Функциональный пространства - Яковлев (1187984), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Яковлев. Функциональные пространстванулевым множеством функции f , а его дополнение до R называется носителем функции f и обозначается supp f .Нулевое множество любой обобщённой функции являетсяоткрытым (в частности, оно может быть пустым), а носительявляется замкнутым множеством. Например, нулевое множество δ-функции — это объединение интервалов (−∞; 0) и (0; ++∞), а носитель δ-функции состоит из одной точки x = 0.Очевидно, что если регулярная обобщённая функция порождается непрерывной на R функцией f , то её носитель совпадает с носителем функции f .Как и для обычных функций, обобщённая функция называется финитной, если она имеет ограниченный носитель.
Следовательно, δ-функция является финитной.6.6. Пространство D 0 обобщённых функцийВ линейном пространстве D0 обобщённых функций на Dвведём так называемую поточечную сходимость.Определение 1. Говорят, что последовательностьобобщённых функций fn , n ∈ N, сходится к обобщннойфункции f , еслиlim (fn ,ϕ) = (f,ϕ) ∀ϕ ∈ D.n→∞Последовательность обобщённых функций называется сходящейся, если существует обобщённая функция, к которой этапоследовательность сходится.Введённая сходимость называется ещё слабой сходимостью.Определение 2. Линейное пространство линейных непрерывных функционалов на D, в котором введена слабая (поточечная) сходимость, называется пространством, сопряжннымк пространству D, и обозначается D0 .Пространство D0 называют ещё пространством обобщнных функций.
При этом если последовательность {fn } сходится§ 6. Обобщённые функции111к f в смысле определения 1, то говорят, что fn сходится к f вD0 и пишутfn → f в D0 при n → ∞.Пример 1. Докажем, что последовательность функций0, если x < 0;1n, если 0 6 x < n ;fn (x) =(1)1 0, если x > ,nв D0 сходится к δ-функции.Каждая функция fn (x) является локально интегрируемойна R и на D по формулеZ(fn ,ϕ) =fn (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ D,Rпорождает регулярную обобщённую функцию. Утверждениебудет доказано, если мы покажем, что (fn ,ϕ) → ϕ(0) при n →→ ∞ для любой функции ϕ ∈ D.
А это следует из того, чтоZ 1/nZ 1/n(fn ,ϕ) =nϕ(x) dx = ϕ(0) + n(ϕ(x) − ϕ(0)) dx,00где последнее слагаемое стремится к нулю при n → ∞, так какZ 1/nZ 1/n0n|ϕ(x) − ϕ(0)| dx 6 max |ϕ (x)|nx dx =0x01=max |ϕ0 (x)| → 02n xпри n → ∞.Таким образом, fn (x) → δ(x) в D0 при n → ∞.Пример 2. Заметим, что последовательность функций(1) является простейшим примером так называемой δ-образнойпоследовательности. Напомним, что последовательность неотрицательных функций ψn (x), x ∈ R, называется δ-образной,112Г. Н.
Яковлев. Функциональные пространстваесли1)2)RR ψn (x) dx = 1 ∀ n;Rhlim −h ψn (x) dx = 1n→∞∀ h > 0.Докажем, что любая δ-образная последовательность функций ψn (x) в D0 при n → ∞ сходится к δ(x).Пусть ϕ(x) ∈ D. Нужно доказать, чтоZ(ψn ,ϕ) =ψn (x)ϕ(x) dx → ϕ(0)Rпри n → ∞. ПоложимM = sup |ϕ(x)|,xM1 = sup |ϕ0 (x)|.xТогдаZ|(ψn ,ϕ) − ϕ(0)| = ψn (x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx 6RZ −hZ hZ +∞ψn (x) dx + 2M1 h ψn (x) dx + 2Mψn (x) dx6 2M−∞−hhдля любого h > 0. Из свойств функций ψn (x) следует, что приn → ∞ 1-е и 3-е слагаемое стремятся к нулю, а 2-е — к 2M1 h.ПоэтомуZlim ψn (x)(ϕ(x) − ϕ(0)) dx 6 2M1 hn→∞Rдля любого h > 0, что и доказывает, чтоψn (x) → δ(x) в D0 при n → ∞.Пространство D0 обобщённых функций оказывается полным.
Точнее, имеет место следующее утверждение.Теорема. Пусть последовательность обобщённых функций fn , n ∈ N, такова, что для каждой функции ϕ ∈ D числоваяпоследовательность (fn ,ϕ), n ∈ N, сходится. Тогда функционал f , определяемый на D равенством(f,ϕ) = lim (fn ,ϕ),n→∞§ 6. Обобщённые функции113является линейным и непрерывным на D, т.е. f ∈ D0 .Доказательство этой теоремы можно найти, например, вкниге В.С. Владимирова «Обобщённые функции в математической физике».Предельный переход в D0 можно использовать для построения новых обобщённых функций.Пример 3. Рассмотрим последовательность функций1 , если |x| > 1 ,xnfn (x) =1 0,если |x| 6 n .Каждая функция fn (x) порождает обобщённую функцию:Z 1/nZ +∞11(fn ,ϕ) =ϕ(x) dx +ϕ(x) dx =−∞ x−1/n xZ +∞ϕ(x) − ϕ(−x)=dx, ϕ ∈ D,x1/nгде под интегралом стоит ограниченная функция. Следовательно,Z +∞ϕ(x) − ϕ(−x)lim (fn ,ϕ) =dx ∀ϕ ∈ D.n→∞x0А так какZ +∞ϕ(x) − ϕ(−x)1dx = P ,ϕ ,xx0то1lim (fn ,ϕ) = P ,ϕ∀ϕ ∈ D.n→∞xТаким образом,1fn (x) → P ,ϕ в D0 при n → ∞.x1Заметим, что fn (x) → x при n → ∞ для любого x 6= 0.
Поэтому иногда говорят, что последовательность функций fn (x)114Г. Н. Яковлев. Функциональные пространства1в D0 сходится к функции f (x) = x , и пишут1fn (x) → в D0 при n → ∞.x11Обобщённую функцию P x тоже иногда обозначают просто x .6.7. Дифференцирование обобщённых функцийХорошо известно, что если функция f определена и непрерывно дифференцируема на R, тоZZ00(f ,ϕ) =f (x)ϕ(x) dx = − f (x)ϕ0 (x) dx = −(f,ϕ0 )RRдля любой функции ϕ ∈ D.Легко видеть, что для любой обобщённой функции f ∈ D0функционал f 0 , определённый равенством(f 0 ,ϕ) = −(f,ϕ0 ) ∀ϕ ∈ D,(1)является линейным и непрерывным на D, т.е.
формула (1)определяет обобщённую функцию f 0 .Определение 1. Для любой обобщённой функции f обобщённая функция f 0 , определённая равенством (1), называетсяпроизводной функции f .Производная f 0 называется производной первого порядка.Производная n-го порядка f (n) определяется равенством:(f (n) ,ϕ) = (−1)n (f,ϕ(n) ),ϕ ∈ D.Таким образом, обобщнные функции имеют производныелюбого порядка.Справедливы следующие свойства операции дифференцирования обобщённых функций.1.
Операция дифференцирования линейна, т.е. для любых обобщённых функций f и g и любых чисел α и β(αf + βg)0 = αf 0 + βg 0 .(2)§ 6. Обобщённые функции115Действительно, для любой функции ϕ ∈ D((αf + βg)0 ,ϕ) = −(αf + βg,ϕ0 ) = −α(β,ϕ0 ) − β(g,ϕ0 ) == α(f 0 ,ϕ) + β(g 0 ,ϕ) = (αf 0 + βg 0 ,ϕ),что и доказывает равенство (2).2. Операция дифференцирования является непрерывным оператором, т.е. если fk → f в D0 , то и fk0 → f 0 в D0 приk → ∞.Действительно, для любой функции ϕ ∈ D(fk0 ,ϕ) = −(fk ,ϕ0 ) → −(f,ϕ0 ) = (f 0 ,ϕ)при k → ∞, что и доказывает наше утверждение.3. Если f ∈ D0 , а ψ ∈ C ∞ , то(ψf )0 = ψ 0 f + ψf 0 .(3)Действительно, для любой функции ϕ ∈ D((ψf )0 ,ϕ) = −(ψf,ϕ0 ) = −(f,ψϕ0 ) == −(f,(ψϕ)0 −ψ 0 ϕ) = −(f,(ψϕ)0 )+(f,ψ 0 ϕ) == (f 0 ,ψϕ) + (ψ 0 f,ϕ) = (ψf 0 + ψ 0 f,ϕ),что и доказывает равенство (3).Рассмотрим несколько примеров на дифференцирование обобщённых функций.Пример 1.
Найдём производную функции Хевисайда0, если x < 0,θ(x) =1, если x > 0.Согласно определению производной,(θ0 ,ϕ) = −(θ,ϕ0 ),ϕ ∈ D.А так как функция θ(x) локально интегрируема, тоZ +∞0(θ,ϕ ) =ϕ0 (x) dx = −ϕ(0).0116Г. Н. Яковлев. Функциональные пространстваСледовательно, (θ0 ,ϕ) = ϕ(0), и поэтомуθ0 (x) = δ(x).Пример 2. Найдём производную функции f (x) = xθ(x).Дифференцируя f как произведение, находим:(xθ(x)) = θ(x) + xθ0 (x).А так как θ0 (x) = δ(x) и xδ(x) = 0, то(xθ(x)) = θ(x).Пример 3. xδ 0 (x) = −δ(x).Действительно,xδ 0 (x) + δ(x) = (xδ(x))0 = 0,так как xδ(x) = 0.Пример 4. Функция y = θ(x)e−λx удовлетворяет уравнению y 0 + λy = δ(x).Действительно,y 0 = e−λx δ(x) − λθ(x)e−λx = δ(x) − λy.§ 7.
Преобразование Фурье обобщённых функций7.1. Пространство S основных функций и пространство S 0обобщённых функцийЛинейное пространство S было введено в главе 15 в п. 4.6.Напомним, что элементами этого пространства являются бесконечно дифференцируемые на R комплекснозначные функции,каждая из которых удовлетворяет условию: как она сама, таки её производные любого порядка при x → ±∞ стремятся кнулю быстрее любой степени 1/x.
Такие функции называютсябыстро убывающими.Очевидно, любая бесконечно дифференцируемая финитнаяфункция является элементом пространства S, т.е. D ⊂ S. Од-§ 7. Преобразование Фурье обобщённых функций117нако S 6= D. Например, функция ϕ(x) = exp(−x2 ) принадлежит S, но не принадлежит D.Введём в S понятие сходимости.Определение 1. Последовательность функций ϕ(x) ∈ Sназывается сходящейся в S к функции ϕ(x) ∈ S, если для любых целых неотрицательных k и m выполняется условие:(k)lim sup |xm (ϕ(k)n (x) − ϕ (x))| = 0,n→∞ x∈R(k)т.е. для любых k и m xm ϕn (x) при n → ∞ сходится кxm ϕ(k) (x) равномерно по x на R.Последовательность функций из S называется сходящейсяв S, если она в S сходится к некоторой функции из S.Очевидно, если последовательность функций ϕn (x) ∈ D вD сходится к функции ϕ(x), то ϕn (x) → ϕ(x) и в S.Определение 2.
Линейное пространство S с введённойсходимостью называется пространством S основных функций.Легко видеть, что множество S 0 всех линейных непрерывных функционалов на S является линейным пространством относительно естественных операций сложения двух функционалов и умножения функционала на число. Как обычно, в S 0 вводится поточечная (или слабая) сходимость.
Именно, говорят,что fn → f в S 0 при n → ∞, еслиlim (fn ,ϕ) = (f,ϕ) ∀ϕ ∈ S.n→∞Определение 3. Линейное пространство S 0 линейных непрерывных функционалов на S называется пространством S 0обобщнных функций.В S 0 аналогом регулярных обобщённых функций являютсяфункции, которые задаются формулами видаZ(f,ϕ) =f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ S,(1)R118Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
