Функциональный пространства - Яковлев (1187984)
Текст из файла
Г. Н. ЯковлевФункциональные пространстваУДК 517Я47Пособие содержит краткое введение в теорию метрических, нормированных и евклидовых пространств, а также в теорию обобщённых функций, и является заключительной частью «Лекций по математическому анализу», изданных ранее.Предназначено для студентов второго курса МФТИ.c2000,Г.Н. Яковлев,c2000,Московский физико-технический институт (государственный университет)§ 1.
Метрические пространства3§ 1. Метрические пространства1.1. Определения и примерыМногие важные понятия и утверждения математическогоанализа, в частности, связанные с пределами и непрерывностью, опираются на понятие расстояния. Причём сами определения этих понятий, а также формулировки и доказательствасоответствующих утверждений во многих случаях не зависятот конкретного способа задания расстояния.
В них используются лишь основные свойства расстояния: неотрицательность,симметрия и неравенство треугольника. Формализация этихсвойств расстояния приводит к понятию метрического пространства.Определение 1. Говорят, что на множестве M задана метрика, если на прямом произведении M × M задана функцияρ : M × M → R,обладающая свойствами:1) ρ(x,y) > 0∀ x,y ∈ M ;2) ρ(x,y) = ρ(y,x) ∀ x,y ∈ M ;3) ρ(x,y) 6 ρ(x,z) + ρ(z,y) ∀ x,y,z ∈ M ;4) ρ(x,y) = 0 ⇔ x = y∀ x,y ∈ M .Эти свойства называются аксиомами метрики (или расстояния).
В частности, свойство 3 называется неравенствомтреугольника.Определение 2. Множество, на котором задана некоторая метрика, называется метрическим пространством. Элементы метрического пространства называются точками.Метрическое пространство, точками которого являютсяэлементы множества M и на котором задана метрика ρ, будем обозначать {M ; ρ}. Заметим, что на одном и том же множестве можно задавать разные метрики, в результате получа-4Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваются разные метрические пространства.
И наоборот, на разных множествах метрика может быть задана по одному и томуже правилу.Примером метрического пространства является n-мерноеевклидово пространство Rn , элементами (точками) которогоявляются всевозможные упорядоченные совокупности из n действительных чисел и в котором расстояние между любымидвумя точками x = (x1 , . . . ,xn ) и y = (y1 , . . . ,yn ) определенопо формуле1/2nXρ(x,y) = |yj − xj |2 .(1)j=1Известно (см.
§ 1 гл. 6), что функция (1) удовлетворяет всемаксиомам метрики.Легко видеть, что функцииρ0 (x,y) = max |yj − xj |,ρ1 (x,y) =jnX|yj − xj |(2)(3)j=1тоже удовлетворяют всем аксиомам метрики.Другим примером метрического пространства являетсяпространство Cn , элементами которого являются всевозможные упорядоченные совокупности из n комплексных чисел и вкотором метрика определена по формуле (1). Очевидно, чтофункции (2) и (3) на Cn тоже удовлетворяют всем аксиомамметрики.Определение 3. Пусть задано метрическое пространство{M ; ρ} и некоторое подмножество M1 множества M .
Тогдаметрическое пространство {M1 ; ρ} называется подпространством метрического пространства {M ; ρ}.Заметим, что в этом определении нет никаких ограниченийна множество M1 ⊂ M . В частности, оно может содержать§ 1. Метрические пространства5лишь конечное число точек и даже только одну точку множества M .В тех случаях, когда не возникает неясностей, метрическоепространство {M ; ρ} обозначают просто M .
В этом смыслеговорят, что любое подмножество метрического пространстваявляется метрическим пространством (с той же метрикой).Очевидно, метрическое пространство Rn является подпространством метрического пространства Cn , в котором метрикаопределена по формуле (1). А пространство Qn , элементамикоторого являются всевозможные упорядоченные совокупности из n рациональных точек и в котором метрика определенапо формуле (1), является подпространством пространства Rn .Аналогичные утверждения справедливы и в том случае, когдаметрика определена по формулам (2) или (3).В метрическом пространстве естественным образом определяются ε-окрестность точки, предел последовательности, предельная точка множества, открытое множество и т.д. Приведём для примера некоторые определения.Определение 4.
Для любой точки x0 метрического пространства {M ; ρ} и любого ε > 0 множество всех точек x ∈∈ M , удовлетворяющих неравенству ρ(x,x0 ) < ε, называетсяε-окрестностью точки x0 и обозначается Oε (x0 ).Для любого r > 0 множество Or (x0 ) называют ещё открытым шаром радиуса r с центром в точке x0 .Определение 5.
Точка x0 метрического пространства Mназывается пределом последовательности {xn } точек из M ,если∀ ε > 0 ∃ Nε : ∀ n > Nε xn ∈ Oε (x0 ).(4)Очевидно, условие (4) равносильно условиюlim ρ(xn ,x0 ) = 0.n→∞(5)Если выполнено условие (4) (или (5)), то будем говорить,6Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространствачто последовательность {xn } сходится к точке x0 , и писать:xn → x0при n → ∞ илиlim xn = x0 .n→∞Последовательность точек метрического пространства может сходиться только к одной точке. Действительно, еслиxn → x и xn → y при n → ∞, тоρ(x,y) 6 ρ(x,xn ) + ρ(xn ,y) → 0при n → ∞, поэтому ρ(x,y) = 0, и, следовательно, x = y.Определение 6. Множество X ⊂ M называется ограниченным, если существует точка x0 ∈ M и число r > 0 такое,что X ⊂ Or (x0 ).Очевидно, если последовательность {xn } точек метрического пространства {M ; ρ} сходится к точке x0 ∈ M , то этапоследовательность ограничена.Действительно, так как ρ(xn ,x0 ) → 0 при n → ∞, то∃C :ρ(xn ,x0 ) 6 C∀ n.Определение 7.
Пусть G — множество точек метрического пространства {M ; ρ}. Точка x0 ∈ M называется точкой прикосновения множества G ⊂ M , если в любой εокрестности точки x0 содержится хотя бы одна точка множества G.Множество всех точек прикосновения множества G⊂M называется замыканием множества G и обозначается G.Множество называется замкнутым, если оно совпадает сосвоим замыканием.Множество всех точек ε-окрестности точки x0 , отличныхот x0 , называется проколотой ε-окрестностью точки x0 и◦обозначается O ε (x0 ).Точка x0 ∈ M называется предельной точкой множестваG ⊂ M , если в любой проколотой ε-окрестности точки x0 содержится хотя бы одна точка множества G.§ 1.
Метрические пространства7Очевидно, замыкание множества G получается присоединением к G всех его предельных точек.Определение 8. Точка x0 ∈ M называется граничнойточкой множества G ⊂ M , если в любой ε-окрестности точкиx0 имеется хотя бы по одной точке как из G, так и из M \G.Множество всех граничных точек множества G называетсяграницей множества G и обозначается ∂G.Как обычно доказывается, что граница любого множестваG ⊂ M является замкнутым множеством.Легко видеть, что для любого множества G ⊂ M справедливо равенствоG = G ∪ ∂G.Определение 9. Точка x0 множества G ⊂ M называетсявнутренней, если существует такое δ > 0, что Oδ (x0 ) ⊂ G.Множество G называется открытым, если все его точки внутренние.Очевидно, множество всех точек метрического пространства является одновременно открытым и замкнутым.
По определению считают, что пустое множество тоже одновременнооткрытое и замкнутое.Для примера рассмотрим метрическое пространство точекнекоторого числового промежутка ∆ с естественной метрикой.В этом пространстве множество ∆ является одновременно иоткрытым, и замкнутым. В частности, если, например, ∆ == (−1; 2), то множество точек интервала (0; 1) открыто, его замыкание равно отрезку [0; 1]. Множество (0; 2) тоже открыто,но его замыкание равно промежутку [0; 2).В конце приведём несколько свойств открытых и замкнутых множеств метрического пространства.Лемма 1. Множество G ⊂ M открыто тогда и толькотогда, когда множество F = M \G замкнуто.8Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваД о к а з а т е л ь с т в о. Пусть G открыто, и пусть x0 ∈ G.Тогда∃ δ > 0 : Oδ (x0 ) ⊂ G,и поэтому точка x0 ∈ G не может быть точкой прикосновениямножества F = M \G. Следовательно, любая точка прикосновения множества F принадлежит F , т.е. F замкнуто.Пусть теперь множество F = M \ G замкнуто, и пусть x0 ∈∈ G. Тогда точка x0 не может быть предельной точкой для F ,поэтому∃ δ > 0 : ∀ x ∈ Oδ (x0 ) x 6∈ F,и, следовательно, Oδ (x0 ) ⊂ G.Лемма 1 доказана.Лемма 2. Объединение любой совокупности открытыхмножеств есть открытое множество. Пересечение любой совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть задана некоторая совокупность (конечная или бесконечная)открытых множеств Gα ⊂S⊂ M . Тогда если x0 ∈ G = α Gα , то ∃ α : x ∈ Gα . А так какGα открыто, то∃δ > 0 :Oδ (x0 ) ⊂ Gα ,и поэтому Oδ (x0 ) ⊂ G. Следовательно, множество G открытое.Второе утверждение следует из леммы 1. Действительно,пусть заданаT совокупность замкнутых множеств Fα ⊂ M , ипусть F = α Fα .TМножества Gα = M \Fα и G = α Gα открытые. А так какF = M \G, то множество F замкнутое.Лемма 2 доказана.Лемма 3. Пересечение любой конечной совокупности открытых множеств есть открытое множество. Объединение любой конечной совокупности замкнутых множеств есть замкнутое множество.§ 1. Метрические пространства9Д о к а з а т е л ь с т в о.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
