Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Кроме того, если x∗ ∈ X 0 и {x} ∈ x∗ ,тоkx∗ k∗ = kxk.§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства51Функция kx∗ k∗ на X ∗ удовлетворяет всем аксиомам нормы.Действительно,kλx∗ k∗ = lim kλxn k = λkx∗ k∗ ,n→∞kx∗ + y ∗ k∗ = lim kxn + yn k 6n→∞6 lim (kxn + yn k) = kx∗ k∗ + ky ∗ k∗ .n→∞Теорема доказана.Так как в теории линейных нормированных пространствизоморфные пространства не различаются, то линейное нормированное пространство X 0 , построенное при доказательстветеоремы о пополнении, отождествляется с пространством X,и поэтому доказанную теорему часто формулируют так:Любое линейное нормированное пространство содержитсяи плотно в некотором банаховом пространстве.3.4.
Примеры линейных нормированных пространствВ пункте 3.2 уже были рассмотрены линейные нормированные пространства Rn , C[a; b] и CL1 [a; b]. В этом пунктерассмотрим ещё несколько важных примеров нормированныхпространств.Пример 1. Рассмотрим семейство линейных нормированных пространств, элементами которых являются точки из Rn ,а норма для x = (x1 , . . .
,xn ) определяется по формуле1/pnXkxkp = |xj |p ,(1)j=1где p > 1. В частных случаях, когда p = 1 и p = 2, известно,что функция (1) на Rn удовлетворяет всем аксиомам нормы.В общем случае достаточно проверить, что для этой функциисправедливо неравенство треугольника.Сначала докажем несколько вспомогательных утверждений.52Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваЛемма 1. Для любых неотрицательных чисел a и b илюбого p > 1 справедливо неравенствоap bqab 6+,(2)pq11где q такое, что p + q = 1.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим функциюy = xp−1 ,x > 0.Она на промежутке [0; +∞) строго возрастает и имеет обратнуюx = y q−1 , y > 0.Очевидно, площадь кривоyлинейной трапеции 0aA (рис. 1)1равна q bq . Кроме того, длялюбых a > 0 и b > 0 объAединение этих трапеций содержит прямоугольник [0; a]×[0; b],Bплощадь которого равна ab.bСледовательно, для любых a >ax > 0 и b > 0 справедливо не0равенство (2), причём равенРис.
1ство будет достигаться тогда итолько тогда, когда точки A иB совпадают, т.е. когда b = ap−1 .Лемма 1 доказана.Лемма 2. Для любых x = (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) илюбого p > 1 справедливо неравенствоnX|xj yj | 6 kxkp kykq ,(3)j=111где q такое, что p + q = 1.§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства53Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если kxkp = 0 илиkykq = 0, то неравенство (3) справедливо. Предположим, чтоkxkp 6= 0 и kykq 6= 0, и в неравенстве (2) положимa=|xj |,kxkpb=|yj |.kykqТогда|xj yj |1 |xj |p1 |yj |q6 ··.p +kxkp kykqp kxkp q kykqqПросуммируем эти неравенства по j от 1 до n.
В результатеполучим:nP|xj yj |1 1j=16 + = 1.kxkp kykqp qЛемма 2 доказана.Неравенство (3) называется неравенством Гльдера длясумм. В частном случае при p = q = 2 оно обращается внеравенство Буняковского.Применяя неравенство Гёльдера, получаем:nXp|xj + yj | 6j=1nXp−1|xj + yj ||xj | +j=16nXnX|xj + yj |p−1 |yj | 6j=11/q|xj + yj |(p−1)q · (kxkp + kykp ) .j=1А так как (p − 1)q = p, тоkx + ykpp 6 kx + ykp/qp (kxkp + kykp ) ,и, следовательно,kx + ykp 6 kxkp + kykp .Это неравенство треугольника для нормы (1) называется неравенством Минковского для сумм.54Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваЛемма 3. Для любого x = (x1 , .
. . ,xn ) справедливо равенство1/pnXlim |xj |p = max |xj |.(4)p→+∞jj=1Действительно, пусть, например,max |xj | = |x1 |,jx1 6= 0.Тогдаkxkp = |x1 | 1 +nX|xj |pj=2|x1 |p1/p→ |x1 |при p → +∞.Равенство (4) можно записать в следующем виде:kxk∞ = max |xj |.jИспользуя это обозначение, в случае p = 1 получаем неравенствоnX|xj yj | 6 kxk1 kyk∞ ,j=1которое аналогично неравенству Гёльдера в случае p > 1.Очевидно, что для любого p > 1 справедливо неравенствоkxk∞ 6 kxkp 6 n1/p kxk∞ .Из того, что в Rn все нормы эквивалентны, и того, что Rnс нормой kxk2 полно, следует, что Rn с любой нормой являетсяполным пространством.Пример 2.
Пусть X — множество всех ограниченныхчисловых последовательностей {ξk }, {ηk },. . . Линейные операции для них введём обычным образом. Именно, если x = {ξk },y = {ηk }, то по определению положимx + y = {ξk + ηk },αx = {αξk },§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства55где α — число.
Очевидно, сумма двух ограниченных последовательностей и произведение ограниченной последовательности на число являются ограниченными последовательностями.В этом линейном пространстве норму введём с помощью равенстваkxk = sup |ξk |.(5)kЛегко проверяется, что функция (5) на множестве X удовлетворяет всем аксиомам нормы.Так полученное нормированное пространство называетсяпространством m ограниченных числовых последовательностей.
