Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 10

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 10 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 102020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Доказательство опирается на лемму 5.3. 5.3. Пространства C[a, b], CP [a, b], LC[a, b] и L2 C[a, b]. На примере названных пространств обсудим введенные выше понятия. Докажем, чтоТеорема 5.4. Нормированное пространство C[a, b] полное.Доказательство. Фактически это переформулировка уже известных намсвойств равномерной сходимости – критерия Коши и теоремы о сохранениинепрерывности при равномерной сходимости. Итак: функциональная последовательность {fn } ⊂ C[a, b] фундаментальна в C[a, b] ⇔ верен критерий Коширавномерной сходимости ⇔ fn ⇒ f на [a, b] ⇒ f ∈ C[a, b].

Обсуждение 5.3. Теорема 5.4 демонстрирует возможности методов функционального анализа: понятие равномерной сходимости последовательностифункций заменяется равносильным понятием сходимости последовательности элементов в функциональном нормированном пространстве. Из теоремы 5.4 и второй теоремы Вейерштрасса об аппроксимации получаемСледствие 5.3. Банахово пространство C[a, b] является пополнением неполного нормированного пространства CP [a, b].Вернемся к пространствам непрерывных функций с интегральными нормами || · ||L и || · ||L2 . Докажем (см. задачу 5.14), что)1/2(´´bbзадаЛемма 5.6.

Формулы ||f ||L = a |f (x)|dx и ||f ||L2 = a f 2 (x)dxют в линейном пространстве непрерывных функций нормы.Доказательство выполнения пп. 2 и 3 определения 5.9 следует из свойствсобственного интеграла Римана. Доказательствоп. 1 единообразное для обеих´bнорм; докажем для нормы || · ||L . Пусть a |f (x)|dx = 0, но – от противного –найдется точка x0 ∈ [a, b], в которой f (x0 ) > 0. В силу непрерывности f , существует δ-окрестность точки x0 (полуокрестность, если точка – край отрезка), в´bкоторой f (x) > f (x0 )/2. Поэтому a |f (x)|dx > f (x0 )δ/2 > 0. В отличие от C[a, b]Лемма 5.7.

Нормированные пространства LC[a, b] и L2 C[a, b] не являютсяполными.44Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство единообразное. Достаточно предоставить фундаментальную в LC[a, b], но не сходящуюся после1·довательность. Пусть, что не принципиально, a = −1, b = 1. Положим: fn (x) :=-1 -1· n· · ··±1 для ±x ∈ [1/n, 1] и fn (x) = nx дляx0 11n|x| 6 1/n ( рис. 5.5). Найдем расстояние между точками последовательности-1с номерами m и n.

n > m. Из геометрического смысла интеграла ясно, чтоРис. 5.5)(121−<→ 0 при m → ∞.||fn − fm ||L = 2 ·m nmЗначит, последовательность фундаментальная. Если допустить, что она сходится к непрерывной функции f , то для положительного аргумента это можетбыть только f (x) = 1, а для отрицатеьного – только f (x) = −1. Если допуститьпротивное (т.е. существует точка x0 > 0, в которой |f (x0 ) − 1| = µ > 0), тосуществует такое δ > 0, чтоˆ||f − fn || >x0 +δx0 −δ|f (x) − 1|dx >µ· 2δ > 0.2Значит, функциональная последовательность сходится к функции f , котораяна проколотом отрезке [−1, 1]\{0} совпадает с функцией sign(x).

Следовательно, функция f , при любом ее определении в нуле, имеет в нуле скачок. Пополнение пространств с интегральной нормой столь важны в математическом анализе и его приложениях, что ему присвоено имя создателя:Определение 5.15. Пополнение пространств LC[a, b] и L2 C[a, b] называются пространствами Лебега (Анри Леон Лебег, 1875-1941) и обозначаютсяL(a, b) и L2 (a, b) соответственно.Обсуждение 5.4. Удобнее вводить пространство L(a, b) и L2 (a, b) иначе –как это сделал Лебег: 1) ввести «интегрирование по Лебегу», 2) определитьL(a, b) (L2 (a, b)) как пространство всех функций, которые интегрируемы на(a, b) по Лебегу (с квадратом), 3) определить интегральные нормы || · ||L и|| · ||L2 где как лебеговые интегралы.

Сходимости в пространствах L(a, b) иL2 (a, b) называются в среднем и среднеквадратичном соответственно. 5.4. Полные системы в линейных нормированных пространствах.Понятие полной системы является “ослабленным“ аналогом понятия базиса вконечномерном пространстве. (К полноте пространства понятие полноты системы не имеет отношения; однако оно связано с понятием плотности подпространства.) Под системой векторов {ek }∞k=1 бесконечномерного нормированного пространства L мы понимаем последовательность, значения которой –векторы ek ∈ L.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР45Определение 5.16.

Система {ek }∞k=1 векторов называется полной в L, если для любого вектора f ∈ L и произвольного ε > 0 существует конечнаялинейная комбинация α1 e1 + ... + αn en (αi ∈ R), которая аппроксимирует вектор f по норме пространства L с точностью до ε: ||α1 e1 + ... + αn en − f || < ε.Обсуждение 5.5. Полнота системы означает, что любой вектор можно скольугодно близко аппроксимировать конечной линейной комбинацией векторов системы. Полная система, как и базис, содержит фиксированные векторы.

