Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 19
Текст из файла (страница 19)
В классическом понимании функция f : R → R – это правило (=закон), которое каждому числу ставит в соответствие какое-то единственное число. Если интерпретировать функцию каксигнал, зависящий от времени, то восстановить его можно только по результатам измерений с помощью физического прибора. Математически исследуемаяфункция “измеряется” пробными функциями с помощью некоторой линейнойоперации. Линейность означает выполнение физического “принципа суперпозиции”. Пробные функции должны быть, во-первых, “идеальными” (= бесконечно дифференцируемыми), чтобы с ними было удобно работать. Во-вторых,их должно быть достаточно много, чтобы различать разные сигналы f , но небыло лишних, чтобы не повторять бесполезные измерения.Реализация этой идеи такова.1. “Измерение” классической функции f с помощью пробной функции:(a) пробные функции φ бесконечно-дифференцируемы и удовлетворяютнекоторым дополнительным условиям на ±∞;(b) результат измерения данной функциипробной – интегральное ска´лярное произведение (f, φ) := R f φ dx.Пространство D всех пробных функций должно быть настолько широким, чтобы для любых разных классических функций f1 ̸= f2 нашласьпробная, которая позволит их различить: (f1 , φ) ̸= (f2 , φ).2.
Следующий – принципиальный – шаг состоит в том, чтобы трактоватьклассическую функцию f как линейный функционал fd на D, т.е.fd : D → R,fd (φ) := (f, φ)(d = distribution = распределение – распространенное название обобщенной функции).3. Последний шаг: рассматривать не только те линейные функционалы,которые порождены интегральным скалярным произведением, а всевозможные линейные непрерывные функционалы на D – это иесть пространство D′ обобщенных функций.Пример. Дельта-функция Дирака – это линейный непрерывный функционал δ(φ) := φ(0), который не представим в виде интегрального скалярногопроизведения (доказательство ниже).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР8710.2. Пространство D основных (пробных) функций.Определение 10.1. Носителем функции φ : R → R называется замыкание множества, на котором функция отлична от нуля:supp φ := {x ∈ R : φ(x) ̸= 0}.Определение 10.2.
Функция φ : R → R называется финитной, если ееноситель ограниченное множество.Определение 10.3. Пространством основных функций называется линейное функциональное пространство D, элементами которого являются бесконечно дифференцируемые финитные функции.Обсуждение. Линейные операции в пространстве D осуществляются, как ив ранее введенных функциональных пространствах, поточечно:(φ1 + φ2 )(x) := φ1 (x) + φ2 (x), (λ · φ)(x) := λ · φ(x);при этом они не выводят из пространства D.Задача. Положим ∀φ ∈ D и ∀α ∈ C ∞ (R) по определению: (φ · α)(x) :=φ(x) · α(x). Докажите, что φ · α ∈ D.Пример. Элементом пространства D является функция “шапочка” шириныa (см.
рис. ???){2η(x; a) :=e− a2a−x20,, |x| < a,|x| > a,(10.1)которая удобна для конструирования функций с нужными свойствами.Задача. Докажите, что функция η бесконечно дифференцируема (трудность представляют точки “стыковки” x = ±a).Рис. ???В отличие от других ранее рассмотренных нами функциональных пространств,в D мы не вводим норму (чему есть серьезные причины), но даемОпределение 10.4.
Последовательность {φk }∞k=1 ⊂ D называется сходящейся к φ, если1. ∃[a, b] ⊂ R : ∀k ∈ N ,→ supp φk ⊂ [a, b];(n)2. ∀n ∈ {0} ∪ N ,→ φk (x) ⇒ φ(n) (x) при k → ∞.x∈RЛемма 10.1. (о согласованности операций и сходимости) Если последовательности φk → φ и ψk → ψ в D при k → ∞, и α ∈ C ∞ (R), то∀a, b ∈ R ,→ aφk + bψk → aφ + bψ, α · φk → α · φ при k → ∞.Задача. Докажите лемму 10.1.Примем к сведению основной принцип рассуждений в теории обобщенных функций: все рассуждения осуществляются или поэлементно на D(т.е. проверяются для произвольного фиксированного φ ∈ D) или через произвольную сходящуюся последовательности в D.88Я.
М. ДЫМАРСКИЙ10.3. Пространство D′ обобщенных функций. Напомним, что отображение f : D → R называется линейным функционалом, если оно сохраняетлинейные операции:∀φ, ψ ∈ D & ∀a, b ∈ R ,→ f (aφ + bψ) = af (φ) + bf (ψ).Обозначение. Значение линейного функционала f на элементе φ ∈ D будем обозначать как скалярное произведение: f (φ) = (f, φ).Определение 10.5. Линейный функционал f : D → R называется непрерывным, если для любой сходящейся последовательности φk → 0 в D выполняется сходимость для числовой последовательности: (f, φk ) → 0 ∈ R приk → ∞.Обсуждение.
Определение непрерывности дано по принципу Гейне. Заметим, что непрерывность функционала на всем D проверяется только в единственной точке 0 ∈ D. Это объясняется линейностью отображения f .Задача. Пусть выполнено определение 10.5. Пусть последовательностьφk → φ в D при k → ∞. Докажите, что числовая последовательность (f, φk ) →(f, φ) при k → ∞.Дадим основноеОпределение 10.6.
Обобщенной функцией называется линейный непрерывный функционал f : D → R. Пространством обобщенных функцийD′ называется линейное пространство линейных непрерывных функционаловна D, в котором линейные операции и сходимость определяются поэлементнона D:1. ∀f1 , f2 ∈ D′ & ∀a, b ∈ R & ∀φ ∈ D ,→ (af1 + bf2 , φ) = a(f1 , φ) + b(f2 , φ);′2. последовательность {fk }∞k=1 ⊂ D обобщенных функций называется сходящейся к обобщенной функции f ∈ D′ , если∀φ ∈ D ,→ (fk , φ) → (f, φ) при k → ∞.Замечание. Определить (=задать) обобщенную функцию f ∈ D′ означает: 1) определить ее значения на каждой пробной функции φ ∈ D; 2)убедиться, что зависимость линейная; 3) убедиться, что зависимость непрерывная.Терминология.
Поэлементная сходимость, введенная в определении 10.6, называется слабой. Пространство D′ непрерывных линейных функционалов наD, в котором введена слабая сходимость, называется сопряженным к D (т.е.сохраняется терминология линейной алгебры).10.4. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.
Сейчас обсудим вопрос, как классические функции представлены среди обобщенных.В теории преобразований Фурье мы уже использовали такие функции:Определение 10.7. Функция f : R → R называется локально интегрируемой, если она абсолютно интегрируема на любом отрезке [a, b] ⊂ R.Примеры. Абсолютно интегрируемые на R функции и кусочно-непрерывныена R функции являются локально интегрируемыми.
Заметим, что все пробныефункции φ ∈ D очевидно локально интегрируемы.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР89Определение 10.8. Обобщенная функция fd называется регулярной, если она имеет представление в виде интегрального скалярного произведения,порожденного локально интегрируемой функцией f ; т.е.ˆ +∞∀φ ∈ D ,→ (fd , φ) :=f (x)φ(x) dx.(10.2)−∞Обозначение. Классические и обобщенные функции мы будем обозначатьединообразно – так принято в литературе и внутренне обосновано.
Если жехотим подчеркнуть, что имеем дело с регулярной обобщенной функцией, тобудем обозначать ее fd .Лемма 10.2. (корректность определения 10.8) Справедливы утверждения:1. Функционал, задаваемый формулой (10.2), является линейным и непрерывным, т.е. элементом пространства D′ .2.
Формула (10.2) сохраняет линейные операции с функциями: для любыхлокально интегрируемых функций f и g и произвольных a, b ∈ R верно:(af + bg)d = afd + bfd .Доказательство. Поскольку функция φ ∈ D финитна, интегрирование вформуле (10.2) осуществляется на конечном отрезке [a, b]. Из абсолютной интегрируемости на [a, b] функции f (см.
определение 10.7) и непрерывности функции φ следует абсолютная интегрируемость на [a, b] произведения f φ. Значит,формула (10.2) задает функционал на всем пространстве D. Его линейностьследует из линейности интеграла.DДокажем непрерывность функционала. Пусть φk → 0 при k → ∞. Этоозначает (определение 10.4), что существует отрезок [c, d], содержащий носители всех функций φk (k ∈ N) и φk (x) ⇒ 0 при k → ∞. Поэтомуx∈Rˆ|(f, φk )| = df (x)φk (x)dx 6cˆdmax |φk (x)| ·x∈[c,d]|f (x)|dx → 0 при k → ∞.cПервый пункт доказан.
Задача. Докажите второй пункт леммы 10.2.Следующее утверждение уточняет связь между классическими и регулярными обобщенными функциями.Лемма 10.3. (о биективности) Две регулярные обобщенные функции, порожденные двумя классическими непрерывными функциями, равны тогда итолько тогда, когда равны их прообразы:f, g ∈ C 0 (R) : f = g ⇔ fd = gd .Обсуждение.
Лемма 10.3 показывает, что в пространстве D пробных функций достаточно много элементов, с помощью которых можно различать классические непрерывные функции. С другой стороны, каждую пробную функцию90Я. М. ДЫМАРСКИЙφ ∈ D можно понимать как обобщенную φd ∈ D′ . Вывод 1: пространство D′не уже, чем пространство D пробных функций. Можно доказать, что утверждение леммы справедливо не только для непрерывных функций f , но и длялокально интегрируемых; однако формулировка и доказательство потребуютпонятия меры Лебега (а не меры Жордана).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
