Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда для x с координатами xj == sgn aij выполняется равенствоkykc = y1 =nX|aij |.j=1Отсюда и из (3) следует, чтоkAk = maxinX|aij |.j=1Пример 2. Через lpn , p > 1, обозначим линейное пространство Rn с нормой1/pnXkxkp = |xj |p j=168Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваи будем рассматривать A как оператор, действующий из lpn в11lqn , где p + q = 1. Тогдаq 1/qn XX nkykq = aij xj .j=1 j=1А так как, согласно неравенству Гёльдера, 1/q 1/p nnnXXXaij xj 6 |aij |q |xj |p , j=1j=1j=1тоkykq 6 nX(4)1/q|aij |q kxkp .i,j=1Следовательно, оператор A : lpn → lqn ограничен, причём1/qnXkAk 6 |aij |q .(5)i,j=1Покажем, что в действительности здесь выполняется равенство.Не ограничивая общности, можно считать, что A 6= 0. Тогда для некоторого x 6= 0 соотношение (4) превращается в равенство, поэтому, учитывая неравенство (5), получаем1/qnXkAk = |aij |q .i,j=1Пример 3.
Пусть оператор A действует из lpn в lpn , p > 1.Тогда из равенстваp 1/pn XnXkykp =aij xj i=1 j=1§ 4. Операторы в линейных нормированных пространствах69и неравенства (4) следует, чтоp/q 1/pnnX Xkykp 6 |aij |q kxkp .i=1j=1Следовательно, оператор A : lpn → lpn ограничен, причёмp/q 1/pnnXX|aij |q .kAk 6 i=1j=1Легко доказывается, что в действительности здесь выполняется равенство.Аналогично линейным операторам из Rn в Rn можно рассмотреть линейные операторы, заданные равенствами∞Xyi =aij xj , i = 1,2, . . . ,(6)j=1и действующие из одного пространства последовательностей вдругое.
При некоторых ограничениях на бесконечную матрицуA с элементами aij эти операторы будут ограниченными.Пример 4. Через m обозначим пространство ограниченных числовых последовательностей и покажем, что операторA : m → m, заданный равенствами (6), ограничен, еслиγ = supi∞X|aij | < +∞.j=1Из (6) следует, что∀ i |yi | 6∞X|aij | · kxkm 6 γkxkm ,j=1и поэтомуkykm 6 γkxkm .70Г. Н. Яковлев.
Функциональные пространстваСледовательно, оператор A : m → m ограничен, причём kAk 66 γ.Докажите, что kAk = γ.Пример 5. Через lp , p > 1, обозначим линейное пространство последовательностей с нормой1/p∞Xkxkp = |xj |p j=1и покажем, что оператор A : lp → lq , заданный равенствами (6),ограничен, если1/qnXβ=|aij |q < +∞.i,j=1Как и в примере 2, получаем: 1/q∞∞XX|aij |q kxkp ,|aij |xj 6 j=1j=1kykq 6 βkxkp .Следовательно, оператор A : lp → lq ограничен, причём kAk 66 β.Докажите, что kAk = β.Аналогично доказывается, что еслиp/q 1/p∞∞XXα=|aij |q < +∞,i=1j=1то оператор A : lp → lp , p > 1, заданный равенствами (6),ограничен, причёмkAk = α.§ 4.
Операторы в линейных нормированных пространствах71Пример 6. Рассмотрим теперь линейные операторы видаZ bK(x,ξ)u(ξ) dξ,(7)v(x) =aгде функция K(x,ξ) непрерывна на квадрате ∆2 = ∆ × ∆, где∆ = [a; b].Такие операторы называются интегральными, а функцияK(x,ξ) — ядром этого оператора. Обычно интегральный оператор (7) обозначают той же буквой, что и его ядро.Очевидно, оператор K : C(∆) → C(∆) ограничен, причёмZ b|K(x,ξ)| dξ kvkC 6 · kukC .aCОператор K : CLp (∆) → CLq (∆) тоже ограничен.
Именно,как и в примере 2, доказывается, чтоkvkLq 6 kKkLq · kukLp ,гдеZZkKkq =|K(x,ξ)|q dx dξ(8)1/q.∆2Предельным переходом можно доказать, что операторK : Lp (∆) → Lq (∆) ограничен и для него справедливо неравенство (8).4.4. Пространства линейных ограниченных операторовМножество L(X; Y ) всех ограниченных линейных операторов, отображающих нормированное пространство X в нормированное пространство Y , с естественными операциями сложения двух операторов и умножения оператора на число являетсялинейным пространством, а норма оператора является нормойв этом линейном пространстве.Действительно, если A и B — линейные операторы, действующие из X в Y , то для любых чисел α и β оператор C == αA + βB, определяемый равенствомCx = αAx + βBx ∀ x ∈ X,72Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстватоже линеен, так какC(λ1 x1 + λ2 x2 ) = α(λ1 Ax1 + λ2 Ax2 ) + β(λ1 Bx1 + λ2 Bx2 ) == λ1 (αAx1 + βBx1 ) + λ2 (αAx2 + βBx2 ) == λ1 Cx1 + λ2 Cx2 .Далее, если операторы A и B ограничены, то операторы A + Bи αA тоже ограничены, так какkA + Bk = sup kAx + Bxk 6 sup (kAxk + kBxk) 6kxk61kxk616 kAk + kBk,kαAk = sup kαAxk = |α| sup kAxk = |α| · kAk.kxk61kxk61Отсюда, в частности, следует, чтоkA + Bk 6 kAk + kBk, kαAk = |α| · kAk.Кроме того, kAk > 0 ∀A ∈ L(X; Y ), причём, если kAk = 0, тоAx = 0 ∀ x ∈ X. Следовательно, норма оператора удовлетворяет всем аксиомам нормы.Таким образом, L(X; Y ) — линейное нормированное пространство.Пусть An ∈ L(X; Y ) и A ∈ L(X; Y ).
Из очевидного равенстваsup kAn x − Axk = kAn − Akkxk61следует, что сходимость последовательности линейных операторов по норме пространства L(X; Y ) равносильна равномерной сходимости этой последовательности на шаре kxk 6 1. Поэтому если kAn − Ak → 0 при n → ∞, то говорят, что последовательность операторов An , n ∈ N, сходится равномернок оператору A.Теорема 1. Если пространство X нормированное, а пространство Y банахово, то пространство L(X; Y ) тоже банахово.§ 4. Операторы в линейных нормированных пространствах73Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность операторов An ∈ L(X; Y ), n ∈ N, фундаментальная.
Из неравенстваkAn+p x − An xk 6 kAn+p − An k · kxkследует, что при любом x ∈ X последовательность {An x} тожефундаментальная. А так как пространство Y полное, то этапоследовательность имеет предел. Положимy = lim An x.n→∞Эта формула определяет линейный оператор y = Ax. Докажем, что он ограничен.Из неравенства |kAn+p − kAn k| 6 kAn+p − An k следует, чточисловая последовательность {kAn k} фундаментальная и, какследствие, ограниченная.
ПустьkAn k 6 C∀ n.ТогдаkAn xk 6 kAn k · kxk 6 Ckxk ∀ n ∈ N.Отсюда в пределе при n → ∞ получаем неравенствоkAxk 6 Ckxk,справедливое для любого x ∈ X.Теорема 1 доказана.Наряду с равномерной сходимостью в пространствеL(X; Y ) можно рассматривать и поточечную сходимость.Очевидно, если An → A при n → ∞ равномерно, то An →→ A при n → ∞ поточечно. Следующий пример показывает,что обратное утверждение является неверным.Пример.В пространстве l2 последовательностей x == {x1 ,x2 ,, . . .
,xn , . . .} с нормой!1/2∞Xkxk =|xk |2k=174Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстварассмотрим оператор проектирования y = Pn x, который последовательности x ставит в соответствие последовательностямy = {x1 ,x2 , . . . ,xn ,0, . . .}. ТогдаkPn x − xk2 =∞X|xk |2 → 0k=n+1при n → ∞ для любой последовательности x ∈ l2 . Следовательно, Pn → I при n → ∞ поточечно, где I — тождественныйоператор в l2 . Однако эта сходимость не будет равномерной.Действительно, если kxk = 1 и Pn x = 0, то kPn x−xk = kxk = 1.Следовательно,kPn − Ik = sup kPn x − xk > 1.kxk61для любого n ∈ N.4.5. Дифференцируемые операторыПусть X и Y — линейные нормированные пространства, ипусть f — произвольный оператор, действующий из X в Y , собластью определения Df ⊂ X.Определение 1.
