется фундаментальной,если∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n,m > N kxn − xm k < ε.Нормированное пространство X называется полным, еслилюбая фундаментальная последовательность его элементовимеет предел в этом пространстве.Определение 3. Полное нормированное пространство называется банаховым.Важным примером банахова пространства является пространство C[a; b].Определение 4.

Линейные нормированные пространстваX1 и X2 называются изоморфными, если существует изомор-46Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствафизм f линейных пространств X1 и X2 такой, что kf (x)k2 == kxk1 .Изоморфизм линейных пространств X1 , X2 , сохраняющийнорму, называется изоморфизмом линейных нормированныхпространств X1 , X2 .Изоморфные нормированные пространства могут отличаться только природой своих элементов, а не свойствами самих пространств. Поэтому при изучении свойств нормированных пространств изоморфные пространства не различаются.Определение 5.

В линейном пространстве X две нормыkxk и kxk∗ называются эквивалентными, если существуют такие положительные постоянные c1 и c2 , чтоc1 kxk 6 kxk∗ 6 c2 kxk∀ x ∈ X.Легко видеть, что в линейном пространстве Rn нормы (1)и (2) эквивалентны. Действительно,q√sup |xj | 6 x21 + . . . + x2n 6 n sup |xj |.jjВообще, для конечномерных пространств справедливо следующее утверждение.Теорема. В конечномерном линейном пространстве всенормы эквивалентны.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть X — n-мерное линейноепространство над полем действительных чисел, и пусть kxk— некоторая норма в пространстве X. Выберем в X какой-тобазис e1 , . .

. ,en и покажем, что норма kxk эквивалентна нормеqkxk2 = x21 + . . . + x2n ,где x1 , . . . ,xn — координаты вектора x по выбранному базису.§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства47Прежде всего заметим, чтоnnXXkxk =|xj |kej k 6 kxk2kej k.j=1Поэтому kxk 6 c2 kxk2 , где c2 =j=1nPkej k.j=1Для оценки нормы kxk снизу рассмотрим функцию f (x) == kxk.

Её можно рассматривать как функцию от n переменныхx1 , . . . ,xn , определённую на Rn . Из неравенства|f (x) − f (y)| = kxk − kyk 6 kx − yk 6 c2 kx − yk2следует, что она непрерывна на Rn . В частности, она непрерывна и на единичной сфере S1 ⊂ Rn , причём если kxk2 == 1, то f (x) > 0. А так как сфера S1 — компакт, то ∃ x0 ∈∈ S1 : inf f (x) = f (x0 ) > 0, и поэтомуx∈S1∀ x ∈ S1kxk > c1 ,где c1 = f (x0 ). Тогда x > kxk2 c1 .∀ x 6= 0 kxk = kxk2 kxk2 Для x = 0 неравенство kxk > c1 kxk2 очевидно.Теорема доказана, поскольку любые две нормы kxk и kxk∗ ,эквивалентные kxk2 , эквивалентны.Легко показать, что в линейном пространстве C[a; b] нормы(3) и (4) не являются эквивалентными.Для доказательства, не ограничивая общности, можно считать, что a = 0, b = π. Тогда рассмотрим последовательностьфункций fn (x) таких, что fn (x) = sin nx, если 0 6 nx 6 π, иfn (x) = 0 при других x.

Очевидно,Z π2max |fn (x)| = 1,|fn (x)| dx = ,xn0и поэтому эти нормы не могут быть эквивалентными.48Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваПусть в линейном нормированном пространстве X выделена некоторая система элементовxα ,α ∈ A,(6)где A — множество индексов.Определение 6. Система элементов (6) называется полнойв пространстве X, если её линейная оболочка плотна в X, т.е.если для любого элемента x ∈ X выполняется условие:для любого ε > 0 существуют такие элементыxα1 , . . . ,xαn системы (6) и такие числа λ1 , . . .

,λn , чтоnXx −λj xαj < ε.j=1Определение 7. Линейное нормированное пространствоназывается сепарабельным, если в нём существует счётная система элементов, линейная оболочка которой плотна в этомпространстве.Из теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывныхфункций многочленами следует, что в пространстве C[a; b] система функций1,x,x2 , . . . ,xn , . . .(7)является полной. Следовательно, пространство C[a; b] сепарабельное.Легко доказать, что пространство Lp (∆), где p > 1 и ∆ == [a; b], тоже является сепарабельным.Определение8.Последовательностьэлементовe1 ,e2 , . . .

,en , . . . линейного нормированного пространстваX называется базисом пространства X, если каждый элемент x ∈ X имеет и притом единственное разложение поэтой системе, т.е. если существует и притом единственная§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства49последовательность чисел λn , n ∈ N, такая, чтоx=∞Xλn en .n=1Здесь ряд сходится к элементу x по норме пространства X,т.е.

выполняется условие:nX∀ ε > 0 ∃ N : ∀ n > N x −λ)kek < ε.k=1Очевидно, что система функций (7) хотя и является полной в пространстве C[a; b], однако она не будет базисом в этомпространстве. Типичным примером базиса является тригонометрическая система1, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx, .

. .являющаяся базисом в пространстве L2 [−π; π].3.3. Теорема о пополнении нормированных пространствПолное нормированное пространство X ∗ называется пополнением нормированного пространства X, если в X ∗ существует подпространство X 0 , которое изоморфно пространствуX и плотно в пространстве X ∗ .Напомним, что плотность X 0 в X ∗ означает, что для любого∗x ∈ X ∗ выполняется условие:∀ε > 0∃ x0 ∈ X 0 :kx∗ − x0 k∗ < ε,где k . . .

k∗ обозначает норму в X ∗ .Теорема. Любое линейное нормированное пространствоимеет пополнение.Д о к а з а т е л ь с т в о. Любое нормированное пространство X является метрическим с метрикойρ(x,y) = kx − yk.50Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваПри доказательстве теоремы о пополнении метрического пространства X было построено полное метрическое пространство X ∗ , элементами которого являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей элементов из X, ибыло показано, что множество X 0 , элементами которого являются классы последовательностей, каждый из которых содержит постоянную последовательность, изометрично пространству X и плотно в X ∗ .Для доказательства настоящей теоремы достаточно в X ∗ввести линейные операции и норму так, чтобы X 0 было подпространством пространства X ∗ и чтобы оно было изоморфнопространству X.Пусть x∗ ∈ X ∗ и y ∗ ∈ X ∗ .

Тогда если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ ,то через x∗ + y ∗ обозначим класс эквивалентных последовательностей, который содержит фундаментальную последовательность {xn + yn }, а через λx∗ , где λ — число, обозначимкласс, содержащий последовательность {λxn }.

Легко проверяется, что тогда X ∗ — линейное пространство, а X 0 — егоподпространство, т.е. X 0 замкнуто относительно введённыхлинейных операций.Чтобы ввести норму в X ∗ , заметим, что если последовательность {xn } фундаментальная, то числовая последовательность {kxn k} тоже фундаментальная, так какkxn k − kxm k 6 kxn − xm k ∀ n,m.Поэтому по определению положимkx∗ k∗ = lim kxn k.n→∞Легко видеть, что этот предел не зависит от выбора последовательности {xn } ∈ X ∗ .

Характеристики

Список файлов книги