Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Доказательство опирается на лемму 5.3. 5.3. Пространства C[a, b], CP [a, b], LC[a, b] и L2 C[a, b]. На примере названных пространств обсудим введенные выше понятия. Докажем, чтоТеорема 5.4. Нормированное пространство C[a, b] полное.Доказательство. Фактически это переформулировка уже известных намсвойств равномерной сходимости – критерия Коши и теоремы о сохранениинепрерывности при равномерной сходимости. Итак: функциональная последовательность {fn } ⊂ C[a, b] фундаментальна в C[a, b] ⇔ верен критерий Коширавномерной сходимости ⇔ fn ⇒ f на [a, b] ⇒ f ∈ C[a, b].
Обсуждение 5.3. Теорема 5.4 демонстрирует возможности методов функционального анализа: понятие равномерной сходимости последовательностифункций заменяется равносильным понятием сходимости последовательности элементов в функциональном нормированном пространстве. Из теоремы 5.4 и второй теоремы Вейерштрасса об аппроксимации получаемСледствие 5.3. Банахово пространство C[a, b] является пополнением неполного нормированного пространства CP [a, b].Вернемся к пространствам непрерывных функций с интегральными нормами || · ||L и || · ||L2 . Докажем (см. задачу 5.14), что)1/2(´´bbзадаЛемма 5.6.
Формулы ||f ||L = a |f (x)|dx и ||f ||L2 = a f 2 (x)dxют в линейном пространстве непрерывных функций нормы.Доказательство выполнения пп. 2 и 3 определения 5.9 следует из свойствсобственного интеграла Римана. Доказательствоп. 1 единообразное для обеих´bнорм; докажем для нормы || · ||L . Пусть a |f (x)|dx = 0, но – от противного –найдется точка x0 ∈ [a, b], в которой f (x0 ) > 0. В силу непрерывности f , существует δ-окрестность точки x0 (полуокрестность, если точка – край отрезка), в´bкоторой f (x) > f (x0 )/2. Поэтому a |f (x)|dx > f (x0 )δ/2 > 0. В отличие от C[a, b]Лемма 5.7.
Нормированные пространства LC[a, b] и L2 C[a, b] не являютсяполными.44Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство единообразное. Достаточно предоставить фундаментальную в LC[a, b], но не сходящуюся после1·довательность. Пусть, что не принципиально, a = −1, b = 1. Положим: fn (x) :=-1 -1· n· · ··±1 для ±x ∈ [1/n, 1] и fn (x) = nx дляx0 11n|x| 6 1/n ( рис. 5.5). Найдем расстояние между точками последовательности-1с номерами m и n.
n > m. Из геометрического смысла интеграла ясно, чтоРис. 5.5)(121−<→ 0 при m → ∞.||fn − fm ||L = 2 ·m nmЗначит, последовательность фундаментальная. Если допустить, что она сходится к непрерывной функции f , то для положительного аргумента это можетбыть только f (x) = 1, а для отрицатеьного – только f (x) = −1. Если допуститьпротивное (т.е. существует точка x0 > 0, в которой |f (x0 ) − 1| = µ > 0), тосуществует такое δ > 0, чтоˆ||f − fn || >x0 +δx0 −δ|f (x) − 1|dx >µ· 2δ > 0.2Значит, функциональная последовательность сходится к функции f , котораяна проколотом отрезке [−1, 1]\{0} совпадает с функцией sign(x).
Следовательно, функция f , при любом ее определении в нуле, имеет в нуле скачок. Пополнение пространств с интегральной нормой столь важны в математическом анализе и его приложениях, что ему присвоено имя создателя:Определение 5.15. Пополнение пространств LC[a, b] и L2 C[a, b] называются пространствами Лебега (Анри Леон Лебег, 1875-1941) и обозначаютсяL(a, b) и L2 (a, b) соответственно.Обсуждение 5.4. Удобнее вводить пространство L(a, b) и L2 (a, b) иначе –как это сделал Лебег: 1) ввести «интегрирование по Лебегу», 2) определитьL(a, b) (L2 (a, b)) как пространство всех функций, которые интегрируемы на(a, b) по Лебегу (с квадратом), 3) определить интегральные нормы || · ||L и|| · ||L2 где как лебеговые интегралы.
Сходимости в пространствах L(a, b) иL2 (a, b) называются в среднем и среднеквадратичном соответственно. 5.4. Полные системы в линейных нормированных пространствах.Понятие полной системы является “ослабленным“ аналогом понятия базиса вконечномерном пространстве. (К полноте пространства понятие полноты системы не имеет отношения; однако оно связано с понятием плотности подпространства.) Под системой векторов {ek }∞k=1 бесконечномерного нормированного пространства L мы понимаем последовательность, значения которой –векторы ek ∈ L.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР45Определение 5.16.
Система {ek }∞k=1 векторов называется полной в L, если для любого вектора f ∈ L и произвольного ε > 0 существует конечнаялинейная комбинация α1 e1 + ... + αn en (αi ∈ R), которая аппроксимирует вектор f по норме пространства L с точностью до ε: ||α1 e1 + ... + αn en − f || < ε.Обсуждение 5.5. Полнота системы означает, что любой вектор можно скольугодно близко аппроксимировать конечной линейной комбинацией векторов системы. Полная система, как и базис, содержит фиксированные векторы.
