Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Далее, если ρ(x∗ ,y ∗ ) = 0, то x∗ и y ∗ совпадают,так как в этом случае, если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , то {xn } ∼∼ {yn }. Наконец, если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , {zn } ∈ z ∗ , то изнеравенстваρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,zn ) + ρ(zn ,yn )в пределе при n → ∞ получаемρ(x∗ ,y ∗ ) 6 ρ(x∗ ,z ∗ ) + ρ(z ∗ ,y ∗ ).Итак, построено метрическое пространство {M ∗ ; ρ∗ }, элементами которого являются классы эквивалентных фундаментальных последовательностей элементов из M .18Г.

Н. Яковлев. Функциональные пространстваПокажем, что пространство {M ∗ ; ρ∗ } содержит подпространство, которое изометрично пространству {M ; ρ}.Каждому элементу x ∈ M поставим в соответствие элемент x∗ ∈ M ∗ , содержащий стационарную последовательностьxn = x, n ∈ N.

Очевидно, это соответствие определяет взаимно однозначное отображение M на некоторое подмножествоM 0 множества M ∗ . Более того, это отображение является изометричным, так как если x∗ и y ∗ из M 0 , то существуют x и yиз M такие, что {x} ∈ x∗ , {y} ∈ y ∗ , и поэтомуρ∗ (x∗ ,y ∗ ) = ρ(x,y).Докажем, что множество M 0 плотно в M ∗ , т.е. что любаяточка x∗ ∈ M ∗ является пределом последовательности из M 0 .Пусть {xn } ∈ x∗ .

Через x∗k обозначим элемент из M 0 , соответствующий элементу xk ∈ M . Тогда, согласно определению,ρ∗ (x∗ ,x∗k ) = lim ρ(xn ,xk ).n→∞А так как последовательность {xn } фундаментальная, тоε∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n,k > Nε ρ(xn ,xk ) < ,2и поэтомуε∀ k > Nε ρ∗ (x∗ ,x∗k ) 6 < ε.2Следовательно, lim ρ∗ (x∗ ,x∗k ) = 0.k→∞Для завершения доказательства осталось показать, что метрическое пространство {M ∗ ; ρ∗ } полное.Пусть {x∗n } — фундаментальная последовательность точекиз M ∗ .

Для любого n ∈ N существует yn ∈ M такое, что1ρ∗ (x∗n ; yn∗ ) < ,n∗0где yn — элемент из M , соответствующий элементу yn ∈ M .Последовательность {yn∗ } фундаментальная.Действительно, это следует из неравенства∗∗ρ∗ (yn∗ ,ym) 6 ρ∗ (yn∗ ,x∗n ) + ρ∗ (x∗n ,x∗m ) + ρ∗ (x∗m ,ym)<§ 1.

Метрические пространства1911+ ρ∗ (x∗n ,x∗m ) +(1)nmи фундаментальности последовательности {x∗n }. А так как∗ ) = ρ(y ,y ), то фундаментальной будет и последоρ∗ (yn∗ ,ymn mвательность {yn }. Через y ∗ обозначим класс эквивалентныхфундаментальных последовательностей, содержащий последовательность {yn }. Тогда1ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) 6 ρ∗ (y ∗ ,yn∗ ) + ρ∗ (yn∗ ,x∗n ) < ρ∗ (y ∗ ,yn∗ ) + =n1= lim ρ(yk ,yn ) + .k→∞nА так какε1∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ k,n > Nε ρ(xk ,yn ) + < ,n2тоε∀ n > Nε ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) 6 < ε,2и, следовательно, lim ρ∗ (y ∗ ,x∗n ) = 0.n→∞Теорема доказана.В пункте 1.2 было доказано, что пространство CL1 ([a; b])является неполным. Пополнение этого пространства обозначается L1 ([a; b]) и называется пространством абсолютно интегрируемых на отрезке [a; b] функций.<1.4.

КомпактыКак и для множеств точек пространства Rn , произвольнаясовокупность множеств Xα , α ∈ A, точек метрического пространства S{M ; ρ} называется покрытием множества X ⊂ M ,если X ⊂ α Xα . Покрытие называется открытым, если всеего множества открытые.Определение 1. Множество X точек метрического пространства {M ; ρ} называется компактным (или компактом),если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное число множеств, которые тоже покрывают множествоX.20Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваИзвестно, что множество точек пространства Rn компактнотогда и только тогда, когда оно ограничено и замкнуто вRn (см.

§ 3 главы 6). Как увидим в дальнейшем, в общемслучае для метрических пространств это утверждение является неверным. Вместо ограниченности нужна так называемая вполне ограниченность множества. Для множеств из Rnэти понятия совпадают.Определение 2. Пусть X — некоторое множество точекметрического пространства {M ; ρ}. Множество B ⊂ M называется ε-сетью для множества X, если∀x ∈ X∃a ∈ B :ρ(x,a) ∈ ε.Определение 3. Множество X точек метрического пространства {M ; ρ} называется вполне ограниченным, если длялюбого ε > 0 в M для него существует конечная ε-сеть.Ясно, что всякое вполне ограниченное множество являетсяограниченным.

Однако существуют ограниченные множества,которые не являются вполне ограниченными. Например, множество последовательностейe1 = (1,0, . . .), e2 = (0,1,0, . . .), . . . , en = (0, . . . ,0,1, . . .), . . .(здесь у en n-й член равен 1, а все другие равны нулю), в пространстве ограниченных последовательностей (см.

пример 2из п. 1.2) является ограниченным, но, очевидно, для него несуществует конечной ε-сети, например, с ε = 0,5.Заметим, что в определениях 1 и 3 возможен случай, когда X = M . Оказывается, не ограничивая общности, можнорассматривать только этот случай. В связи с этим вводятследующие определения.Метрическое пространство {M ; ρ} называется компактным, если множество M компактно. Аналогично, метрическоепространство {M ; ρ} называется вполне ограниченным, еслимножество M вполне ограничено.§ 1. Метрические пространства21Лемма.

Множество X точек метрического пространства{M ; ρ} компактно (вполне ограничено) тогда и только тогда,когда компактно (соответственно вполне ограничено) метрическое пространство {X; ρ}.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть множество X ⊂ M компактно. Докажем, что пространство {X; ρ} тоже компактно.Пусть открытые в пространстве {X; ρ} множества Xα , α ∈∈ A, покрывают множество X. Вообще говоря, эти множествамогут не быть открытыми в пространстве {M ; ρ}, однако ихδ-окрестности в этом пространстве будут открытыми. В силукомпактности множеств X ⊂ M существует конечное числомножеств Xα , δ-окрестности которых покрывают множествоX. Эти множества покрывают множество X в пространстве{X; ρ}.Пусть теперь пространство {X; ρ} компактное. Докажем,что множество X ⊂ M компактно в пространстве {M ; ρ}.Пусть открытые в пространстве {M ; ρ} множества Gα ⊂⊂ M , α ∈ A, покрывают множество M .

Очевидно, множестваXα = Gα ∩ X,α ∈ A,являются открытыми в пространстве {X; ρ} и покрывают множество X. В силу компактности пространства {X; ρ} существует конечное число множеств Gα , пересечения которых с Xпокрывают множество X. Эти множества покрывают множество X.Первое утверждение доказано. Второе утверждение почтиочевидное. Докажите его в качестве упражнения.В силу этой леммы в дальнейшем для простоты все утверждения о компактных множествах будем формулировать и доказывать для компактных пространств.Теорема 1.

Если метрическое пространство компактное,то оно полное и вполне ограниченное.22Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваД о к а з а т е л ь с т в о. Сначала докажем, что если метрическое пространство M компактное, то оно полное. Доказывать будем методом от противного.Предположим, что некоторое компактное метрическое пространство M является неполным, и через M ∗ обозначим егопополнение.

Тогда в M ∗ существует точка x∗ , которая не принадлежит множеству M . Как обычно, через O1/n (x∗ ) обозначим открытый шар радиуса 1/n с центром в точке x∗ , а черезO1/n (x∗ ) — его замыкание. Семейство открытых множествGn = M \O1/n (x∗ ),n ∈ N,покрывает множество M . Однако никакая конечная совокупность этих множеств его не покрывает, так как любой шарO1/n (x∗ ) содержит хотя бы одну точку множества M . Следовательно, наше предположение неверное.Докажем теперь, что если метрическое пространство Mкомпактное, то оно вполне ограниченное.Каждую точку x ∈ M покроем шаром Oε (x) радиуса ε > 0.Из компактности M следует существование конечного числаточек x1 ,x2 , .

. . ,xN таких, что шарыOε (xj ),j = 1,2, . . . ,N,покрывают множество M . Очевидно, что эти точки образуютконечную ε-сеть для множества M .Теорема 1 доказана.Теорема 2. Если метрическое пространство полное ивполне ограниченное, то оно компактное.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть метрическое пространствоM полное и вполне ограниченное. Предположим, что оно неявляется компактным, т.е. существует семейство открытыхмножеств Xα , α ∈ A, которое покрывает множество M , ноникакая конечная совокупность этих множеств не покрываетэто множество.§ 1. Метрические пространства23В силу того, что множество M вполне ограничено, для любого ε > 0 существует конечное число точек x1 ,x2 , . .

. ,xN таких, что шары Oε (xj ), j = 1,2, . . . ,N , покрывают множествоM . Из нашего предположения следует, что одно из множествO1 (xj ) не покрывается никакой конечной совокупностью множеств Xα . Обозначим это множество через F1 . Оно вполнеограниченное, поэтому для ε = 1/2 существует конечное число точек таких, что шары радиуса 1/2 с центрами в этихточках покрывают F1 . Через F2 обозначим ту часть множества F1 , которая лежит в круге радиуса 1/2 и не покрываетсяникакой конечной совокупностью множеств Xα . Поступая таки далее, по индукции построим последовательность замкнутыхмножеств Fn , n ∈ N, таких, что2Fn+1 ⊂ Fn ,d(Fn ) 6 ,nпричём любое из них не покрывается никакой конечной совокупностью множеств Xα .С другой стороны, в силу полноты пространства M множества Fn , n ∈ N, имеют одну общую точку x0 ∈ M . Точкаx0 накрывается некоторым открытым множеством Xα0 , причём это множество покрывает некоторый шар Oδ (x0 ), δ > 0.22Если n < δ, то Fn ⊂ Oδ (x0 ).

Следовательно, если n < δ, тоFn ⊂ Xα0 , что противоречит нашему предположению.Теорема 2 доказана.Таким образом, имеет место следующий критерий компактности метрических пространств:Для того чтобы метрическое пространство было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было полными вполне ограниченным.Докажем ещё один критерий компактности метрическихпространств.Теорема 3.

Метрическое пространство компактно тогда24Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваи только тогда, когда любая последовательность его точек содержит сходящуюся подпоследовательность.Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала следующееутверждение:Если метрическое пространство {M ; ρ} компактное, то любая последовательность {xn } его точек содержит сходящуюсяподпоследовательность.Предположим, что есть последовательность {xn }, котораяне имеет сходящейся подпоследовательности. Следовательно,ни одна точка x ∈ M не является её частичным пределом, ипоэтому у каждой точки x есть окрестность O(x), которая содержит лишь конечное число членов последовательности {xn }.Эти окрестности образуют покрытие множества M , причём,согласно построению, никакая конечная совокупность не покрывает последовательность {xn }, что противоречит компактности множества M .Наше утверждение доказано.

Докажем теперь обратноеутверждение:Если любая последовательность {xn } точек метрическогопространства {M ; ρ} содержит сходящуюся подпоследовательность, то это пространство компактное.Во-первых, это пространство полное. Действительно, любая фундаментальная последовательность имеет предел, таккак у неё есть сходящаяся подпоследовательность. Докажем,что пространство {M ; ρ} вполне ограниченное. Доказыватьбудем методом от противного.Пусть множество M не является вполне ограниченным, т.е.существует ε > 0 такое, что для M не существует конечнойε-сети.

Характеристики

Список файлов книги