Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Вывод 2: в пространстве D′присутствует по одному представителю fd каждой локально интегрируемойфункции f . Значит, пространство D′ не уже, чем пространство локально интегрируемых функций.Доказательство демонстрирует возможности применения функции (10.1)“шапочка”. Импликация f = g ⇒ fd = gd очевидна. Допустим, что обратная импликация неверна. Тогда в некоторой точке x0 классические функции различаются: f (x0 ) ̸= g(x0 ).
В силу непрерывности функций, найдетсяε-окрестность точки x0 , в которой функция h(x) := f (x) − g(x) сохраняет знак.Возьмем в качестве пробной функции “шапочку”, ширины ε, сдвинутую в точкуx0 . Тогда:ˆ x0 +ε(fd , η(x − x0 , ε)) − (gd , η(x − x0 , ε)) =h(x)η(x − x0 , ε)dx ̸= 0. x0 −εТеперь нужно убедиться, что среди обобщенных функций есть отличные отрегулярных, иначе вся конструкция окажется бесполезной. Сначала дадим имназвание:Определение 10.9. Обобщенные функции, не являющиеся регулярными,называются сингулярными.Лемма 10.4.
(о существовании сингулярных обобщенных функций) Дельта-функция Дирака δ(φ) = φ(0) является сингулярной функцией.Доказательство. Линейность функционала δ очевидна. Докажем его непрерывность. Если φk → 0 в D при k → ∞, то тем более числовая последовательность φk (0) → 0 при k → ∞.
Значит, дельта-функция – элемент пространстваD′ . Остается показать, что это именно сингулярный элемент. Допустим противное: существует такая локально интегрируемая функция h : R → R, чтоˆ +∞∀φ ∈ D ,→h(x)φ(x) dx = φ(0).−∞Возьмем в качестве пробной функции “шапочку” ширины a. Заметим, чтоmax η(x; a) = η(0; a) = e−1 . Тогда для любого a > 0 верно:x∈Rˆˆaη(0; a) =−ah(x)η(x; a) dx 6 η(0; a)ˆa−a|h(x)| dx ⇒a−a|h(x)| dx > 1.С другой стороны, в силу´ a локальной интегрируемости функции h, справедливопредельное равенство: −a |h(x)|dx → +0 при a → +0.
Противоречие. Хотя дельта-функция сингулярна, существуют последовательности регулярных функций, которые к ней сходятся в D′ (см. определение 10.6).Примеры последовательностей регулярных обобщенных функций, сходящихся к дельта-функции:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР911. Пусть (1/π)Dn (x) (n = 0, 1, 2, ...) – последовательность нормированныхядер Дирихле (см. определение 2.1 и лемму 2.1). Переопределим ихнулем вне периода:{D̂n (x) :=(1/π)Dn (x), |x| < π,0,|x| > π,D′Последовательность D̂n → δ при n → ∞.2. Пусть (1/π)Φn (x) (n = 0, 1, 2, ...) – последовательность нормированныхядер Фейера (см.
определение 4.1 и лемму 4.2). Поступим аналогичнопримеру 1:{(1/π)Φn (x), |x| < π,Φ̂n (x) :=0,|x| > π,D′Последовательность Φ̂n → δ при n → ∞.3. Последовательность “растущих столбиков”:{hn (x) :=n, |x| <0, |x| >12n ,12n ,D′Последовательность hn → δ при n → ∞.Замечание. Теперь, сопоставляя определение дельта-функции с доказательствами теорем 2.1 (принцип локализации) и 4.1, понятно, что последние являются по сути обоснованием предельных переходов ядер D̂n и Φ̂n к дельта-функциив пространстве D′ .D′Задача.
Докажите, что hn → δ при n → ∞. Указание: достаточно показать,что ∀φ ∈ D верно предельное равенствоˆlim (hn , φ) = (δ, φ) := φ(0) ⇔ limn→∞n→∞1/2n−1/2nhn (x)φ(x)dx = φ(0).Возникает естественный вопрос: можно ли произвольную сингулярную обобщенную функцию аппроксимировать в D′ последовательностью регулярных?Ответ на этот вопрос положительный; более того, можно обойтись только пробными функциями. Без доказательства примем к сведению:Теорема 10.1. Каждая обобщенная функция f ∈ D′ есть слабый пределпоследовательности функций из D, трактуемых как регулярные обобщенныефункции.Обсуждение.
Утверждение теоремы 10.1, в частности, означает, что сопряженное пространство D′ шире пространства D, которое его породило. Это явление, конечно, связано с неполнотой D как линейного подмногообразия Dd ⊂ D′относительно слабой топологии (определение 10.6 п. 2). Отметим, что пространство D в своей топологии (см. определение 10.4) является полным.92Я.
М. ДЫМАРСКИЙ10.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую.Определение 10.10. Для произвольной обобщенной функции f ∈ D′ и бесконечно дифференцируемой α ∈ C ∞ (R) положимαf ∈ D′ : ∀φ ∈ D ,→ (αf, φ) := (f, αφ).(10.3)Лемма 10.5. (корректность определения) Введенное произведение:1. является обобщенной функцией;2. обладает дистрибутивностью по каждому сомножителю:(α + β)(f + g) = αf + αg + βf + βg;3. сохраняет преемственность: если fd – регулярная обобщенная функция, то αfd = (αf )d .Замечание. О коммутативности умножения говорить бессмысленно, поскольку сомножители в общем случае из разных пространств.Доказательство.
Функционал (10.3) линеен и непрерывен (докажите!), чтообосновывает п. 1.Докажем п. 3. Т.е. докажем, чтоˆ∀φ ∈ D ,→ (αfd , φ) =+∞α(x)f (x)φ(x)dx.−∞Но, согласно определению (10.3) и определению (10.2) регулярной функции,имеем:ˆ +∞∀φ ∈ D ,→ (αfd , φ) := (fd , αφ) =f (x)α(x)φ(x)dx. −∞Задача. Докажите п. 2 леммы 10.5.Поскольку дельта-функция является одним из основных инструментов конструирования обобщенных функций с нужными свойствами, полезна следующаяЛемма 10.6. (об умножении на дельта-функцию) Пусть α ∈ C ∞ (R). Тогда α(x)δ(x) = α(0)δ(x).Доказательство. Для произвольной функции φ ∈ D верно:(αδ, φ) := (δ, αφ) = (αφ)(0) := α(0)φ(0) = α(0)(δ, φ).
10.6. Дифференцирование обобщенных функций. В начале двадцатого века были обнаружены “решения” уравнений математической физики, которые не имели производных в классическом понимании. Если же трактоватьэти “решения” как обобщенные функции, то проблема их дифференцированияпреодолевается.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР93Пусть сначала f ∈ C 1 (R). В этом случае существует непрерывная производная f ′ ∈ C 1 (R), которую мы уже умеем трактовать как обобщенную регулярную функцию.
Применим определение (10.2) и проинтегрируем по частям,пользуясь финитностью пробных функций, получим:ˆ +∞ˆ +∞∀φ ∈ D ,→ ((f ′ )d , φ) =f ′ (x)φ(x)dx = −f (x)φ′ (x)dx = −(fd , φ′ ).−∞−∞Преимущество полученного выражения по сравнению с исходным в том, что внем на функцию f дифференцирование не распространяется – оно перенесенона пробную функцию.
(Заметим, что этот же прием “перенесения” на пробную функцию уже применялся в определении 10.10 умножения на обобщеннуюфункцию.) Теперь мы можем предложитьОпределение 10.11. Производной обобщенной функции f ∈ D′ называется обобщенная функция f ′ ∈ D′ , которая определяется формулой(f ′ , φ) := −(f, φ′ ) для произвольной пробной функции φ ∈ D.(10.4)Лемма 10.7. Определение 10.11 корректно:1. функционал в правой части формулы (10.4) определен на D, линеен инепрерывен;2. соблюден принцип преемственности: если f ∈ C 1 (R), то (fd )′ = (f ′ )d .Задача. Докажите лемму 10.7.
Указания: 1) воспользуйтесь финитностьюи бесконечной дифференцируемостью функций φ ∈ D; 2) см. мотивацию передопределением 10.11.Замечательно, что остаются неизменными основныеТеорема 10.2. свойства дифференцирования:1. линейность:∀f1 , f2 ∈ D′ & ∀a, b ∈ R ,→ (af1 + bf2 )′ = af1′ + bf2′ ;2. непрерывность при слабой сходимости:D′D′если fk → f при k → ∞ ⇒ fk′ → f ′ при k → ∞.3.
правило Лейбница:∀α ∈ C ∞ (R) ∀f ∈ D′ ,→ (αf )′ = α′ f + αf ′ .Доказательство п. 2: для произвольной функции φ ∈ DD′(fk′ , φ) = −(fk , φ′ ) → −(f, φ′ ) = (f ′ , φ).k→∞Доказательство п .3: для произвольной функции φ ∈ D((αf )′ , φ) = −(αf, φ′ ) = (f, −αφ′ ) = (f, α′ φ − (αφ)′ ) =(α′ f, φ) + (f ′ , αφ) = (α′ f, φ) + (αf ′ , φ) = (α′ f + αf ′ , φ). Задача. Докажите п. 1 теоремы 10.2Естественно следующее94Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 10.12. Производная n-го порядка задается формулой(f (n) , φ) := (−1)n (f, φ(n) ) для произвольной пробной функции φ ∈ D.Следствие 10.1. Обобщенные функции имеют производные любого порядка.Примеры дифференцирования обобщенных функций.1) Продифференцируем функцию-ступеньку – функцию Хевисайда (Оливер Хевисайд, 1850-1925):{0, если x < 0,θ(x) :=1, если x > 0.Для регулярной обобщенной функции θ ∈ D′ и произвольной функции φ ∈ Dполучаем:ˆ +∞(θ′ , φ) = −(θ, φ′ ) −1 · φ′ (x)dx = φ(0) = (δ, φ).0′Значит, θ(x) = δ(x).2) Пусть функция f непрерывно дифференцируема всюду, кроме x0 – точкиразрыва и скачка производной; причем сама функция испытывает скачок h(x0 ).Тогда ее обобщенная производная равна сумме fd′ = f ′ + h(x0 )δ(x − x0 ), гдеслагаемое f ′ понимается как регулярная обобщенная функция.
(Докажите!)3) Продифференцируем регулярную обобщенную функцию f (x) = xθ(x),воспользовавшись правилом Лейбница, предыдущим примером и леммой 10.6:(xθ(x))′ = 1 · θ(x) + xδ(x) = θ(x) + 0δ(x) = θ(x).Этот результат выглядит естественно, поскольку функция f (x) = xθ(x) кусочно-гладкая (см. рис. ???)Рис. ???4) Найдем производную дельта-функции:∀φ ∈ D : (δ ′ , φ) = −(δ, φ′ ) = −φ′ (0).5) Рассмотрим 2π-периодическую, кусочно непрерывную и кусочно дифференцируемую функцию “пила” π+x − 2 , если − π 6 x < 0,f (x) :=0,если x = 0, π−x,если0 < x 6 π.2Обобщенная производная этой функции равна+∞∑1δ(x − 2πk).fd′ (x) = − + π2k=−∞Поскольку обобщенная функция fd′ (x) действует только на финитные пробныефункции, проблем с бесконечной суммой сдвинутых на 2πk дельта-функций неЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР95возникает.
С другой стороны, данная функция раскладывается в ряд Фурье,который сходится к ней в каждой точке:f (x) =∞∑sin(kx)k=1k.Формальное почленное дифференцирование приводит к рядуf ′ (x) ∼∞∑cos(kx),k=1который расходится в каждой точке (в этом нетрудно убедиться, поскольку ча′стичная сумма ряда выражается∑∞ через ядро Дирихле по формуле F Sn (f , x) =Dn (x) − 1/2). Однако ряд k=1 (cos(kx))d , рассматриваемый в пространствеD′ , сходится к обобщенной функции fd′ ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
