Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Сходимость по норме || · ||C называется равномерной, а сходимости по нормам || · ||L и || · ||L2называются в среднем и среднеквадратичном соответственно.Примеры 5.5. сфер в нормированных пространствах.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР391) На рис. 5.2 изображены единичные сферы ST = {x : ||x||T = 1}, SE ={x : ||x||E = 1} и Smax = {x : ||x||max = 1} в пространствах из примеров 5.4 1a– 1c (при n = 2) соответственно.2) Сфера SC (f, R) = {g : ||f − g||C = R} ⊂ C[a, b] с центром в точке f ирадиусом R представляет собой множество всех непрерывных функций, графики которых находятся внутри R-трубки графика f и хотя бы в одной точкевыходят на границу этой трубки (рис.
5.3).3) Единичная сфера SL = {g : ||g||L = 1} ⊂ LC[a, b] с центром в нулепредставляет собой множество всех непрерывных функций, графики модулейкоторых ограничивают криволинейные трапеции площади один (рис. 5.4).|| x ||E = 1|| x ||max = 1|| x ||T = 1Рис. 5.2y = g ( x)1 (b - a )|| g ||L = 1·abРис. 5.3Рис. 5.4Полные нормированные пространства играют настолько важную роль в функциональном анализе и его приложениях (теории дифференциальных уравненийи уравнений математической физики), что им присвоено имя основного их исследователя:Определение 5.10. Полное нормированное пространство называется банаховым. Примеры 5.6.
1) Конечномерные нормированные пространства полны, 2)пространство C[a, b] полное, 3) пространства CP [a, b], LC[a, b] и L2 C[a, b] неполные (доказательства ниже).В нормированном пространстве присутствует две структуры: линейная иметрическая. Их согласованность выражается в следующем утверждении:40Я. М. ДЫМАРСКИЙЛемма 5.3. В нормированном пространстве L линейные операции и функция нормы непрерывны. Точнее, непрерывны следующие отображения:отображение сдвига Ta : L → L, Ta (x) := x + a,гомотетия Homλ : L → L, Homλ (x) := λ · x,функция нормы N : L → R+0 , N (x) := ||x||.Задача 5.16.
Докажите лемму 5.3.Ситуация, когда в одном линейном пространстве введено две и более норм,типична в функциональном анализе и его приложениях. Поэтому нужно уметьих сравнивать.Определение 5.11. О двух нормах || · ||1 , || · ||2 , заданных на одном и томже линейном пространстве L, говорят || · ||2 не слабее || · ||1 , если существуеттакая постоянная M > 0, что∀x ∈ L ,→ ||x||1 6 M ||x||2 .Пример 5.5. На пространственепрерывных на [a, b] функций норма ||f ||C√2b−a, а норма ||f ||L2 не слабее, чем ||f ||L с темне слабее,чем||f||сM=L√же M = b − a (докажите).Лемма 5.4. (о сходимости в разных нормах) Пусть || · ||2 не слабее || · ||1 .Если последовательность {xn } сходится по норме ||·||2 к x0 , то она тем болеесходится по норме || · ||1 к тому же элементу x0 .Доказательство следует из оценки:||xn − x0 ||1 6 M ||xn − x0 ||2 → 0 при n → ∞.
Следствие 5.1. Если последовательность {fn } непрерывных на [a, b] функций сходится равномерно к (непрерывной) функции f , то она же сходится кf в среднем.Определение 5.12. Две нормы || · ||1 , || · ||2 , заданные на одном и том желинейном пространстве L, называются эквивалентными, если существуюттакие постоянные M > m > 0, что∀x ∈ L ,→ m||x||2 6 ||x||1 6 M ||x||2 . Задача 5.17.
Докажите, что введенное отношение в самом деле являетсяэквивалентностью (т.е. рефлексивно, симметрично и транзитивно). Откудаследует, что множество всех норм разбивается на классы.Задача 5.18. Докажите геометрический критерий эквивалентности норм:две нормы || · ||1 и || · ||2 в одном и том же линейном пространстве эквивалентнытогда и т. т., когда сущетвуют такие R > r > 0, чтоBall2 (r) = {||x||2 6 r} ⊂ Ball1 (1) = {||x||1 6 1} ⊂ Ball2 (R) = {||x||2 = R},причем можно взять R = 1/m, r = 1/M из определения 5.12.
Т.е. единичному шару по первой норме принадлежит шар по второй норме достаточномалого радиуса r, и наоборот – единичный шар по первой норме вложен вшар по второй норме достаточно большого радиуса R. Проиллюстрируйте этоутверждение на пространствах 1a – 1c при n = 2 из примеров 5.4 (рис. 5.2).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР41Задача 5.19. Докажите, что на пространстве непрерывных на [a, b] функций нормы ||f ||C , ||f ||L2 и ||f ||L попарно не эквивалентны. Указание: учитывая,что норма ||f ||C не слабее, чем норма ||f ||L2 , достаточно предъявить последовательность непрерывных функций, у которых норма ||fn ||L2 → 0 при n → ∞,а норма ||fn ||C = const > 0 для всех n ∈ N.В конечномерном пространстве проблемы разных норм нет, посколькуЛемма 5.5.