Однако, во-первых, линейная комбинация только аппроксимирует вектор, но несовпадает с ним. Во-вторых, коэффициенты при векторах системы в общемслучае меняются, т.е. α = α(ε). Лемма 5.8. (о полноте системы и плотности) Пусть {ek }∞k=1 – системавекторов в нормированном пространстве L. Обозначим через E ⊂ L линейноеподпространство, элементами которого являются всевозможные конечныелинейные комбинации вида α1 e1 + ... + αn en . Система {ek }∞k=1 полна в L тогдаи т.т., когда нормированное подпространство E плотно в L.Задача 5.21. Докажите лемму 5.8Теорема 5.5. Примеры некоторых полных и неполных систем:1. Тригонометрическая система (1.4) полна в Cper [−π, π] и неполнав C[−π, π]2.
Система степенных одночленов {xk }∞k=0 полна в C[a, b].3. Тригонометрическая система (1.4) полна в пространствах LC[−π, π] иL2 C[−π, π].Доказательство. Полнота тригонометрической системы в Cper [−π, π] сразу следует из первой теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывнойфункции тригонометрическими многочленами.Покажем, что непрерывную функцию f (x) := x невозможно аппроксимировать тригонометрическими многочленами по равномерной норме (тем самыммы докажем неполноту тригонометрической системы в C[−π, π]). В силу периодичности, для любого тригонометрического многочлена Tn (x) справедливоравенство Tn (−π) = Tn (π). Поэтому тригонометрический многочлен не может приблизиться одновременно к значениям функции f (x) на обоих концахотрезка:||f − Tn (x)||C = max |f (x) − Tn (x)| > max{|f (−π) − Tn (−π)|, |f (π) − Tn (π)|} >[π,π]11(|f (−π) − Tn (−π)| + |f (π) − Tn (π)|) = (|f (−π) − Tn (π)| + |f (π) − Tn (π)|) >221|f (−π) − f (π)| = π.2Полнота системы степенных одночленов в C[−π, π] сразу следует из теоремывторой теоремы Вейерштрасса об аппроксимации.46Я.
М. ДЫМАРСКИЙНаконец, покажем, что произвольную непрерывную функцию f ∈ LC[−π, π]можно сколь угодно близко аппроксимировать по норме || · ||L тригонометрическими многочленами (для пространства L2 C[−π, π] доказательство аналогичное). С этой целью для каждого δ ∈ (0, 1) определим линейные функцииl1 (x) :=f (−π + δ)(x + π),δl2 (x) := −f (π − δ)(x − π)δи непрерывную функцию (рис.
5.6)l1 (x), при x ∈ [−π, −π + δ],fδ = f (x), при x ∈ [−π + δ, π − δ],l2 (x), при x ∈ [π − δ, π]Gr (l1 )Gr (l2 )Рис. 5.6Для произвольного ε > 0 возьмем δ < ε/(4||f ||C ). Поскольку функция fδнепрерывна и fδ (−π) = fδ (π), в силу доказанного п. 1 теоремы, существуеттакой тригонометрический полином Pε , что ||fδ − Pε ||C < ε/(8π). Тогда расстояние от этого полинома до f по норме || · ||L допускает оценку:||f − Pε ||L 6 ||f − fδ ||L + ||fδ − Pε ||L 6−π+δˆˆπ|f (x) − l1 (x)|dx +−π|f (x) − l1 (x)|dx +εε2π 6 4||f ||C · δ + 6 ε. 4π2π−δЗадача 5.22. Докажите, что истема степенных одночленов {xk }∞k=0 полнав пространствах LC[−π, π] и L2 C[−π, π].47ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР§ 6.
Ряд Фурье в бесконечномерном евклидовом пространствеЗдесь мы обсудим ряды Фурье с точки зрения функционального анализакак разложение вектора (функции) евклидового бесконечномерного (функционального) пространства по счетному ортогональному базису.6.1. Бесконечномерное евклидово пространство. Напомним, что линейное пространство L называется евклидовым, если на нем определено скалярное произведение (x, y), аксиомы и свойства которого вы изучали в курселинейной алгебры. Справедливынеравенство Коши-Буняковского (x, y)2 6 (x.x)(y, y), =⇒√√√неравенство треугольника(x + y, x + y) 6 (x, x) + (y, y).(6.1)Евклидово пространство автоматически является нормированным с нормой||x|| := (x, x)1/2 и метрическим с метрикой ρ(x, y) = (x − y, x − y)1/2 .
Проверка аксиом нормы осуществляется с помощью неравенств (6.1), при этом ониприобретают "привычнай вид":неравенство Коши-Буняковского |(x, y)| 6 ||x|| ||y||, =⇒неравенство треугольника ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||.(6.2)Ценность евклидового пространства по сравнению с нормированным в том,что в нем можно измерять углы: cos xd, y := (x, y)/(||x|| · ||y||); значит, в немопределены все понятия классической евклидовой геометрии. В частности, дляпопарно ортогональных векторов xi (i = 1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
