Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 9

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 9 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 92020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Сходимость по норме || · ||C называется равномерной, а сходимости по нормам || · ||L и || · ||L2называются в среднем и среднеквадратичном соответственно.Примеры 5.5. сфер в нормированных пространствах.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР391) На рис. 5.2 изображены единичные сферы ST = {x : ||x||T = 1}, SE ={x : ||x||E = 1} и Smax = {x : ||x||max = 1} в пространствах из примеров 5.4 1a– 1c (при n = 2) соответственно.2) Сфера SC (f, R) = {g : ||f − g||C = R} ⊂ C[a, b] с центром в точке f ирадиусом R представляет собой множество всех непрерывных функций, графики которых находятся внутри R-трубки графика f и хотя бы в одной точкевыходят на границу этой трубки (рис.

5.3).3) Единичная сфера SL = {g : ||g||L = 1} ⊂ LC[a, b] с центром в нулепредставляет собой множество всех непрерывных функций, графики модулейкоторых ограничивают криволинейные трапеции площади один (рис. 5.4).|| x ||E = 1|| x ||max = 1|| x ||T = 1Рис. 5.2y = g ( x)1 (b - a )|| g ||L = 1·abРис. 5.3Рис. 5.4Полные нормированные пространства играют настолько важную роль в функциональном анализе и его приложениях (теории дифференциальных уравненийи уравнений математической физики), что им присвоено имя основного их исследователя:Определение 5.10. Полное нормированное пространство называется банаховым. Примеры 5.6.

1) Конечномерные нормированные пространства полны, 2)пространство C[a, b] полное, 3) пространства CP [a, b], LC[a, b] и L2 C[a, b] неполные (доказательства ниже).В нормированном пространстве присутствует две структуры: линейная иметрическая. Их согласованность выражается в следующем утверждении:40Я. М. ДЫМАРСКИЙЛемма 5.3. В нормированном пространстве L линейные операции и функция нормы непрерывны. Точнее, непрерывны следующие отображения:отображение сдвига Ta : L → L, Ta (x) := x + a,гомотетия Homλ : L → L, Homλ (x) := λ · x,функция нормы N : L → R+0 , N (x) := ||x||.Задача 5.16.

Докажите лемму 5.3.Ситуация, когда в одном линейном пространстве введено две и более норм,типична в функциональном анализе и его приложениях. Поэтому нужно уметьих сравнивать.Определение 5.11. О двух нормах || · ||1 , || · ||2 , заданных на одном и томже линейном пространстве L, говорят || · ||2 не слабее || · ||1 , если существуеттакая постоянная M > 0, что∀x ∈ L ,→ ||x||1 6 M ||x||2 .Пример 5.5. На пространственепрерывных на [a, b] функций норма ||f ||C√2b−a, а норма ||f ||L2 не слабее, чем ||f ||L с темне слабее,чем||f||сM=L√же M = b − a (докажите).Лемма 5.4. (о сходимости в разных нормах) Пусть || · ||2 не слабее || · ||1 .Если последовательность {xn } сходится по норме ||·||2 к x0 , то она тем болеесходится по норме || · ||1 к тому же элементу x0 .Доказательство следует из оценки:||xn − x0 ||1 6 M ||xn − x0 ||2 → 0 при n → ∞.

Следствие 5.1. Если последовательность {fn } непрерывных на [a, b] функций сходится равномерно к (непрерывной) функции f , то она же сходится кf в среднем.Определение 5.12. Две нормы || · ||1 , || · ||2 , заданные на одном и том желинейном пространстве L, называются эквивалентными, если существуюттакие постоянные M > m > 0, что∀x ∈ L ,→ m||x||2 6 ||x||1 6 M ||x||2 . Задача 5.17.

Докажите, что введенное отношение в самом деле являетсяэквивалентностью (т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно). Откудаследует, что множество всех норм разбивается на классы.Задача 5.18. Докажите геометрический критерий эквивалентности норм:две нормы || · ||1 и || · ||2 в одном и том же линейном пространстве эквивалентнытогда и т. т., когда сущетвуют такие R > r > 0, чтоBall2 (r) = {||x||2 6 r} ⊂ Ball1 (1) = {||x||1 6 1} ⊂ Ball2 (R) = {||x||2 = R},причем можно взять R = 1/m, r = 1/M из определения 5.12.

Т.е. единичному шару по первой норме принадлежит шар по второй норме достаточномалого радиуса r, и наоборот – единичный шар по первой норме вложен вшар по второй норме достаточно большого радиуса R. Проиллюстрируйте этоутверждение на пространствах 1a – 1c при n = 2 из примеров 5.4 (рис. 5.2).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР41Задача 5.19. Докажите, что на пространстве непрерывных на [a, b] функций нормы ||f ||C , ||f ||L2 и ||f ||L попарно не эквивалентны. Указание: учитывая,что норма ||f ||C не слабее, чем норма ||f ||L2 , достаточно предъявить последовательность непрерывных функций, у которых норма ||fn ||L2 → 0 при n → ∞,а норма ||fn ||C = const > 0 для всех n ∈ N.В конечномерном пространстве проблемы разных норм нет, посколькуЛемма 5.5.

В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны.Доказательство основано на двух наблюдениях: 1) введение базиса позволяет ограничиться только арифметическими пространствами, 2) посколькутеория непрерывных функций разработана нами в евклидовой норме || · ||E , мыбудем сравнивать произвольную норму с евклидовой.Зафиксируем в n-мерном нормированном пространстве L произвольный базис {e1 , .

. . , en }. Сопоставим вектору x = x1 e1 + . . . + xn en ∈ L вектор x̃ :=(∑n)2 1/2(x1 , . . . xn )T ∈ Vn с евклидовой нормой ||x̃||E =. Определенk=1 xkное отображение является линейным изоморфизмом. С помощью неравенстваКоши-Буняковского получаем оценку сверху:||x|| = ||x1 e1 + . . . + xn en || 6 |x1 | · ||e1 || + . . . + |xn | · ||en || 6(n∑k=1)1/2 (||ek ||2n∑)1/2x2k= M · ||x̃||E ,k=1(∑n)2 1/2где постоянная M =НЕ зависит от вектора xk=1 ||ek ||Чтобы получить оценку снизу, рассмотрим на единичной сфере SE = {x̃ :||x̃||E = 1} ⊂ Vn функциюN : SE → R+0 , N (x̃) := ||x|| = ||x1 e1 + .

. . + xn en ||.Поскольку нулевой вектор 0̃ ∈/ SE функция N (x̃) > 0. Покажем, что функцияN непрерывна; в силу полученной верхней оценки, имеем:|N (x̃) − N (ỹ)| = | ||x|| − ||y|| | 6 ||x − y|| 6 M ||x − y||E .Из теоремы Вейерштрасса следует, что на компактном множестве SE функцияN достигает своего положительного минимума m > 0. Для произвольноговектора x ̸= 0 получаем||x|| = N (x̃) = ||x1 e1 + . . .

+ xn en || = ||x̃||E · ||x1xne1 + . . . +en ||.||x̃||E||x̃||Ex1xnНо вектор ỹ := ( ||x̃||, . . . , ||x̃||)T ∈ SE , поэтомуEE||x|| = ||x̃||E · ||y|| = N (ỹ) · ||x̃||E > m · ||x̃||E . Следствие 5.2. Всякое конечномерное нормированное пространство полное (докажите).42Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 5.1. Из леммы 5.5 и следствия 5.2 вытекат, что “разные” нормированные пространства бывают только бесконечномерными. Обсудим понятие нормированного подпространства.

Если мы говорим обL′ ⊂ L как о нормированном подпространстве, то подразумеваем, чтонорма в нем индуцирована объемлющим пространством. При этом как L, таки L′ могут, независимо друг от друга, быть полными или неполными.Примеры 5.7. нормированных подпространств:1. Подпространство C0 [a, b] ⊂ C[a, b] непрерывных функций f , удовлетворяющих однородному краевому условию f (a) = f (b) = 0, и подпространство Cper [a, b] ⊂ C[a, b] непрерывных функций f , удовлетворяющихпериодическому краевому условию f (a) = f (b), являются полнымив полном пространстве.2. Подпространство полиномов CP [a, b] ⊂ C[a, b] является неполным в полном пространстве.3.

Обозначим через P C[a, b] пространство кусочно-непрерывных функцийс нормой ||f ||sup := sup[a,b] |f (x)|; подпространство C[a, b] ⊂ P C[a, b] является полным в неполном пространстве.4. Обозначим через LP [a, b] пространство полиномов с нормой || · ||L ; Подпространство LP [a, b] ⊂ LC[a, b] является неполным в неполном пространстве.Задача 5.20. Докажите, что подпространства C0 [a, b] ⊂ C[a, b], Cper [a, b](см. примеры 5.7) является полными.Определение 5.13.

Нормированное подпространство L1 ⊂ L называетсяплотным в L, если оно является таковым как метрическое подпространство.Пример 5.6. В пространстве C[a, b] плотно подпространство CP [a, b] всехмногочленов. Из теоремы Вейерштрасса следует, что в любой ε-окрестностиUε (f ) = {g ∈ C[a, b] : ||g−f ||C < ε} непрерывной функции f имеется многочленp ∈ Uε (f ).Теперь логично датьОпределение 5.14. Банахово пространство L называется пополнениемсвоего неполного подпространства L1 ⊂ L, если L1 плотно в L. Пример 5.7. Пространство C[a, b] является пополнением CP [a, b] (доказательство ниже).Для неполных нормированных пространств справедлива теорема, аналогичная теореме 5.1:Теорема 5.3.

Всякое неполное нормированное пространство L1 плотно внекотором банаховом пространстве L, т.е. неполное нормированное пространство всегда можно пополнить. Пополнение единственно с точностьюдо биекции, сохраняющей векторные операции и норму.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР43Обсуждение 5.2. теоремы 5.3. Пространство L как метрическое получается из теоремы 5.1. Остается доказать, что в нем корректно (т.е. единственнымобразом и с сохранением преемственности) доопределяются векторные операции и норма.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее