Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Яковлев. Функциональные пространстваТеорема 1. Во всяком сепарабельном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку пространство E сепарабельное, то в нём существует полная линейно независимая система, состоящая из счётного числа элементов:x1 ,x2 , .

. . ,xn , . . .Из этой системы процессом ортогонализации получим ортонормированную системуe1 ,e2 , . . . ,en .Очевидно, она тоже будет полной в пространстве E, и поэтомулюбой элемент x ∈ E разлагается в ряд Фурье по этой системе.Теорема 1 доказана.Теорема 2. Любое сепарабельное бесконечномерное гильбертово пространство H изоморфно пространству l2 числовыхпоследовательностей.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Согласно теореме 1, в H существует ортонормированный базис e1 ,e2 , . . . ,en , . . . . Тогда каждому элементу x ∈ H поставим в соответствие последовательность {ak } его коэффициентов Фурье по этой системе.Очевидно, {ak } ∈ l2 .Из теоремы 3 предыдущего пункта следует, что если {ak } ∈∈ l2 , то ak , k ∈ N являются коэффициентами Фурье некоторогоэлемента из H.Следовательно, между элементами пространств H и l2можно установить взаимно однозначное соответствие. Очевидно, если x ∼ {ak }, y ∼ {bk }, то x+y ∼ {ak +bk } и αx ∼ {αsk }для любого числа α.

Кроме того,kxk =∞Xk=12|ak | ,kyk =∞Xk=1|bk |2 ,§ 5. Пространства со скалярным произведением93а из непрерывности скалярного произведения следует, что(x,y) =∞Xak bk .k=1Теорема 2 доказана.Очевидно, пространство l2 является сепарабельным, поэтому из теоремы 2 получаем следующее утверждение.Теорема 3. Все сепарабельные бесконечномерные гильбертовы пространства изоморфны между собой.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть H и H 0 — два сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространства. Согласнотеореме 1, в H и H 0 существуют ортонормированные базисы∞Pak ek поставим в{ek } и {e0k }. Тогда каждому элементу x =соответствие элементx0=∞Pk=1k=1ak e0k .Легко видеть, что это со-ответствие является изоморфизмом гильбертовых пространствH и H 0.Теорема 3 доказана.Из доказанных теорем следует, что если ортонормированная последовательность {ek } является базисом в евклидовомпространстве E, то его пополнением является гильбертово пространство, элементами которого являются всевозможные ряды∞Pak ek , у которых {ak } ∈ l2 , и в котором скалярное произвеk=1дение определяется следующим образом: еслиx=∞Xak ek ,y=k=1k=1то(x,y) =∞X∞Xk=1ak bk .bk ek ,94Г.

Н. Яковлев. Функциональные пространства5.6. Ортогональные проекцииПусть L — некоторое линейное подпространство евклидовапространства E.Определение 1. Элемент y0 ∈ L называется ортогональной проекцией элемента x0 ∈ E в подпространство L, если(x0 − y0 ,y) = 0∀ y ∈ L.(1)Очевидно, любой элемент x ∈ E может иметь толькоодну проекцию на данное подпространство L.

Действительно,пусть(x − y1 ,y) = 0, (x − y2 ,y) = 0 ∀ y.Тогдаky1 − y2 k2 = (y1 − y2 ,y1 − x + x − y2 ) = 0и, следовательно, y1 = y2 .Теорема 1. Для того чтобы элемент y0 ∈ L был ортогональной проекцией элемента x0 ∈ E в подпространство L,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условиеkx0 − y0 k = inf kx0 − yk.y∈L(2)Д о к а з а т е л ь с т в о. Если y0 удовлетворяет условию(1), то, очевидно,kx0 − yk2 = ((x0 − y0 ) + (y0 − y),(x0 − y0 ) + (y0 − y)) == kx0 − y0 k2 + ky0 − yk2для любого y ∈ L, и поэтому выполняется условие (2).Пусть теперь выполняется условие (2).

Рассмотрим числовую функциюf (t) = kx0 − y0 + tyk2 , t ∈ R,где y — произвольный элемент подпространства L.Если пространство E действительное, тоf (t) = kx0 − y0 k2 + 2t(x0 − y0 ,y) + t2 kyk2 .§ 5. Пространства со скалярным произведением95А так как эта функция наименьшее значение принимает приt = 0, то f 0 (0) = 0, и поэтому(x0 − y0 ,y) = 0∀ y ∈ L.Если же пространство E комплексное, тоf (t) = kx0 − y0 k2 + 2t Re(x0 − y0 ,y) + t2 kyk2 ,и поэтомуRe(x0 − y0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.Аналогично, если рассмотрим функциюf1 (t) = kx0 − y0 + ityk2 ,то получимIm(x0 − y0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.Следовательно, и в этом случае выполняется условие (1).Теорема 1 доказана.Теорема 2.

Если подпространство L евклидова пространства E полное, то у любого элемента x ∈ E существует ортогональная проекция на подпространство L.Д о к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1 следует, что нужнодоказать, что∀ x0 ∈ E∃ y0 ∈ L :kx0 − y0 k = inf kx0 − yk.y∈LВыберем некоторое x0 ∈ E и положимd = inf kx0 − yk2 .y∈LТогда существует последовательность {yn } элементов из L такая, чтоlim kx0 − yn k2 = d.(3)n→∞Покажем, что эта последовательность фундаментальная.Легко проверяется, что2y m + yn 222kyn − ym k = 2kyn −x0 k + 2kym −x0 k − 4 x0 −296Г. Н.

Яковлев. Функциональные пространства1для любых n и m. А так как 2 (ym + yn ) ∈ L, то21x0 − (ym + yn ) > d,2и поэтомуkyn − ym k2 6 2kx0 − yn k2 + 2kx0 − ym k2 − 4d.Из условия (3) следует, что∀ ε2∃N :∀n > Nkx0 − yn k2 < d +ε2.4Тогда из (4) получаем:kyn − ym k2 < ε2∀ n,m > N.Так как пространство L полное, то существует элементy0 ∈ L такой, что yn → y0 при n → ∞. Из непрерывностинормы следует, чтоlim kx0 − yn k = kx0 − y0 k.n→∞Теорема 2 доказана.5.7. Общий вид линейного функционалаПусть E — евклидово пространство (действительное иликомплексное).Лемма 1. Для любого заданного элемента a ∈ E функционалf (x) = (x,a), x ∈ E,(1)является линейным и ограниченным, причёмkf k = kak.Д о к а з а т е л ь с т в о.

Линейность очевидна. Ограниченность следует из неравенства|f (x)| 6 kak · kxkА так как f (a) = kak2 , то kf k = kak.∀ x ∈ E.§ 5. Пространства со скалярным произведением97Лемма 1 доказана.Лемма 2. Если функционал f имеет представление вида(1), то элемент a определён однозначно.Действительно, пустьf (x) = (x,a) и f (x) = (x,b) ∀ x ∈ E,тогда (x,a − b) = 0 ∀ x ∈ E, и, в частности, (a − b,a − b) = 0,поэтому a = b.Теорема. Любой линейный непрерывный функционал f вгильбертовом пространстве H имеет представление вида (1).Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим через L ядро функционала f , т.е.

множество всех x ∈ H таких, что f (x) = 0. Легковидеть, что L является линейным пространством. Из непрерывности функционала f следует, что множество L замкнуто.Действительно, если xn ∈ L и xn → x при n → ∞, тоf (x) = lim f (xn ) = 0.n→∞А так как пространство H полное, то пространство L тожеполное.Если L = H, т.е. f (x) = 0 ∀ x ∈ H, то, очевидно,f (x) = (0,x) ∀ x ∈ H.Пусть L 6= H, т.е.

существует элемент x0 ∈ H такой,что f (x0 ) 6= 0. Через y0 обозначим ортогональную проекциюэлемента x0 в подпространство L и положимz0 = x0 − y0 .тоТогда f (z0 ) = f (x0 ) 6= 0 и (z0 ,y) = 0 ∀ y ∈ L.Так какf (x)f x−z0 = 0 ∀ x ∈ H,f (z0 )∀x ∈ Hx−f (x)z0 ∈ L,f (z0 )98Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваи поэтомуf (x)z0 ,z0x−f (z0 )Следовательно,= 0 ∀ x ∈ H.(x,z0 ) = f (x)kz0 k2.f (z0 )(2)Заметим, что так как f (z0 ) 6= 0, то kz0 k =6 0, и поэтому из (2)получаемf (x) = (x,a),где a =f (z0 )z .kz0 k2 0Теорема доказана.Отображения любого линейного нормированного пространства над полем действительных (или комплексных) чисел вмножество действительных (соответственно комплексных) чисел обычно называются функционалами. Множество всех линейных непрерывных функционалов, определённых на линейном нормированном пространстве X, с естественными операциями сложения двух функционалов и умножения функционалана число является линейным пространством, которое обозначается X ∗ и называется сопряжнным к X пространством.Из доказанных выше утверждений следует, что любое гильбертово пространство H и сопряжнное пространство H ∗изоморфны.§ 6.

