Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 20

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 20 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 202020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Вывод 2: в пространстве D′присутствует по одному представителю fd каждой локально интегрируемойфункции f . Значит, пространство D′ не уже, чем пространство локально интегрируемых функций.Доказательство демонстрирует возможности применения функции (10.1)“шапочка”. Импликация f = g ⇒ fd = gd очевидна. Допустим, что обратная импликация неверна. Тогда в некоторой точке x0 классические функции различаются: f (x0 ) ̸= g(x0 ).

В силу непрерывности функций, найдетсяε-окрестность точки x0 , в которой функция h(x) := f (x) − g(x) сохраняет знак.Возьмем в качестве пробной функции “шапочку”, ширины ε, сдвинутую в точкуx0 . Тогда:ˆ x0 +ε(fd , η(x − x0 , ε)) − (gd , η(x − x0 , ε)) =h(x)η(x − x0 , ε)dx ̸= 0. x0 −εТеперь нужно убедиться, что среди обобщенных функций есть отличные отрегулярных, иначе вся конструкция окажется бесполезной. Сначала дадим имназвание:Определение 10.9. Обобщенные функции, не являющиеся регулярными,называются сингулярными.Лемма 10.4.

(о существовании сингулярных обобщенных функций) Дельта-функция Дирака δ(φ) = φ(0) является сингулярной функцией.Доказательство. Линейность функционала δ очевидна. Докажем его непрерывность. Если φk → 0 в D при k → ∞, то тем более числовая последовательность φk (0) → 0 при k → ∞.

Значит, дельта-функция – элемент пространстваD′ . Остается показать, что это именно сингулярный элемент. Допустим противное: существует такая локально интегрируемая функция h : R → R, чтоˆ +∞∀φ ∈ D ,→h(x)φ(x) dx = φ(0).−∞Возьмем в качестве пробной функции “шапочку” ширины a. Заметим, чтоmax η(x; a) = η(0; a) = e−1 . Тогда для любого a > 0 верно:x∈Rˆˆaη(0; a) =−ah(x)η(x; a) dx 6 η(0; a)ˆa−a|h(x)| dx ⇒a−a|h(x)| dx > 1.С другой стороны, в силу´ a локальной интегрируемости функции h, справедливопредельное равенство: −a |h(x)|dx → +0 при a → +0.

Противоречие. Хотя дельта-функция сингулярна, существуют последовательности регулярных функций, которые к ней сходятся в D′ (см. определение 10.6).Примеры последовательностей регулярных обобщенных функций, сходящихся к дельта-функции:ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР911. Пусть (1/π)Dn (x) (n = 0, 1, 2, ...) – последовательность нормированныхядер Дирихле (см. определение 2.1 и лемму 2.1). Переопределим ихнулем вне периода:{D̂n (x) :=(1/π)Dn (x), |x| < π,0,|x| > π,D′Последовательность D̂n → δ при n → ∞.2. Пусть (1/π)Φn (x) (n = 0, 1, 2, ...) – последовательность нормированныхядер Фейера (см.

определение 4.1 и лемму 4.2). Поступим аналогичнопримеру 1:{(1/π)Φn (x), |x| < π,Φ̂n (x) :=0,|x| > π,D′Последовательность Φ̂n → δ при n → ∞.3. Последовательность “растущих столбиков”:{hn (x) :=n, |x| <0, |x| >12n ,12n ,D′Последовательность hn → δ при n → ∞.Замечание. Теперь, сопоставляя определение дельта-функции с доказательствами теорем 2.1 (принцип локализации) и 4.1, понятно, что последние являются по сути обоснованием предельных переходов ядер D̂n и Φ̂n к дельта-функциив пространстве D′ .D′Задача.

Докажите, что hn → δ при n → ∞. Указание: достаточно показать,что ∀φ ∈ D верно предельное равенствоˆlim (hn , φ) = (δ, φ) := φ(0) ⇔ limn→∞n→∞1/2n−1/2nhn (x)φ(x)dx = φ(0).Возникает естественный вопрос: можно ли произвольную сингулярную обобщенную функцию аппроксимировать в D′ последовательностью регулярных?Ответ на этот вопрос положительный; более того, можно обойтись только пробными функциями. Без доказательства примем к сведению:Теорема 10.1. Каждая обобщенная функция f ∈ D′ есть слабый пределпоследовательности функций из D, трактуемых как регулярные обобщенныефункции.Обсуждение.

Утверждение теоремы 10.1, в частности, означает, что сопряженное пространство D′ шире пространства D, которое его породило. Это явление, конечно, связано с неполнотой D как линейного подмногообразия Dd ⊂ D′относительно слабой топологии (определение 10.6 п. 2). Отметим, что пространство D в своей топологии (см. определение 10.4) является полным.92Я.

М. ДЫМАРСКИЙ10.5. Умножение обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую.Определение 10.10. Для произвольной обобщенной функции f ∈ D′ и бесконечно дифференцируемой α ∈ C ∞ (R) положимαf ∈ D′ : ∀φ ∈ D ,→ (αf, φ) := (f, αφ).(10.3)Лемма 10.5. (корректность определения) Введенное произведение:1. является обобщенной функцией;2. обладает дистрибутивностью по каждому сомножителю:(α + β)(f + g) = αf + αg + βf + βg;3. сохраняет преемственность: если fd – регулярная обобщенная функция, то αfd = (αf )d .Замечание. О коммутативности умножения говорить бессмысленно, поскольку сомножители в общем случае из разных пространств.Доказательство.

Функционал (10.3) линеен и непрерывен (докажите!), чтообосновывает п. 1.Докажем п. 3. Т.е. докажем, чтоˆ∀φ ∈ D ,→ (αfd , φ) =+∞α(x)f (x)φ(x)dx.−∞Но, согласно определению (10.3) и определению (10.2) регулярной функции,имеем:ˆ +∞∀φ ∈ D ,→ (αfd , φ) := (fd , αφ) =f (x)α(x)φ(x)dx. −∞Задача. Докажите п. 2 леммы 10.5.Поскольку дельта-функция является одним из основных инструментов конструирования обобщенных функций с нужными свойствами, полезна следующаяЛемма 10.6. (об умножении на дельта-функцию) Пусть α ∈ C ∞ (R). Тогда α(x)δ(x) = α(0)δ(x).Доказательство. Для произвольной функции φ ∈ D верно:(αδ, φ) := (δ, αφ) = (αφ)(0) := α(0)φ(0) = α(0)(δ, φ).

10.6. Дифференцирование обобщенных функций. В начале двадцатого века были обнаружены “решения” уравнений математической физики, которые не имели производных в классическом понимании. Если же трактоватьэти “решения” как обобщенные функции, то проблема их дифференцированияпреодолевается.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР93Пусть сначала f ∈ C 1 (R). В этом случае существует непрерывная производная f ′ ∈ C 1 (R), которую мы уже умеем трактовать как обобщенную регулярную функцию.

Применим определение (10.2) и проинтегрируем по частям,пользуясь финитностью пробных функций, получим:ˆ +∞ˆ +∞∀φ ∈ D ,→ ((f ′ )d , φ) =f ′ (x)φ(x)dx = −f (x)φ′ (x)dx = −(fd , φ′ ).−∞−∞Преимущество полученного выражения по сравнению с исходным в том, что внем на функцию f дифференцирование не распространяется – оно перенесенона пробную функцию.

(Заметим, что этот же прием “перенесения” на пробную функцию уже применялся в определении 10.10 умножения на обобщеннуюфункцию.) Теперь мы можем предложитьОпределение 10.11. Производной обобщенной функции f ∈ D′ называется обобщенная функция f ′ ∈ D′ , которая определяется формулой(f ′ , φ) := −(f, φ′ ) для произвольной пробной функции φ ∈ D.(10.4)Лемма 10.7. Определение 10.11 корректно:1. функционал в правой части формулы (10.4) определен на D, линеен инепрерывен;2. соблюден принцип преемственности: если f ∈ C 1 (R), то (fd )′ = (f ′ )d .Задача. Докажите лемму 10.7.

