Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 15
Текст из файла (страница 15)
(8.3)ξДоказательство. (⇒) Из определения 8.1 следует, чтоˆ∀ε > 0 ∃b′ ∈ (a, b) : ∀ξ ∈ (b′ , b) & ∀t ∈ ⟨c, d⟩ ,→ →bξ εf (x, t)dx < .2Поэтому ∀ξ, ξ ′ ∈ (b′ , b) и ∀t ∈ ⟨c, d⟩ˆξ′ ˆ f (x, t)dx = ξ→bˆf (x, t)dx −ξˆ→b ˆ f (x, t)dx + ξ→bξ′→bξ′f (x, t)dx 6 ε εf (x, t)dx 6 + = ε.2 2(⇐) Из условия (8.3) следует, что для каждого фиксированного t ∈ ⟨c, d⟩´ b←для НИ a f (x, t)dx выполнено условие Коши. Значит, (теорема 2.8.6) НИ´ b←f (x, t)dx сходится. Поэтому в условии (8.3) можно перейти к пределу приaξ ′ → b:ˆ∀ε > 0 ∃b ∈ (a, b) : ∀ξ ∈ (b , b) & ∀t ∈ ⟨c, d⟩ ,→ ′→b′ξЧто совпадает с определением РС. f (x, t)dx 6 ε.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР67Замечание. Критерием Коши удобно пользоваться для доказательства отсутствия равномерной сходимости НИ.
Запишем отрицание условия Коши:ˆ∃ε0 > 0 : ∀b ∈ (a, b) : ∃ξ, ξ ∈ (b , b) & ∃t ∈ ⟨c, d⟩ : ′′ξ′′f (x, t)dx > ε0 .ξДля доказательства равномерной сходимости НИ удобно применять достаточные признаки.Теорема 8.4. (признак Вейерштрасса) Пусть функцииf : [a, b) × ⟨c, d⟩ → R,g : [a, b) → Rтакие, что´ξ1. ∀ξ ∈ (a, b) ∀t ∈ ⟨c, d⟩ существует интеграл Римана a f (x, t)dx;2. ∀(x, t) ∈ [a, b) × ⟨c, d⟩ ,→ |f (x, t)| 6 g(x);´ →b3. интеграл a g(x)dx сходится.´ →bТогда интеграл a f (x, t)dx сходится равномерно на ⟨c, d⟩.Доказательство.
Из признака сравнения (теорема 2.8.8) для НИ (без па´ →bраметра!) при каждом t ∈ ⟨c, d⟩ интеграл a f (x, t)dx сходится абсолютно.Поэтому и в силу неравенства |f (x, t)| 6 g(x),ˆ→b ˆf (x, t)dx 6ξ→bˆ|f (x, t)|dx 6ξИз сходимости интеграла′´ →ba→bg(x)dx.ξg(x)dx следует, что′ˆ∀ε > 0 ∃b ∈ (a, b) : ∀ξ ∈ (b , b) ,→→bg(x)dx < ε.ξПоскольку в последнем условии отсутствует параметр t, тоˆ∀ε > 0 ∃b′ ∈ (a, b) : ∀ξ ∈ (b′ , b) & ∀t ∈ ⟨c, d⟩ ,→ →bf (x, t)dx < ε. ξТеорема 8.5. (признак Дирихле) Пусть функцииf, g : [a, b) × ⟨c, d⟩ → Rудовлетворяют условиям:1.
∀t ∈ ⟨c, d⟩ функция f непрерывна по x на [a, b);2. ∀t ∈ ⟨c, d⟩ функция g непрерывнодифференцируема по x на [a, b);´x3. первообразная F (x, t) := a f (s, t)ds равномерно ограничена на [a, b)×⟨c, d⟩:∃C > 0 : ∀(x, t) ∈ [a, b) × ⟨c, d⟩ ,→ |F (x, t)| < C;4. на [a, b) × ⟨c, d⟩ производная gx′ (x, t) 6 0 (т.е. для каждого t ∈ ⟨c, d⟩функция g(x, t) убывает по переменной x на [a, b));68Я.
М. ДЫМАРСКИЙ5. функция g(x, t) стремится к нулю при x → b равномерно по t ∈ ⟨c, d⟩:g(x, t) ⇒ 0 при x → b.⟨c,d⟩Тогда интеграл´ →baf (x, t)g(x, t)dx сходится равномерно на ⟨c, d⟩.Доказательство. В силу теоремы 2.8.10 (признак Дирихле для НИ без пара´ →bметра), для каждого t ∈ ⟨c, d⟩ интеграл a f (x, t)g(x, t)dx сходится. Поэтомук нему можно применить формулу интегрирования по частям (теорема 2.8.4):для произвольных ξ ∈ (a, b) и t ∈ ⟨c, d⟩ˆ →bx→b ˆ →bf (x, t)g(x, t)dx = F (x, t)g(x, t)−F (x, t)gx′ (x, t)dx.x=ξξξИз условий 3 и 5 следует, что limx→b F (x, t)g(x, t) = 0. Из условий 4 и 5 следует,что функция g(x, t) > 0 на [a, b) × ⟨c, d⟩. Поэтомуˆ →b ˆ →bξ→b−0f (x, t)g(x, t)dx 6 Cg(ξ, t) − Cgx′ (x, t)dx = 2Cg(ξ, t) ⇒ 0.
ξ⟨c,d⟩ξ8.3. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.Теорема 8.6. (о непрерывности НИ по параметру) Пусть функцияf : [a, b) × [c, d] → R непрерывна как функция от двух переменных. Пусть´ →bинтеграл a f (x, t)dx сходится равномерно на отрезке [c, d].
Тогда функция´ →bI(t) = a f (x, t)dx непрерывна на [c, d].Доказательство. Пусть t0 ∈ [c, d] – произвольная точка. Возьмем произ´ →bвольное ε > 0. Из равномерной сходимости интеграла a f (x, t)dx следует,что ˆ →b ε∃b′ (ε) ∈ (a, b) : ∀t ∈ [c, d] ,→ f (x, t)dx < .4b′´ b′В силу непрерывности собственного интеграла a f (x, t)dx по параметру (теорема 8.1)∃δ = δ(b′ (ε)) = δ(ε) > 0 : ∀t ∈ [c, d] : |t − t0 | < δ ,→ˆ b′ ˆ b′ εf (x, t)dx −f (x, t0 )dx < .2aaПоэтому для любого ε и любого t ∈ [c, d] & |t − t0 | < δ справедливоˆ →b ˆ →b|I(t) − I(t0 )| = f (x, t)dx −f (x, t0 )dx 6aˆˆ ˆ f (x, t0 )dx+ a ˆ f (x, t)dx+ ε 2ε= ε.f (x, t0 )dx < +2 4aab′b′Если точка b ∈ R, то предыдущая оценка означает, что на плоскости (x, t)отрезок, соединяющий точки (b, t) и (b, t0 ) мы заменили трехзвенной ломаной(b, t) → (b′ , t) → (b′ , t0 ) → (b, t0 ) (см. рис.
???)Рис. ??? b′f (x, t)dx−b′→b→b69ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРТеорема 8.7. (об интегрировании НИ по параметру) Пусть функцияf : [a, b) × [c, d] → R непрерывна как функция от двух переменных. Пусть´ →bинтеграл a f (x, t)dx сходится равномерно на отрезке [c, d]. Тогдаˆd(ˆ)→bˆ→b(ˆf (x, t)dx dt =c)df (x, t)dt dx.aacЗамечание. Утверждение теоремы можно понимать как перестановку собственного и несобственного интегралов.Доказательство.
Сразу отметим, что´ →bинтеграл в левой части равенствасуществует, поскольку функция I(t) := a f (x, t)dx непрерывна на [c, d] (теорема 8.6). Более того, для произвольного ξ ∈ (a, b) существует интеграл)))ˆ (ˆˆ (ˆˆ (ˆ→bd→bdf (x, t)dx dt =cξcξdf (x, t)dx dt −af (x, t)dx dt,ca´ξпоскольку функция I(t; ξ) := a f (x, t)dx непрерывна по t в силу теоремы 8.1.Для произвольного b′ ∈ (a, b), в силу леммы 8.1, совпадают повторные собственные интегралы))ˆ (ˆ ′ˆ ′ (ˆdbbdf (x, t)dx dt =cf (x, t)dt dx.aa(8.4)c′Покажем, что в интеграле слеваперейти(´можно) к пределу´при(´b → b. Сравним)′´dbd→bзначения функции φ(b′ ) := cf(x,t)dxdtсчисломf(x,t)dxdt:acaпо ε > 0 возьмем такое b′ (ε), чтобы в определении 8.1 равномерной сходимости´ →bНИ выполнялась оценка | ξ f (x, t)dx| < ε/(c − d) как только ξ ∈ (b′ , b). Тогдаˆd(ˆc)→bˆd(ˆc(ˆcξf (x, t)dx dt −aˆd→b)f (x, t)dx dt =a)f (x, t)dx dt <ξε(c − d) = ε.c−dСледовательно,ˆd(ˆb′limb′ →b)ˆd(ˆ→bf (x, t)dx dt =ca)f (x, t)dx dt.caНо если в тождестве (8.4) существует предел в левой части при b′ → b, тосуществует предел в правой и они совпадают.