Покажем, что это пространство полное.Пусть последовательность {xn } элементов пространства mявляется фундаментальной, т.е. если xn = {ξkn }, то выполняется условие:∀ε > 0∃N :∀ n > N, ∀ psup |ξkn − ξkn+p | < ε.(6)kТогда для любого фиксированного k числовая последовательность {ξkn } тоже фундаментальная и, следовательно, имеет предел.
Пустьlim ξkn = ξk .n→∞В неравенстве |ξkn − ξkn+p | < ε, которое следует из неравенства (6), перейдём к пределу при p → ∞. В результате длялюбого k получим неравенство|ξkn − ξk | 6 ε∀ n > N.Отсюда следует, чтоsup |ξkn − ξk | 6 ε∀ n > N,kт.е. последовательность {xn } сходится к элементу x = {ξk }.Чтобы завершить доказательство, заметим, что kxk < +∞.Действительно,kxk 6 kx − xN k + kxN k 6 ε + kxN k < +∞.56Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваТаким образом, пространство m ограниченных числовыхпоследовательностей банахово.Пример 3. Пусть X — множество всех сходящихся числовых последовательностей {ξk }, {ηk },. . .
Линейные операциии норму введём так же, как и в пространстве m ограниченныхчисловых последовательностей. Полученное линейное нормированное пространство является подпространством пространства m. Оно называется пространством c сходящихся последовательностей. Покажем, что это пространство полное.Пусть последовательность {xn } элементов пространства cявляется фундаментальной. Из полноты пространства m следует, что {xn } сходится к некоторому x = {ξk } ∈ m.Последовательность {ξk } сходящаяся. Действительно, длялюбого ε > 0 существует N такое, чтоN|ξk+p − ξk | 6 |ξk+p − ξk+p| + |ξk+p − ξkN | + |ξkN − ξk |+ 6NN6 2kx − xN k + |ξk+p− ξkN | < 2ε + |ξk+p− ξkN |для любых k и p. А так как последовательность {ξkN } сходящаяся, то отсюда следует, что последовательность {ξk } фундаментальная, и поэтому тоже сходящаяся.Таким образом, пространство c сходящихся числовых последовательностей банахово.Пример 4. Пусть X — множество всех числовых последовательностей {ξk }, {ηk },.
. . , для которых ряд∞X|ξk |p ,p > 1,k=1сходится.Результаты линейных операций, определённых так же, каки в примерах 2 и 3, принадлежат множеству X. Действи-§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства57тельно, если x = {ξk } и y = {ηk } принадлежат X, то!1/p!1/p!1/pnnnXXX|ηk |p.|ξk + ηk |p6|ξk |p+k=1k=1k=1Отсюда при n → ∞ получаем неравенство Гёльдера для бесконечных сумм!1/p!1/p!1/p∞∞∞XXX|ξk + ηk |p6|ξk |p+|ηk |p,k=1k=1k=1из которого следует, что множество X с введёнными операциями является линейным пространством, а для функции!1/p,∞Xkxkp =|ξk |pk=1справедливо неравенство треугольника.Другие аксиомынормы очевидны.Полученное линейное нормированное пространство называется пространством lp .
Докажем, что это пространство полное.Пусть последовательность {xn } элементов пространства lp ,p > 1, является фундаментальной, т.е.∀ε > 0 :∀ n,m > Nkxn − xm kp < ε,(7)и, в частности, если xn = {ξkn }, то|ξkn − ξkm | < ε ∀ k.Следовательно, при каждом фиксированном k последовательность {ξkn } имеет предел. Пусть ξkn → ξk при n → ∞, и пустьx = {ξk }.Из неравенства (7) следует, чтоMXk=1|ξkn − ξkm |p < εp58Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствадля любого M ∈ N и любых n,m > N , и поэтому в пределе приm → +∞ имеем:MX|ξkn − ξk |p 6 εp∀ n 6 N.k=1Отсюда при M → +∞ получаем:∞X|ξkn − ξk |p 6 εp∀ n > N,k=1т.е. kxn − xkp 6 ε ∀ n > N .Наконец, из неравенстваkxkp 6 kx − xN kp + kxN kp 6 ε + kxN kpследует, что x ∈ lp .Таким образом, пространство lp банахово.Пример 5.
Рассмотрим множество всех функций f , определённых и непрерывных на отрезке [a; b]. Очевидно, это множество с естественными линейными функциями является линейным пространством. На этом пространстве рассмотримZ b1/pфункциюpkf kp =|f (x)| dx(8)aи покажем, что она при любом p > 1 удовлетворяет всем аксиомам нормы. Очевидно, нуждается в проверке только неравенство треугольника. Для этого сначала докажем неравенствоГльдера для интегралов.Лемма 4.
Для любых двух функций f и g, определённыхи непрерывных на отрезке [a; b], и любого p > 1 справедливонеравенствоZ b|f (x)g(x)| dx 6 kf kp · kgkq ,(9)a11где q такое, что p + q = 1.§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства59Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, если kf kp = 0 илиkgkq = 0, то неравенство (9) справедливо. Предположим, чтоkf kp 6= 0 и kgkq 6= 0, и применим неравенство (2) к числамA=|f (x)|,kf kpB=|g(x)|.kgkqТогда|f (x)g(x)|1 |f (x)|p 1 |g(x)|q+ ·.6 ·kf kp kgkqp kf kppp kgkqqПроинтегрируем это неравенство по x от a до b.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
