Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Тогда, очевидно, множество M содержит бесконечноечисло точек. Построим последовательность {xn } следующимобразом.Выберем некоторую точку x1 ∈ M . По предположению, онане образует ε-сети для M , поэтому существует точка x2 ∈ M§ 1. Метрические пространства25такая, что ρ(x1 ,x2 ) > ε. Точки x1 , x2 тоже не образуют ε-сетидля X, и поэтому существует точка x3 такая, что ρ(x3 ,xj ) > ε,j = 1,2.
Точки x1 ,x2 ,x3 выбраны так, что для любого i 6= j,где i,j = 1,2,3, справедливо неравенствоρ(xi ,xj ) > ε.(1)Пусть в множестве X выбраны точки x1 ,x2 , . . . ,xn так, чтодля любых i 6= j, где i,j = 1,2, . . . ,n, справедливо неравенство (1). Так как эти точки не образуют ε-сети для X, тосуществует точка xn+1 ∈ X такая, чтоρ(xn+1 ,xi ) > ε∀ i = 1,2, . . . ,n.Таким образом, по индукции, строится последовательность{xn }, для которой справедливо условие:ρ(xi ,xj ) > ε∀ i 6= j.Очевидно, эта последовательность не является фундаментальной.Теорема 3 доказана.В учебной и научной литературе компактные множества(в нашем определении) иногда называют бикомпактами, акомпактами называют множества, у которых любая последовательность их точек содержит сходящуюся подпоследовательность.
Теорема 3 утверждает, что для метрических пространств эти понятия совпадают.Множество метрического пространства будем называтьпредкомпактом, если его замыкание компактно. Из критериякомпактности следует, что множество точек полного метрического пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.В учебной и научной литературе предкомпактные множества иногда называются компактными, а компактные — бикомпактными.26Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространства1.5. Критерий Арцела компактности множествв пространстве непрерывных функцийВ этом пункте укажем необходимые и достаточные условияпредкомпактности семейства функций в пространстве непрерывных функций C[a; b], но прежде сформулируем несколькоопределений.Определение 1. Семейство S функций f , определённых инепрерывных на отрезке [a; b], называется равномерно ограниченным, если∃c :∀f ∈ Smax |f (x)| 6 c.(1)x∈[a;b]Определение 2. Семейство S функций f , определённых инепрерывных на отрезке [a; b], называется равностепенно непрерывным, если∀ε > 0∃δ > 0 :∀ f ∈ S, ∀ x,x0 ∈ [a; b] :|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε.(2)Теорема. Семейство S функций f , определённых и непрерывных на отрезке [a; b], предкомпактно в пространстве C[a; b]тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть семейство S предкомпактно.Согласно определению, это означает, что S компактно. Поэтому множество S, а следовательно, и множество S в пространстве C[a; b] не только ограничено, но и вполне ограничено.Ограниченность семейства S в пространстве C[a; b] означает, что это семейство функций равномерно ограничено наотрезке [a; b].Вполне ограниченность семейства S в пространстве C[a; b]означает, что для любого ε > 0 в C[a; b] для S существуетконечная ε-сеть.§ 1.
Метрические пространства27Пусть для выбранного ε > 0 ε-сеть состоит из функцийf1 (x), . . . ,fN (x).Каждая функция fj (x) равномерно непрерывна на [a; b]. Поэтому∃δ > 0 :∀ j, ∀ x1 ,x2 ∈ [a; b] :|x2 − x1 | < δ ⇒⇒ |fj (x2 ) − fj (x1 )| < ε.Пусть теперь f ∈ S. В силу определения ε-сети∃j :max |f (x) − fj (x)| < ε.xПоэтому если |x1 − x2 | < δ, то|f (x1 ) − f (x2 )| 6 |f (x1 ) − fj (x1 )|++ |fj (x1 ) − fj (x2 )| + |fj (x2 ) − f (x2 )| << 3ε.И так как это выполняется для любой f ∈ S, то мы доказали, что семейство S равностепенно непрерывно.Докажем обратное утверждение: если семейство S равномерно ограничено и равностепенно непрерывно, то оно предкомпактно. А так как пространство C[a; b] полное, то достаточно доказать, что семейство S вполне ограничено в пространстве функций, определённых и ограниченных на отрезке[a; b].Итак, пусть семейство S функций f ∈ C[a; b] удовлетворяетусловиям (1) и (2).
Зададим некоторое ε > 0. Для этого ε > 0на отрезке [a; b] выберем точки x1 ,x2 , . . . ,xn так, чтобыa = x0 < x1 < . . . < xn = b,xi − xi−1 < δ∀ i,а на отрезке [−c; c] — точки y0 ,y1 , . . . ,ym так, чтобы−c = y0 < y1 < . . . < ym = c,yj − yj−1 < ε ∀ j.Через A обозначим множество всех непрерывных на [a; b] функций, графиками которых являются ломаные с вершинами в28Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваточках (xi ,yi ).
Очевидно, множество A состоит из конечногочисла функций.Выберем теперь некоторую функцию f ∈ S. Для каждогоxi через (xi ,yji ) обозначим точку вида (xi ,yj ), ближайшую кточке (xi ,f (xi )). Очевидно,|f (xi ) − yji | < ε.Через ϕ обозначим непрерывную функцию, графиком которой является ломаная с вершинами в точках(x0 ,y0 ), (x1 ,yj1 ), . . . , (xn ,yjn ).Очевидно, для любого i имеем:|ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 )| 6 |ϕ(xi ) − f (xi )| + |f (xi ) − f (xi−1 )|++ |f (xi−1 ) − ϕ(xi−1 )| < 3ε.Кроме того, для любого x ∈ [xi−1 ; xi ]|ϕ(x) − ϕ(xi−1 )| 6 |ϕ(xi ) − ϕ(xi−1 )| < 3ε.Для оценки ρ(f,ϕ) в пространстве C[a; b] заметим, что каждая точка x ∈ [a; b] содержится в некотором отрезке [xi−1 ; xi ],и поэтому|f (x) − ϕ(x)| 6 |f (x) − f (xi−1 )| + |f (xi−1 ) − ϕ(xi−1 )|++ |ϕ(xi−1 ) − ϕ(x)| < ε + ε + 3ε = 5ε.Следовательно, ρ(f,ϕ) < 5ε.Так как здесь ε может быть любым положительным числом, то тем самым доказано, что множество S вполне ограничено.Теорема доказана.Эта теорема называется критерием Арцела компактностисемейства непрерывных функций.§ 2.
Отображения метрических пространств29§ 2. Отображения метрических пространств2.1. Непрерывные отображенияПусть заданы два метрических пространства {X; ρX },{Y ; ρY } и некоторое множество G ⊂ X. Тогда если заданоправило f , по которому каждой точке x ∈ G ставится в соответствие некоторая точка y ∈ Y , то говорят, что задано отображение множества G метрического пространства X в метрическое пространство Y .Так как множество G ⊂ X с метрикой ρX является метрическим пространством, то, не ограничивая общности, можносчитать, что G = X.
Поэтому в дальнейшем будем рассматривать отображения метрических пространств.Как обычно, если задано отображение f : X → Y , то точкаy ∈ Y , которая ставится в соответствие точке x ∈ X, называется образом точки x при отображении f и обозначаетсяf (x), а любая точка x ∈ X, которой в соответствие ставитсяточка y ∈ Y , называется прообразом точки y. Множество всехпрообразов точки y ∈ Y называется полным прообразом точкиy и обозначается f −1 (y).Для любого множества A ⊂ X множество всех y = f (x), x ∈∈ A, называется образом множества G и обозначается f (A).Для любого множества B ⊂ Y множество всех x ∈ X таких,что f (x) ⊂ B, называется полным прообразом (или простопрообразом) множества B и обозначается f −1 (B).Определение 1. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если∀ε > 0 ∃δ > 0 :∀ x ∈ Oδ (x0 ), f (x) ∈ Oε (y0 ),(1)где y0 = f (x0 ).Условие (1) можно записать в равносильной форме, используя вместо ε-δ-окрестностей произвольные окрестности.Напомним, что любое открытое множество, содержащееточку x0 , называется окрестностью точки x0 и обозначается30Г.
Н. Яковлев. Функциональные пространстваO(x0 ). Легко видеть, что условие (1) равносильно условию:∀ O(y0 ) ∃ O(x0 ) :f (O(x0 )) ⊂ O(y0 ).(2)Как и для числовых функций, определение непрерывности отображения можно сформулировать с помощью последовательностей.Определение 2. Отображение f : X → Y называется непрерывным в точке x0 ∈ X, если для любой последовательности {xn } точек из X, сходящейся к x0 , последовательностьточек yn = f (xn ), n ∈ N, сходится к y0 = f (x0 ).Доказательство эквивалентности определений 1 и 2 аналогично случаю числовых функций.В качестве упражнения предлагается доказать теорему онепрерывности композиции непрерывных отображений.Теорема 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