В конечномерном пространстве любые две нормы эквивалентны.Доказательство основано на двух наблюдениях: 1) введение базиса позволяет ограничиться только арифметическими пространствами, 2) посколькутеория непрерывных функций разработана нами в евклидовой норме || · ||E , мыбудем сравнивать произвольную норму с евклидовой.Зафиксируем в n-мерном нормированном пространстве L произвольный базис {e1 , .
. . , en }. Сопоставим вектору x = x1 e1 + . . . + xn en ∈ L вектор x̃ :=(∑n)2 1/2(x1 , . . . xn )T ∈ Vn с евклидовой нормой ||x̃||E =. Определенk=1 xkное отображение является линейным изоморфизмом. С помощью неравенстваКоши-Буняковского получаем оценку сверху:||x|| = ||x1 e1 + . . . + xn en || 6 |x1 | · ||e1 || + . . . + |xn | · ||en || 6(n∑k=1)1/2 (||ek ||2n∑)1/2x2k= M · ||x̃||E ,k=1(∑n)2 1/2где постоянная M =НЕ зависит от вектора xk=1 ||ek ||Чтобы получить оценку снизу, рассмотрим на единичной сфере SE = {x̃ :||x̃||E = 1} ⊂ Vn функциюN : SE → R+0 , N (x̃) := ||x|| = ||x1 e1 + .
. . + xn en ||.Поскольку нулевой вектор 0̃ ∈/ SE функция N (x̃) > 0. Покажем, что функцияN непрерывна; в силу полученной верхней оценки, имеем:|N (x̃) − N (ỹ)| = | ||x|| − ||y|| | 6 ||x − y|| 6 M ||x − y||E .Из теоремы Вейерштрасса следует, что на компактном множестве SE функцияN достигает своего положительного минимума m > 0. Для произвольноговектора x ̸= 0 получаем||x|| = N (x̃) = ||x1 e1 + . . .
+ xn en || = ||x̃||E · ||x1xne1 + . . . +en ||.||x̃||E||x̃||Ex1xnНо вектор ỹ := ( ||x̃||, . . . , ||x̃||)T ∈ SE , поэтомуEE||x|| = ||x̃||E · ||y|| = N (ỹ) · ||x̃||E > m · ||x̃||E . Следствие 5.2. Всякое конечномерное нормированное пространство полное (докажите).42Я. М. ДЫМАРСКИЙЗамечание 5.1. Из леммы 5.5 и следствия 5.2 вытекат, что “разные” нормированные пространства бывают только бесконечномерными. Обсудим понятие нормированного подпространства.
Если мы говорим обL′ ⊂ L как о нормированном подпространстве, то подразумеваем, чтонорма в нем индуцирована объемлющим пространством. При этом как L, таки L′ могут, независимо друг от друга, быть полными или неполными.Примеры 5.7. нормированных подпространств:1. Подпространство C0 [a, b] ⊂ C[a, b] непрерывных функций f , удовлетворяющих однородному краевому условию f (a) = f (b) = 0, и подпространство Cper [a, b] ⊂ C[a, b] непрерывных функций f , удовлетворяющихпериодическому краевому условию f (a) = f (b), являются полнымив полном пространстве.2. Подпространство полиномов CP [a, b] ⊂ C[a, b] является неполным в полном пространстве.3.
Обозначим через P C[a, b] пространство кусочно-непрерывных функцийс нормой ||f ||sup := sup[a,b] |f (x)|; подпространство C[a, b] ⊂ P C[a, b] является полным в неполном пространстве.4. Обозначим через LP [a, b] пространство полиномов с нормой || · ||L ; Подпространство LP [a, b] ⊂ LC[a, b] является неполным в неполном пространстве.Задача 5.20. Докажите, что подпространства C0 [a, b] ⊂ C[a, b], Cper [a, b](см. примеры 5.7) является полными.Определение 5.13.
Нормированное подпространство L1 ⊂ L называетсяплотным в L, если оно является таковым как метрическое подпространство.Пример 5.6. В пространстве C[a, b] плотно подпространство CP [a, b] всехмногочленов. Из теоремы Вейерштрасса следует, что в любой ε-окрестностиUε (f ) = {g ∈ C[a, b] : ||g−f ||C < ε} непрерывной функции f имеется многочленp ∈ Uε (f ).Теперь логично датьОпределение 5.14. Банахово пространство L называется пополнениемсвоего неполного подпространства L1 ⊂ L, если L1 плотно в L. Пример 5.7. Пространство C[a, b] является пополнением CP [a, b] (доказательство ниже).Для неполных нормированных пространств справедлива теорема, аналогичная теореме 5.1:Теорема 5.3.
Всякое неполное нормированное пространство L1 плотно внекотором банаховом пространстве L, т.е. неполное нормированное пространство всегда можно пополнить. Пополнение единственно с точностьюдо биекции, сохраняющей векторные операции и норму.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР43Обсуждение 5.2. теоремы 5.3. Пространство L как метрическое получается из теоремы 5.1. Остается доказать, что в нем корректно (т.е. единственнымобразом и с сохранением преемственности) доопределяются векторные операции и норма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