Однако, во-первых, линейная комбинация только аппроксимирует вектор, но несовпадает с ним. Во-вторых, коэффициенты при векторах системы в общемслучае меняются, т.е. α = α(ε). Лемма 5.8. (о полноте системы и плотности) Пусть {ek }∞k=1 – системавекторов в нормированном пространстве L. Обозначим через E ⊂ L линейноеподпространство, элементами которого являются всевозможные конечныелинейные комбинации вида α1 e1 + ... + αn en . Система {ek }∞k=1 полна в L тогдаи т.т., когда нормированное подпространство E плотно в L.Задача 5.21. Докажите лемму 5.8Теорема 5.5. Примеры некоторых полных и неполных систем:1. Тригонометрическая система (1.4) полна в Cper [−π, π] и неполнав C[−π, π]2.

Система степенных одночленов {xk }∞k=0 полна в C[a, b].3. Тригонометрическая система (1.4) полна в пространствах LC[−π, π] иL2 C[−π, π].Доказательство. Полнота тригонометрической системы в Cper [−π, π] сразу следует из первой теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывнойфункции тригонометрическими многочленами.Покажем, что непрерывную функцию f (x) := x невозможно аппроксимировать тригонометрическими многочленами по равномерной норме (тем самыммы докажем неполноту тригонометрической системы в C[−π, π]). В силу периодичности, для любого тригонометрического многочлена Tn (x) справедливоравенство Tn (−π) = Tn (π). Поэтому тригонометрический многочлен не может приблизиться одновременно к значениям функции f (x) на обоих концахотрезка:||f − Tn (x)||C = max |f (x) − Tn (x)| > max{|f (−π) − Tn (−π)|, |f (π) − Tn (π)|} >[π,π]11(|f (−π) − Tn (−π)| + |f (π) − Tn (π)|) = (|f (−π) − Tn (π)| + |f (π) − Tn (π)|) >221|f (−π) − f (π)| = π.2Полнота системы степенных одночленов в C[−π, π] сразу следует из теоремывторой теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.46Я.

М. ДЫМАРСКИЙНаконец, покажем, что произвольную непрерывную функцию f ∈ LC[−π, π]можно сколь угодно близко аппроксимировать по норме || · ||L тригонометрическими многочленами (для пространства L2 C[−π, π] доказательство аналогичное). С этой целью для каждого δ ∈ (0, 1) определим линейные функцииl1 (x) :=f (−π + δ)(x + π),δl2 (x) := −f (π − δ)(x − π)δи непрерывную функцию (рис.

5.6)l1 (x), при x ∈ [−π, −π + δ],fδ = f (x), при x ∈ [−π + δ, π − δ],l2 (x), при x ∈ [π − δ, π]Gr (l1 )Gr (l2 )Рис. 5.6Для произвольного ε > 0 возьмем δ < ε/(4||f ||C ). Поскольку функция fδнепрерывна и fδ (−π) = fδ (π), в силу доказанного п. 1 теоремы, существуеттакой тригонометрический полином Pε , что ||fδ − Pε ||C < ε/(8π). Тогда расстояние от этого полинома до f по норме || · ||L допускает оценку:||f − Pε ||L 6 ||f − fδ ||L + ||fδ − Pε ||L 6−π+δˆˆπ|f (x) − l1 (x)|dx +−π|f (x) − l1 (x)|dx +εε2π 6 4||f ||C · δ + 6 ε. 4π2π−δЗадача 5.22. Докажите, что истема степенных одночленов {xk }∞k=0 полнав пространствах LC[−π, π] и L2 C[−π, π].47ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР§ 6.

Ряд Фурье в бесконечномерном евклидовом пространствеЗдесь мы обсудим ряды Фурье с точки зрения функционального анализакак разложение вектора (функции) евклидового бесконечномерного (функционального) пространства по счетному ортогональному базису.6.1. Бесконечномерное евклидово пространство. Напомним, что линейное пространство L называется евклидовым, если на нем определено скалярное произведение (x, y), аксиомы и свойства которого вы изучали в курселинейной алгебры. Справедливынеравенство Коши-Буняковского (x, y)2 6 (x.x)(y, y), =⇒√√√неравенство треугольника(x + y, x + y) 6 (x, x) + (y, y).(6.1)Евклидово пространство автоматически является нормированным с нормой||x|| := (x, x)1/2 и метрическим с метрикой ρ(x, y) = (x − y, x − y)1/2 .

Проверка аксиом нормы осуществляется с помощью неравенств (6.1), при этом ониприобретают "привычнай вид":неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| 6 ||x|| ||y||, =⇒неравенство треугольника ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||.(6.2)Ценность евклидового пространства по сравнению с нормированным в том,что в нем можно измерять углы: cos xd, y := (x, y)/(||x|| · ||y||); значит, в немопределены все понятия классической евклидовой геометрии. В частности, дляпопарно ортогональных векторов xi (i = 1, . .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее