Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 6
Текст из файла (страница 6)
. . ,ξn ), y = (η1 ,η2 , . . . ,ηn ).Легко доказать, что так определённое метрическое пространство Mn полное. Рассмотрим отображение f пространства Mn в себя, заданное равенствомf (x) = Ax + b,(4)где A — квадратная матрица порядка n, а b = (b1 ,b2 , . . . ,bn ).Пусть A = (aij ), x = (ξ1 ,ξ2 , . . . ,ξn ), x0 = (ξ10 ,ξ20 , .
. . ,ξn0 ). Тогда nX000 ρ(f (x),f (x )) = ρ(Ax,Ax ) = max aij (ξj − ξj ) 6i j=16 maxi= maxinXj=1nXj=1|aij | · max |ξj − ξj0 | =j|aij | · ρ(x,x0 ).38Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваОтсюда следует, что если выполняется условиеnXmax|aij | < 1,i(5)j=1то отображение (4) будет сжимающим.Таким образом, доказано следующее утверждение.Теорема 2.
Если матрица A удовлетворяет условию (5), тоуравнение x − Ax = b имеет единственное решение при любомb. Это решение можно получить методом последовательныхприближений при любом выборе начального приближения.Заметим, что если точка x0 является неподвижной для отображения f , то она будет неподвижной и для n-й степениэтого отображения. Для сжимающего отображения справедливо обратное утверждение.Теорема 3. Если некоторая степень отображения полногометрического пространства в себя является сжимающим отображением, то само отображение имеет и притом единственную неподвижную точку.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f : X → X такое, что его n-я степень, т.е.
отображениеf n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f,n > 1,является сжимающим. Согласно теореме 1, у отображения f nсуществует неподвижная точка, т.е.∃a ∈ X :f n (a) = a.Тогда f (a) = f (f n (a)) = f n (f (a)), т.е. точка f (a) тоже неподвижная для f n . А так как сжимающее отображение f n можетиметь только одну неподвижную точку, то f (a) = a.Существование неподвижной точки у отображения f доказано. Единственность следует из того, что неподвижная точкадля f будет неподвижной и для f n .Теорема 3 доказана.§ 3.
Линейные, нормированные и банаховы пространства39Пример 1. Рассмотрим интегральное уравнение ВольтерраZ tx(t) = λK(t,τ )x(τ ) dτ + f (t),aгде λ — некоторое число, функция f (t) непрерывна на отрезке[a; b], функция K(t,τ ) непрерывна на квадрате ∆ = [a; b] × [a; b],а x(t) — искомая функция.Очевидно, операторZ tA(x) = λK(t,τ )x(τ ) dτ + f (t)aдействует из C[a; b] в C[a; b].
Для него имеем: Z tK(t,τ )(x(τ ) − y(τ )) dτ 6|A(x)(t) − A(y)(t)| = λa6 |λ| · q · ρ(x,y) · (t − a),где q = max |K(t,τ )|, (t,τ ) ∈ ∆. Далее,|A2 (x)(t) − A2 (y)(t)| 6 |λ|2 · q 2 · ρ(x,y)(t − a)2,2и для n-й степени оператора A имеем:(t − a)n.n!Очевидно, для любых λ и q существует n такое, чтоλn q n (b − a)n< 1.n!Для этого n отображение An будет сжимающим.Из теоремы 3 следует, что уравнение Вольтерра при любомλ имеет и притом единственное непрерывное решение.|An (x)(t) − An (y)(t)| 6 |λ|n · q n · ρ(x,y)§ 3. Линейные, нормированные и банаховыпространства3.1. Линейные пространстваЛинейные (или векторные) пространства над полем R действительных чисел и над полем C комплексных чисел опреде-40Г. Н. Яковлев.
Функциональные пространствалялись в линейной алгебре. Там же были определены и такие понятия, как подпространство линейного пространства,линейно зависимые и линейно независимые системы векторов,линейное отображение, изоморфизм линейных пространств ит.д. Для полноты изложения приведём некоторые из этих определений.Определение 1. Линейным или векторным пространством над полем действительных (комплексных) чисел называется множество L элементов x,y,z, . . . произвольной природы, для которых определены операции сложения двухэлементов и умножения элементов на действительные(комплексные) числа, т.е.1) каждой паре x,y элементов из L поставлен в соответствиенекоторый элемент из L, который называется суммой элементов x,y и обозначается x + y;2) каждому элементу x из L и каждому действительному (комплексному) числу α поставлен в соответствие некоторыйэлемент из L, который называется произведением элементаx на число α и обозначается αx;причём эти операции удовлетворяют следующим двум группам условий:I.