Оператор f , определённый в некоторойокрестности точки x ∈ Df , называется дифференцируемым вточке x, если существует линейный ограниченный операторA : X → Y такой, чтоlimh→0f (x + h) − f (x) − Ah= 0.khk(1)Линейный ограниченный оператор A называют дифференциалом Фреше оператора f в точке x и обозначают Df или,более подробно, Df (x).Оператор α, заданный равенствомα(h) =f (x + h) − f (x) − Ah,khk§ 4. Операторы в линейных нормированных пространствах75определён в некоторой окрестности точки h = 0, кроме самойэтой точки. Доопределим его, положив α(0) = 0. Тогда условие (1) можно записать в виде следующего равенства:f (x + h) = f (x) + Ah + α(h)khk,где α(h) → 0 при h → 0.Как и для числовых функций, в определении дифференцируемости операторов удобно использовать понятие “бесконечномалый оператор” и символ “o-малое”.Определение 2.
Оператор β, действующий из X в Y , называется бесконечно малым при x → x0 , x0 ∈ Dβ , еслиlim kβ(x)k = 0.x→x0В этом случае будем писатьβ(x) = o(1) при x → x0 .Если β(x) = ε(x)kx − x0 k, где ε(x) = o(1) при x → x0 , то,как обычно, будем писатьβ(x) = o(x − x0 ) при x → x0 .Используя эти понятия, определение дифференцируемостиоператора можно сформулировать следующим образом.Определение 10 . Оператор f называется дифференцируемым в точке x ∈ Df , если существует линейный ограниченный оператор A : X → Y такой, чтоf (x + h) − f (x) − Ah = o(h)(2)при h → 0.Асимптотическое равенство (2), как и для числовых функций, записывают ещё и так:f (x + h) = f (x) + Ah + o(h)при h → 0.76Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваТаким образом, если оператор f дифференцируем в точкеx ∈ Df , тоf (x + h) − f (x) = Df (x)h + o(h)при h → 0.Легко доказываются следующие утверждения:1. Если операторы f и g, действующие из X в Y , дифференцируемы в точке x, то для любых чисел λ и µ операторλf + µg тоже дифференцируем в точке x иD(λf + µg) = λDf + µDg.2.
Если оператор f , действующий из X в Y , дифференцируемв точке x, а оператор g, действующий из Y в нормированное пространство Z, дифференцируем в точке y = f (x),то композиция g ◦ f , задаваемая равенствомz = g(f (x)),дифференцируема в точке x иD(g ◦ f ) = Dg ◦ Df.Наряду с введённым понятием дифференцируемости бывает полезным понятие дифференцируемости по направлению.Определение 3. Оператор f называется дифференцируемым в точке x ∈ Df по направлению h, если существует пределf (x + th) − f (x)lim.t→+0tЭтот предел называют производной Гато по направлению hоператора f в точке x и обозначают Dh f или Dh f (x).Таким образом, согласно определению,f (x + th) = f (x) + tDh f (x) + o(th)при t → +0.Отметим, что в заданной точке x ∈ Df дифференциалФреше — это элемент пространства L(X; Y ), а производнаяГато — это элемент пространства Y .§ 5.
Пространства со скалярным произведением77Очевидно, что если в точке x оператор f дифференцируем(по Фреше), то он дифференцируем по любому направлению h,причёмDh f (x) = Df (x)h.Действительно, если оператор f дифференцируем в точкеx, тоf (x + th) = f (x) + tDf (x)h + o(th)при t → +0.§ 5. Пространства со скалярным произведением5.1. Евклидовы пространстваПонятие скалярного произведения векторов и элементов линейного пространства вводится в аналитической геометрии исоответственно в линейной алгебре. Напомним, что в линейнойалгебре, как правило, рассматриваются лишь конечномерныепространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
