Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Если отображение f : X → Y непрерывно вточке x0 ∈ X, а отображение g : Y → Z непрерывно в точкеy0 = f (x0 ), то их композиция, заданная формулой z = g(f (x)),непрерывна в точке x0 .Определение 3. Отображение f : X → Y называется непрерывным отображением пространства X в пространствоY , если оно непрерывно в каждой точке x ∈ X.Теорема 2. Отображение f метрического пространства Xв метрическое пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого множества является открытым множеством.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть отображение f непрерывно,и пусть G — некоторое открытое множество точек пространства Y . Тогда если x0 ∈ f −1 (G), то G является окрестностью точки y0 = f (x0 ). Согласно определению непрерывности(см. (2)), существует O(x0 ) такая, что f (O(x0 )) ⊂ G, и, следовательно, O(x0 ) ⊂ f −1 (G). Таким образом, каждая точка§ 2. Отображения метрических пространств31множества f −1 (G) содержится в нём с некоторой своей окрестностью, т.е. множество f −1 (G) открытое.Пусть теперь отображение F такое, что если G открытое,то f −1 (G) тоже открытое.
Тогда для любой точки x0 ∈ X выполняется условие: для любой окрестности O(y0 ) точки y0 == f (x0 ) множество U = f −1 (O(y0 )) открытое, а так как x0 ∈∈ U , то U — окрестность точки x0 . Таким образом, для любойокрестности O(y0 ) точки y0 существует окрестность U точкиx0 такая, что f (U ) = O(y0 ). А это и означает, что f непрерывно в точке x0 .Теорема 2 доказана.Следствие. Отображение f метрического пространстваX в метрическое пространство Y непрерывно тогда и толькотогда, когда прообраз любого замкнутого множества являетсязамкнутым множеством.Это утверждение является очевидным следствием теоремы2, так как открытые и замкнутые множества являются взаимно дополнительными, и, кроме того, прообраз дополненияявляется дополнением прообраза.2.2. Непрерывные отображения компактовПусть, как и в предыдущем пункте, заданы два метрических пространства {X; ρX } и {Y ; ρY } и некоторое отображениеf пространства X в пространство Y .Теорема 1.
Пусть отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y непрерывно. Тогдаесли пространство X компактное, то множество f (X) тожекомпактное.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Yα , α ∈ A, — некоторое открытое покрытие множества f (X) в пространстве Y .
Из теоремы 2 предыдущего пункта следует, что множества Xα == f −1 (Yα ), покрывающие X, открытые. Так как X компактное, то существует конечная совокупность этих множеств, ко-32Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваторая покрывает X.
Тогда образы множеств этого конечногопокрытия покрывают множество f (X).Теорема 1 доказана.Эту теорему коротко формулируют так: непрерывныйобраз компакта есть компакт.Это утверждение является обобщением теоремы из пункта4.2 главы 6, доказанной для непрерывных отображений из Rnв Rm .Определение 1. Отображение f метрического пространства {X; ρX } в метрическое пространство {Y ; ρY } называетсяравномерно непрерывным, если выполняется условие:∀ε > 0∃δ > 0 :∀ x,x0 ∈ X :ρX (x,x0 ) < δ ⇒⇒ ρY (f (x),f (x0 )) < ε.Теорема 2.
Непрерывное отображение компакта равномерно непрерывно.Доказательство этой теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы 4 из пункта 4.5 главы 6.Определение 2. Отображение одного метрического пространства на другое называется гомеоморфизмом этих пространств, если оно непрерывно, взаимно однозначно, и обратное отображение тоже непрерывно.Теорема 3. Пусть отображение f метрического пространства X в метрическое пространство Y непрерывно и взаимнооднозначно. Тогда если пространство X компактное, то обратное отображение непрерывно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как компактное множествовсегда замкнуто, а замкнутое множество компакта компактно,то из теоремы 1 следует, что при непрерывном отображениикомпакта образ любого замкнутого множества замкнут.
Такимобразом, для любого замкнутого множества F ⊂ X множество§ 2. Отображения метрических пространств33f (F ) замкнуто. Для обратного отображения f −1 множествоf (F ) является прообразом множества F . Следовательно, приотображении f −1 прообраз каждого замкнутого множества Fявляется замкнутым, и поэтому (см. следствие из п.2.1) отображение f −1 непрерывно.Теорема 3 доказана.Определение 3. Отображение f метрического пространства X в множество R действительных чисел называется функционалом.Теорема 4. Если функционал f определён и непрерывен накомпактном метрическом пространстве X, то он на X ограничен и принимает наименьшее и наибольшее значения.Действительно, образом компакта X является компактf (X) ⊂ R. Он является ограниченным и замкнутым и, в частности, содержит наибольшее и наименьшее значения.2.3.
Непрерывные отображения связных множествНапомним, что для множеств точек пространства Rn ужебыло введено понятие связности. Именно, множество X называется несвязным, если существуют два непересекающихсяоткрытых множества G1 и G2 , каждое из которых пересекается с множеством X и объединение которых содержит X. Впротивном случае множество X называется связным. Так жеопределяются связные и несвязные множества точек любогометрического пространства {M ; ρ}. В частности, метрическоепространство {M ; ρ} называется связным, если множество Mсвязно.Заметим, что в метрическом пространстве {M ; ρ} множество M всегда открытое и замкнутое.
Поэтому если множества G1 и G2 открытые, то множества M1 = G1 ∩ M , M2 == G2 ∩ M тоже открытые.Это замечание позволяет для метрических пространствследующим образом определить понятие связности.34Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваОпределение 1. Метрическое пространство {M ; ρ} называется связным, если множество M нельзя представить в видеобъединения двух непустых непересекающихся открытых множеств M1 и M2 .Теорема 1. Пусть отображение f метрического пространства X на метрическое пространство Y непрерывно. Тогдаесли пространство X связно, то пространство Y тоже связно.Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем доказывать методом от противного.
Пусть пространство Y не является связным. Тогдамножество Y можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств Y1 и Y2 . Принепрерывном отображении f их прообразы X1 и X2 непустые,открытые и непересекающиеся, причём X = X1 ∪ X2 . Однакоэто противоречит тому, что множество X связное.Теорема доказана.Коротко её формулируют так:Непрерывный образ связного множества является связным множеством.Легко видеть, что это утверждение является обобщениемтеоремы Коши о промежуточных значениях для числовыхфункций. Обобщением утверждения о том, что непрерывнаячисловая функция отрезок отображает в отрезок, является следующая теорема.Теорема 2.
Непрерывный образ связного компакта естьсвязный компакт.Это утверждение следует из предыдущей теоремы и теоремы 1 предыдущего пункта.Непустой связный компакт иногда называют континуумом. Тогда теорему 2 формулируют следующим образом:Непрерывный образ континуума есть континуум.§ 2. Отображения метрических пространств352.4. Сжимающие отображения и неподвижные точкиСмысл понятий “сжимающее отображение” и “неподвижная точка” по существу содержится в самих их названиях.Определение 1.
Отображение метрического пространства{X; ρ} в себя называется сжимающим, если∃ q ∈ (0; 1) :∀ x,y ∈ Xρ(f (x),f (y)) 6 qρ(x,y).(1)Из условия (1) видно, что сжимающее отображение f : X →→ X непрерывно, и, более того, оно равномерно непрерывно наX.Определение 2. Точка x ∈ X называется неподвижнойточкой отображения f : X → X, если f (x) = x.Теорема 1. Сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет и притом единственную неподвижную точку.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f : X → Xудовлетворяет условию (1). Выберем некоторую точку x0 ∈∈ X и по рекуррентной формулеxn = f (xn−1 ),n ∈ N,(2)построим последовательность {xn }.
Она является фундаментальной. Действительно,ρ(xn+1 ,xn ) = ρ(f (xn ),f (xn−1 )) 6 qρ(xn ,xn−1 )и, следовательно,ρ(xn+1 ,xn ) 6 q n ρ(x1 ,x0 ) ∀n ∈ N.Поэтомуρ(xn ,xn+p ) 6 ρ(xn ,xn+1 ) + ρ(xn+1 ,xn+2 ) + . . . ++ρ(xn+p−1 ,xn+p ) 6 (q n + q n+1 + . . . + q n+p−1 )ρ(x1 ,x0 ).36Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространстваОтсюда по формуле для суммы геометрической прогрессииследует, чтоqρ(xn ,xn+p ) 6ρ(x0 ,x1 )(3)1−qдля любого n и любого p, что и доказывает, что последовательность {xn } фундаментальная. А так как пространство Xполное, то существует точка a ∈ X, к которой эта последовательность сходится. Тогда из равенства (2) в пределе приn → ∞ следует, что a = f (a), т.е. точка a ∈ X являетсянеподвижной точкой отображения f . Докажем, что эта неподвижная точка единственная.Пусть существует точка b ∈ X такая, что f (b) = b. Тогдаρ(a; b) = ρ(f (a),f (b)) 6 qρ(a; b),а так как q < 1, то ρ(a; b) = 0, и, следовательно, a = b.Теорема доказана.Эта теорема называется принципом сжимающих отображений.
Сделаем несколько замечаний к этой теореме.Построение последовательности {xn } с помощью рекуррентной формулы (2) и исследование её сходимости обычноназывают методом последовательных приближений.Из доказанной теоремы следует, что если метрическое пространство X полное, а отображение f : X → X сжимающее, тоуравнение f (x) = x имеет единственное решение, которое является пределом последовательных приближений (2) при любомначальном приближении x0 .Из неравенства (3) в пределе при p → ∞ получаем неравенствоqnρ(xn ,a) 6ρ(x0 ,f (x0 )),1−qкоторое даёт оценку близости приближения xn к решению a вметрике рассматриваемого пространства.Принцип сжимающих отображений позволяет единым методом доказывать теоремы о существовании и единственностирешений дифференциальных, интегральных и других уравне-§ 2.
Отображения метрических пространств37ний. С его помощью можно не только доказывать существование и единственность решения уравнения f (x) = x, но инаходить его с любой степенью точности относительно рассматриваемой метрики.Принцип сжимающих отображений является простейшимиз так называемых принципов неподвижной точки.В качестве простейшего примера применения принципасжимающих отображений рассмотрим решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций.Пусть Mn — метрическое пространство, точками которогоявляются точки арифметического n-мерного пространства Rn ,а метрика введена по формулеρ(x,y) = max |ξi − ηi |,iгде x = (ξ1 ,ξ2 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