Обобщённые функции6.1. ВведениеВ пункте 5.1 главы 15 на эвристическом уровне было показано, что для полной характеристики аппарата, которомусоответствует инвариантный относительно сдвигов линейныйоператор A, достаточно знать отклик E(t) этого аппарата натак называемое единичное импульсное воздействие δ(t) в момент времени t = 0. А именно, было показано, что отклик ли-§ 6. Обобщённые функции99нейного оператора A на входное воздействие f (t) равен свёрткефункций f (t) и E(t):ZAf =f (τ )E(t − τ ) dτ.RНапомним, что при выводе этой формулы единичный импульс δ(t) понимался как предел единичных импульсов длительности h:( 0,если t < 0,δh (t) = 1/h, если 0 6 t < h,0,если t > h,при h → 0, и считалось, что отклик E(t) оператора A наимпульс δ(t) равен пределу откликов Eh (t) на единичные импульсы δh (t) при h → 0.

А так как единичный импульс δ(t)не может быть обычной функцией точки, то необходимо придать точный математический смысл предельным переходам:δh (t) → δ(t) и Eh (t) → E(t) при h → 0, да и самому понятию«единичный импульс δ(t)».Один из подходов к решению этих вопросов состоит в принципиальном расширении представления о функциях. Он исходит из того, что в природе объекты наблюдения обычно характеризуются их взаимодействием с другими объектами, причём для этого достаточно некоторого набора так называемых«пробных» объектов или приборов. Так и функцию можно характеризовать не значениями в отдельных точках, а как некоторый объект, который определённым образом действует назаданное семейство «пробных» функций.Например, каждая непрерывная на R функция f (x) на мно◦жестве C финитных непрерывных на R функций ϕ(x) поро◦ждает линейный функционал, который каждой функции ϕ ∈ Cставит в соответствие числоZ(f,ϕ) =f (x)ϕ(x) dx.(1)R100Г.

Н. Яковлев. Функциональные пространстваЛегко видеть, что если непрерывные функции f и g порождаютравные функционалы, т.е. еслиZZ◦f (x)ϕ(x) dx =g(x)ϕ(x) dx ∀ϕ ∈ C ,RRто f (x) = g(x) ∀x ∈ R.Значение функционала (1) можно трактовать как меру взаимодействия функции f и «пробной» функции ϕ. А так какзначения этого взаимодействия однозначно определяют функцию f , то вместо того, чтобы задавать значения f в каждойточке x ∈ R, можно задавать значения функционала (1) на«пробных» функциях ϕ.◦На множестве функций ϕ ∈ C , кроме функционалов вида(1), есть и другие линейные функционалы.

Например, такимявляется функционал, обозначаемый δ, который каждой функ◦ции ϕ ∈ C ставит в соответствие число ϕ(0), т.е. задаётсяравенством◦(δ,ϕ) = ϕ(0), ϕ ∈ C .(2)Ниже будет показано, что этот функционал не может быть задан формулой вида (1) и в этом смысле не порождается никакойнепрерывной (и даже локально интегрируемой) на R функцией.Формула (2) определяет так называемую δ-функцию, которую впервые ввёл в науку в конце 20-х годов П. Дирак какфункцию, обладающую следующими свойствами:Z +∞δ(x)ϕ(x) dx = ϕ(0) ∀ϕ ∈ C.δ(x) = 0 ∀x 6= 0,−∞Сразу же было показано, что с математической точки зренияэто определение некорректное. Конечно, и сам П.

Дирак понимал, что δ-функция не является функцией в классическомсмысле и что она действует как некоторый оператор. Однакопотребовались усилия многих математиков, чтобы найти корректное определение δ-функции и её производных и затем построить теорию обобщнных функций как линейных непрерыв-§ 6. Обобщённые функции101ных функционалов на некотором множестве достаточно «хороших» так называемых «основных функций».6.2. Пространство D◦Рассмотрим множество C ∞ финитных бесконечно дифференцируемых функций, заданных на R и принимающих комплексные значения.

Характеристики

Список файлов книги