Указания: 1) воспользуйтесь финитностьюи бесконечной дифференцируемостью функций φ ∈ D; 2) см. мотивацию передопределением 10.11.Замечательно, что остаются неизменными основныеТеорема 10.2. свойства дифференцирования:1. линейность:∀f1 , f2 ∈ D′ & ∀a, b ∈ R ,→ (af1 + bf2 )′ = af1′ + bf2′ ;2. непрерывность при слабой сходимости:D′D′если fk → f при k → ∞ ⇒ fk′ → f ′ при k → ∞.3.

правило Лейбница:∀α ∈ C ∞ (R) ∀f ∈ D′ ,→ (αf )′ = α′ f + αf ′ .Доказательство п. 2: для произвольной функции φ ∈ DD′(fk′ , φ) = −(fk , φ′ ) → −(f, φ′ ) = (f ′ , φ).k→∞Доказательство п .3: для произвольной функции φ ∈ D((αf )′ , φ) = −(αf, φ′ ) = (f, −αφ′ ) = (f, α′ φ − (αφ)′ ) =(α′ f, φ) + (f ′ , αφ) = (α′ f, φ) + (αf ′ , φ) = (α′ f + αf ′ , φ). Задача. Докажите п. 1 теоремы 10.2Естественно следующее94Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 10.12. Производная n-го порядка задается формулой(f (n) , φ) := (−1)n (f, φ(n) ) для произвольной пробной функции φ ∈ D.Следствие 10.1. Обобщенные функции имеют производные любого порядка.Примеры дифференцирования обобщенных функций.1) Продифференцируем функцию-ступеньку – функцию Хевисайда (Оливер Хевисайд, 1850-1925):{0, если x < 0,θ(x) :=1, если x > 0.Для регулярной обобщенной функции θ ∈ D′ и произвольной функции φ ∈ Dполучаем:ˆ +∞(θ′ , φ) = −(θ, φ′ ) −1 · φ′ (x)dx = φ(0) = (δ, φ).0′Значит, θ(x) = δ(x).2) Пусть функция f непрерывно дифференцируема всюду, кроме x0 – точкиразрыва и скачка производной; причем сама функция испытывает скачок h(x0 ).Тогда ее обобщенная производная равна сумме fd′ = f ′ + h(x0 )δ(x − x0 ), гдеслагаемое f ′ понимается как регулярная обобщенная функция.

(Докажите!)3) Продифференцируем регулярную обобщенную функцию f (x) = xθ(x),воспользовавшись правилом Лейбница, предыдущим примером и леммой 10.6:(xθ(x))′ = 1 · θ(x) + xδ(x) = θ(x) + 0δ(x) = θ(x).Этот результат выглядит естественно, поскольку функция f (x) = xθ(x) кусочно-гладкая (см. рис. ???)Рис. ???4) Найдем производную дельта-функции:∀φ ∈ D : (δ ′ , φ) = −(δ, φ′ ) = −φ′ (0).5) Рассмотрим 2π-периодическую, кусочно непрерывную и кусочно дифференцируемую функцию “пила” π+x − 2 , если − π 6 x < 0,f (x) :=0,если x = 0, π−x,если0 < x 6 π.2Обобщенная производная этой функции равна+∞∑1δ(x − 2πk).fd′ (x) = − + π2k=−∞Поскольку обобщенная функция fd′ (x) действует только на финитные пробныефункции, проблем с бесконечной суммой сдвинутых на 2πk дельта-функций неЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР95возникает.

С другой стороны, данная функция раскладывается в ряд Фурье,который сходится к ней в каждой точке:f (x) =∞∑sin(kx)k=1k.Формальное почленное дифференцирование приводит к рядуf ′ (x) ∼∞∑cos(kx),k=1который расходится в каждой точке (в этом нетрудно убедиться, поскольку ча′стичная сумма ряда выражается∑∞ через ядро Дирихле по формуле F Sn (f , x) =Dn (x) − 1/2). Однако ряд k=1 (cos(kx))d , рассматриваемый в пространствеD′ , сходится к обобщенной функции fd′ ..

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее