Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть множество G есть пересечение открытых множеств G1 , . . . ,Gn . Если G пусто, то оно открыто. Пусть x0 ∈ G. Тогда x0 ∈ Gj при любом j = 1,2, . . . ,n,а так как Gj открытые, то∀j∃ rj > 0 :Orj (x0 ) ⊂ Gj .Очевидно, Or (x0 ) ⊂ G, где r = min rj .jВторое утверждение следует из леммы 1.Лемма 3 доказана.1.2. Полные и неполные метрические пространстваКак и для точек на плоскости и в пространстве, последовательность {xn } точек метрического пространства {M ; ρ} называется фундаментальной (или последовательностью Коши),если она удовлетворяет условию:∀ ε > 0 ∃ Nε :∀ n,m > Nερ(xn ,xm ) < ε.(1)Это условие, как и раньше, будем называть условиемКоши.Очевидно, если последовательность {xn } точек метрического пространства M имеет предел в этом пространстве, т.е.если∃ x0 ∈ M :lim ρ(xn ,x0 ) = 0,(2)n→∞то эта последовательность удовлетворяет условию Коши.

Действительно, если выполнено условие (2), тоε∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n > Nε ρ(xn ,x0 ) < ,2и поэтому∀ n,m > Nε ρ(xn ,xm ) 6 ρ(xn ,x0 ) + ρ(x0 ,xm ) < ε.В общем случае обратное утверждение является неверным.Например, числовое множество1 11M = 1, , , . . . , , . . .(3)2 3n10Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствас естественной метрикой является метрическим пространством.

В нём последовательностьxn =1,nn ∈ N,(4)является фундаментальной, но не имеет предела в M . Легковидеть, что если к множеству (3) присоединить точку x0 = 0,то в новом метрическом пространстве последовательность (4)имеет предел. Более того, в этом пространстве любая фундаментальная последовательность имеет предел. (Докажите этоутверждение!)Определение 1.

Метрическое пространство называетсяполным, если любая фундаментальная последовательность еготочек имеет предел в этом пространстве. В противном случаеметрическое пространство называется неполным.Как мы уже знаем, пространство Rn является полным, апространство Qn является неполным. Приведём ещё несколькопримеров полных и неполных метрических пространств.Пример 1.

Пространство C([a; b]) непрерывных на отрезке[a; b] функций с метрикойρ(f,g) = sup |f (x) − g(x)|(5)x∈[a;b]является полным.Действительно, если последовательность функций fn (x),n ∈ N, фундаментальна относительно метрики (5), то прилюбом фиксированном x ∈ [a; b] числовая последовательность{fn (x)} является фундаментальной, и поэтому имеет предел (всилу полноты пространства R). Обозначим этот предел f (x).Очевидно fn (x) → f (x) при n → ∞ по метрике (5). Действительно, так как∀ ε > 0 ∃ Nε :∀ n,m > Nε|fn (x) − fm (x)| < εдля любого x ∈ [a; b].

Зафиксируем x и перейдём к пределу при§ 1. Метрические пространства11m → ∞, в пределе для любого n > Nε получим неравенство|fn (x) − f (x)| 6 ε∀ x ∈ [a; b].Следовательно, последовательность непрерывных на [a; b]функций fn (x) равномерно сходится к функции f (x). Ранеебыло доказано, что тогда функция f (x) тоже непрерывна на[a; b]. Полнота пространства C([a; b]) доказана.Пример 2. Пространство ограниченных на отрезке [a; b]функций с метрикой (5) является полным.Действительно, как и в примере 1, доказывается, что еслипоследовательность функций {fn (x)} фундаментальна относительно метрики (5), то она сходится к некоторой функции f (x),x ∈ [a; b], в метрике (5). Тогда∃ n1 : sup |fn1 (x) − f (x)| < 1,x∈[a;b]и поэтому для любого x ∈ [a; b]|f (x)| 6 |f (x) − fn1 (x)| + |fn1 (x)| 6 1 + sup |fn1 (x)| .x∈[a;b]Следовательно, функция f (x) ограничена, что и доказываетполноту рассматриваемого метрического пространства.Аналогично доказывается, что множество всех ограниченных числовых последовательностей с метрикойρ({ξ k },{η k }) = sup ξ k − η k (6)kявляется полным метрическим пространством.Пример 3.

Множество всех сходящихся последовательностей действительных чисел с метрикой (6) является полнымметрическим пространством.Пусть последовательность {xn } элементов этого пространства фундаментальна относительно метрики (6). Тогда еслиxn = {ξnk }, то kk∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n,m > Nε ξn − ξm < ε ∀ k.(7)12Г. Н. Яковлев.