Остается заметить, что предел вправой части (8.4) при b′ → b есть, по определению, несобственный интеграл:)(ˆ)ˆ ′ (ˆˆblim′b →b−0→bddf (x, t)dt dx. f (x, t)dt dx =acac70Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 8.8. (о дифференцировании НИ по параметру) Пусть функцииf, ft′ : [a, b) × [c, d] → R непрерывны как функции от двух переменных. Пусть´ →bинтеграл a ft′ (x, t)dx сходится равномерно на отрезке [c, d] и при некотором´ →b´ →bt0 ∈ [c, d] сходится интеграл a f (x, t0 )dx.
Тогда функция I(t) = a f (x, t)dxдифференцируема на [c, d], причем дифференцирование можно внести под знакинтеграла:ˆ →b′∀t ∈ [c, d] ,→ I (t) =ft′ (x, t)dx.aДоказательство. При любом фиксированном x ∈ [a, b) функция ft′ (x, t)непрерывна по переменной t. Поэтому по переменной t применима формулаНьютона-Лейбница иˆtf (x, t) = f (x, t0 ) +fs′ (x, s)ds.t0Применяя теорему 8.7 к функции ft′ (x, t), получаемˆˆ→bI(t) :=→bf (x, t)dx =a()ˆ t′f (x, t0 ) +fs (x, s)ds dx =aˆt0ˆ→b→b(ˆtf (x, t0 )dx +aˆa→bf (x, t0 )dx +at0)ds =t0ˆ t (ˆ→bfs′ (x, s)dx)fs′ (x, s)dxds.a´ →bВоспользовавшись теоремой 8.6 для функции J(t) := a ft′ (x, t)dx, продифференцируем по t полученное выражение функции I(t) – получаем требуемоеравенство.
8.4. Замечательные несобственные интегралы. Исследование НИпредполагает прежде всего доказательство его сходимости. Исследование НИс параметром состоит в том, чтобы установить, как именно зависит НИ отпараметра – непрерывно, дифференцируемо, допускает ли НИ перестановкупорядка интегрирования. Вычисление НИ возможно в исключительно редкихслучаях.
Основным методом вычисления НИ является метод дифференцирования по параметру: после дифференцирования по параметру (под знаком НИ!),возможно, получается интеграл, берущийся в элементарных функциях. Навтором этапе эту функцию интегрируют уже по параметру. В результате возникает постоянная интегрирования, которую находят с помощью специальноподобранного значения параметра. Обоснование этого метода всегда нетривиально и опирается на теоремы 8.6-8.8. Если же НИ вычислен, то заменой или(и) переменной интегрирования, или (и) параметра из него получают формально новые НИ, допускающие вычисления.
Ниже в таблице приведены некоторыеНИ. Как правило, интеграл с параметром после преобразований сводится к одному из табличных интегралов.71ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРНаименованиеИнтеграл´∞Вспомогательный0´∞Вспомогательный0´∞Вспомогательный0e−βx cos αx dx =βα2 +β 2–e−βx sin αx dx =αα2 +β 2–e−βx sinxαx dx = arctg αβ–´∞Дирихле´∞0´∞Лапласа00´∞0´∞Френель–dx = sign(α) e−|α| π2–20Френельdx = e−|α| π2e−x cos 2αx dx = e−α´∞Эйлер-Пуассонинтеграл Фурьеcos αx1+x2x sin αx1+x2´∞Лапласаdx = sign(α) π2sin αxx0ЛапласаПрименение0e−x dx =2√π2sin x2 dx =12cos x2 dx =122√π2–статистика√π2√π2оптикаоптикаПьер-Симон, маркиз де Лаплас (1749 — 1827), Симеон Дени Пуассон (1781– 1840), Огюстен Жан Френель (1788 — 1827).8.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