1) x + y = y + x (коммутативность сложения);2) x + (y + z) = (x + y) + z (ассоциативность сложения);3) существует элемент, называемый нулевым и обозначаемый 0, такой, чтоx + 0 = x ∀ x ∈ L;4)II. 5)6)7)∀ x ∈ L ∃ y ∈ L : x + y = 0;1x = x ∀ x ∈ L;α(βx) = (αβ)x (ассоциативность умножения);(α + β)x = αx + βx (дистрибутивность относительночислового множителя);§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства418) α(x + y) = αx + αy (дистрибутивность относительноэлементов пространства);Для данного элемента x ∈ L элемент y ∈ L, удовлетворяющий условию x + y = 0, называется противоположным элементу x и обозначается −x. Таким образом, по определениюx + (−x) = 0.Элемент x + (−y) называется разностью элементов x,y иобозначается x − y.Элементы линейного пространства обычно называют векторами, а операции сложения векторов и умножения векторана число — линейными операциями.Определение 2.
Линейное пространство L0 называетсяподпространством линейного пространства L, если L0 ⊂ L иоперации сложения векторов и умножения вектора на число вL0 определены так же, как и L.Из этого определения следует, что операции сложения элементов и умножения элемента на число, определенные в L, замкнуты в L0 , т.е. если x,y из L0 , то x + y тоже из L0 , и αx ∈ L0для любого числа α.Линейной комбинацией векторов x1 , .
. . ,xn называется любой вектор видаα1 x1 + . . . + an xn ,(1)где α1 , . . . ,αn — числовые множители.Линейная комбинация (1) называется нетривиальной, еслихотя бы один из коэффициентов α1 ,α2 , . . . ,αn отличен от нуля.Векторы x1 ,x2 , . . . ,xn называются линейно зависимыми,если существует нетривиальная линейная комбинация (1), равная нулю. Если же только тривиальная линейная комбинацияэтих векторов равна нулю, то векторы x1 ,x2 , . . . ,xn называются линейно независимыми.Определение 3. Произвольная система векторов линей-42Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваного пространства называется линейно независимой, если любая её конечная подсистема линейно независима.Определение 4. Линейное пространство называется nмерным, если в нём существуют n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов линейно зависимы. Линейноепространство называется бесконечномерным, если для любогоn ∈ N в нём существуют n линейно независимых векторов.Заметим, что в линейной алгебре изучаются в основномтолько конечномерные пространства. Бесконечномерные пространства являются предметом изучения математического илифункционального анализа.Напомним ещё некоторые понятия, относящиеся к линейным пространствам.Определение 5.
Пусть задана некоторая система элементов линейного пространства L. Совокупность всех линейныхкомбинаций этой системы называется её линейной оболочкой.Очевидно, линейная оболочка любой системы элементов линейного пространства L является подпространством этого пространства.Определение 6. Отображение f линейного пространстваX в линейное пространство Y называется линейным отображением (или линейным оператором), если для любых векторов x,y из X и любых чисел α,βf (αx + βy) = αf (x) + βf (y).Множество всех линейных операторов, отображающих Xв Y , обозначается L(X,Y ).
Легко видеть, что при обычномопределении сложения двух операторов и умножения операторана число, это множество является линейным пространством.Определение 7. Любое линейное взаимно однозначноеотображение линейного пространства X на линейное про-§ 3. Линейные, нормированные и банаховы пространства43странство Y называется изоморфизмом этих пространств. Вэтом случае пространства X, Y называются изоморфными.Изоморфные пространства могут отличаться лишь природой своих элементов, а не своими свойствами.
Поэтому при изучении свойств линейных пространств изоморфные пространства не различаются.3.2. Линейные нормированные пространстваВ линейном нормированном пространстве, как следует изсамого названия, кроме понятий линейного пространства, имеются ещё понятия, связанные с длиной (нормой) элементовэтого пространства.Определение 1. Линейное пространство X (над полемдействительных или комплексных чисел) называется нормированным, если на X определена функция kxk : x → R такая,что1) kxk > 0 ∀ x ∈ X;2) kαxk = |α| · kxk∀ x ∈ X,3) kx + yk 6 kxk + kyk∀ α ∈ R (или α ∈ C);∀ x,y ∈ X;4) kxk = 0 ⇒ x = 0.Эта функция называется нормой в пространстве X, а числоkxk — нормой элемента или вектора x.
Свойства 1)–4) называются аксиомами нормы. В частности, свойство 2) называется однородностью нормы. а свойство 3) — неравенствомтреугольника.Примерами линейных нормированных пространств являются линейное пространство Rn векторов x = (x1 , . . . ,xn ) снормойqkxk = x21 + . . .
+ x2n(1)nи линейное пространство C векторов z = (z1 , . . . ,zn ) с нормойpkzk = |z1 |2 + . . . + |zn |2 .44Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваПервое — над полем действительных чисел, а второе — надполем комплексных чисел.Очевидно, в линейном пространстве Cn (соответственно ив Rn ) нормой будет и функцияkzk = sup |zj |.(2)jДругим важным примером линейного пространства является пространство C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функций f с нормойkf k = max |f (x)|.(3)x∈[a;b]Очевидно, в линейном пространстве непрерывных на отрезке [a; b] функций f функцияZ bkf k1 =|f (x)| dx(4)aтоже удовлетворяет все аксиомам нормы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