Функциональные пространстваОтсюда следует, что при фиксированном k числовая последовательность {ξnk } сходится. Пустьlim ξ kn→∞ nТогда, переходя к пределулучаем:∀ n > Nεт.е.∀ n > Nε= ξk .при m → ∞ в неравенстве (7), по kkξ−ξ n 6 ε ∀ k,sup ξnk − ξ k 6 ε,kа это означает, что xn → x = {ξ k } при n → ∞.Осталось показать, что последовательность {ξ k } сходящаяся.Для любых k, p и n имеем:|ξ k − ξ k+p | 6 |ξ k − ξnk | + |ξnk − ξnk+p | ++ |ξnk+p − ξ k+p | 6 2ρ(x,xn ) + |ξnk − ξnk+p |.(8)Из того, что xn → x при n → ∞, следует, чтоε∀ ε > 0 ∃ nε : ρ(x,xn ) < ,3а из сходимости последовательности xnε = {ξnkε } следует, что∃ Kε : ∀ k > Kε , ∀ p ξnkε − ξnk+p < ε/3,εи поэтому∀ k > Kε , ∀ p kξ − ξ k+p < ε.Следовательно, последовательность x = {ξ k } сходящаяся.Рассмотрим ещё пример неполного метрического пространства.Пример 4.

В множестве функций, определённых и непрерывных на отрезке [a; b], введём метрику по формулеZ bρ(f ; g) =|f (x) − g(x)| dx.(9)aПокажем, что это метрическое пространство является неполным.§ 1. Метрические пространстваРассмотрим последовательность функцийih1,−1,еслиx∈−1;−nih1 1fn (x) = nx, если x ∈ − n ; n ,hi +1, если x ∈ 1 ; 1 .n13(10)Очевидно, для любых n и pZ 1|fn+p (x) − fn (x)| dx 6−1Z1Z1|fn+p (x) − sgn x| dx +6−1|sgn x − fn (x)| dx =−111+ ,n+p nи поэтому последовательность непрерывных функций (10) фундаментальна относительно метрики (9). Легко видеть, что вэтой метрике она сходится к разрывной функции f (x) = sgn x,x ∈ [−1; 1].

Покажем, что в множестве непрерывных функцийпредела нет.Предположим противное: пусть последовательность (10) вметрике (9) сходится к непрерывной функции g(x), x ∈ [−1; 1].ТогдаZ 1|f (x) − g(x)| dx = 0,=−1причём функция F (x) = f (x) − g(x) непрерывна во всех точкахотрезка [−1; 1], кроме точки x = 0. Следовательно, g(x) == f (x) для любого x 6= 0 из отрезка [−1; 1], что противоречитпредположению, что g(x) непрерывна на [−1; 1].Последнее утверждение является следствием следующейпростой леммы.Лемма. Если функция f (x) абсолютно интегрируема напромежутке ∆ иZ|f (x)| dx = 0,∆14Г. Н. Яковлев. Функциональные пространствато f (x) = 0 в любой точке x ∈ ∆, в которой функция f непрерывна.Действительно, если функция f непрерывна в точке x0 ∈∈ ∆ и f (x0 ) 6= 0, то существует окрестность O(x0 ) точки x0 , вкоторой |f (x)| > 0, и поэтому тогдаZZ|f (x)| dx >|f (x)| dx > 0.∆∆∩O(x0 )Другие примеры полных и неполных пространств будутрассмотрены в дальнейшем.

А сейчас для метрических пространств докажем одно обобщение теоремы о вложенных отрезках.Для любого множества E точек метрического пространства{M ; ρ} величинаsup ρ(x,y)x,y∈Eназывается диаметром множества E и обозначается d(E).Очевидно, множество E ограничено тогда и только тогда,когда d(E) < ∞.Определение 2. Последовательность {En } непустых множеств метрического пространства называется последовательностью Коши, еслиEn+1 ⊂ En∀ n,lim d(E) = 0.n→∞Теорема. В полном метрическом пространстве всякая последовательность Коши {Fn } замкнутых множеств имеет однуобщую точку.Д о к а з а т е л ь с т в о.

В каждом Fn выберем по точке xn .Легко видеть, что последовательность {xn } фундаментальная,а так как пространство полное, то она сходится к некоторойточке x0 этого пространства.Точка x0 является точкой прикосновения для любого множества Fn . В силу замкнутости Fn , точка x0 принадлежит§ 1. Метрические пространства15любому Fn . Существование общей точки доказано, единственность следует из того, что d(Fn ) → 0 при n → ∞.Теорема доказана.Сделаем ещё несколько замечаний о связи понятий полнотыи замкнутости.Если метрическое пространствоЗ а м е ч а н и е 1.{M ; ρ} полное, а множество X ⊂ M замкнуто, то метрическоепространство {X; ρ} полное.Действительно, любая фундаментальная последовательность точек xn ∈ X, n ∈ N, сходится к некоторой точке x0 ∈ M ,которая является точкой прикосновения множества X. А таккак X замкнуто, то x0 ∈ X.З а м е ч а н и е 2.

Пусть заданы метрическое пространство {M ; ρ} и некоторое множество X ⊂ M . Тогда если метрическое пространство {X; ρ} полное, то множество X замкнуто.Действительно, пусть x0 — точка прикосновения множества X ⊂ M . Тогда для каждого n ∈ N существует точкаxn ∈ X, лежащая в шаре O1/n (x0 ). Очевидно, последовательность {xn } сходится к точке x0 ∈ M , а так как пространство{X; ρ} полное, то x0 ∈ X.1.3. Теорема о пополнении метрических пространствМетрические пространства {M ; ρ} и {M 0 ; ρ0 } называютсяизометричными, если существует взаимно однозначное отображение f множества M на множество M 0 такое, что длялюбых x и y из M справедливо равенствоρ(x,y) = ρ0 (f (x),f (y)).Очевидно, изометричные пространства обладают одинаковыми свойствами (конечно, лишь теми свойствами, которыесвязаны только с метрикой), и, следовательно, при изученииметрических свойств изометричные пространства неразличимы. Поэтому если метрическое пространство {M ; ρ} изометрично некоторому подпространству метрического простран-16Г.

Н. Яковлев. Функциональные пространстваства {M ∗ ; ρ∗ }, то говорят, что метрическое пространство{M ; ρ} содержится в метрическом пространстве {M ∗ ; ρ∗ }.Определение 1. Множество M 0 элементов метрическогопространства M называется плотным в M , если его замыкание совпадает с M .Определение 2. Полное метрическое пространство M ∗ называется пополнением метрического пространства M , еслиM содержится в M ∗ и плотно в нём.Теорема. Любое метрическое пространство имеет пополнение.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть {M ; ρ} — заданное метрическое пространство.

Построим новое метрическое пространство{M ∗ ; ρ∗ }, которое содержит пространство {M ; ρ}.Последовательности {xn }, {yn } элементов из M , удовлетворяющих условиюlim ρ(xn ,yn ) = 0,n→∞будем называть эквивалентными и писать {xn } ∼ {yn }. Очевидно, если {xn } ∼ {yn }, а {yn } ∼ {zn }, то {xn } ∼ {zn }, и поэтому множество всех последовательностей в M распадаетсяна непересекающиеся классы эквивалентных последовательностей. Нас будут интересовать только фундаментальные последовательности.Итак, в пространстве {M ; ρ} рассмотрим множество всехфундаментальных последовательностей, и через M ∗ обозначим множество всех классов эквивалентных фундаментальныхпоследовательностей. Если фундаментальная последовательность {xn } принадлежит классу x∗ , то, как обычно, будем писать {xn } ∈ x∗ . В множестве M ∗ определим метрику.

Очевидно,ρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,xm ) + ρ(xm ,ym ) + ρ(ym ,yn )§ 1. Метрические пространства17для любых n и m, и поэтому|ρ(xn ,yn ) − ρ(xm ,ym )| 6 ρ(xn ,xm ) + ρ(ym ,yn ).Отсюда следует, что если последовательности {xn } и {yn } фундаментальные, то числовая последовательность ρ(xn ,yn ), n ∈∈ N, — тоже фундаментальная и, следовательно, имеет предел.Тогда если {xn } ∈ x∗ , {yn } ∈ y ∗ , то расстояние между x∗ и y ∗определим по формулеρ(x∗ ,y ∗ ) = lim ρ(xn ,yn ).n→∞Прежде всего покажем, что это определение не зависит отвыбора последовательностей из классов x∗ и y ∗ .Пусть {x0n } ∈ x∗ и {yn0 } ∈ y ∗ . Тогда для любого n ∈ Nρ(x0n ,yn0 ) 6 ρ(x0n ,xn ) + ρ(xn ,yn ) + ρ(yn ,yn0 ),ρ(xn ,yn ) 6 ρ(xn ,x0n ) + ρ(x0n ,yn0 ) + ρ(yn0 ,yn ),и поэтому|ρ(x0n ,yn0 ) − ρ(xn ,yn )| 6 ρ(xn ,x0n ) + ρ(yn ,yn0 ).Отсюда следует, чтоlim ρ(x0n ,yn0 ) = lim ρ(xn ,yn ).n→∞ρ(x∗ ,y ∗ )n→∞Функцияудовлетворяет всем аксиомам метрики.∗Действительно, ρ(x ,y ∗ ) > 0 и ρ(x∗ ,y ∗ ) = ρ(y ∗ ,x∗ ) для любыхx∗ и y ∗ из M ∗ .

Характеристики

Список файлов книги