Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рассмотрим степенной ряд k=0 0 ak tk dt, полученный формальным интегрированием´ 1 исходного степенного ряда. Покажем, что он сходитсяпри x = 1 к числу 0 f (x)dx:ˆ 1 ˆ(Sn (x) − f (x))dx 60√2ˆ1|Sn (x) − f (x)|dx 60(ˆ)1/21(Sn (x) − f (x)) dx2−1=1−1|Sn (x) − f (x)|dx 6√2||Sn (x) − f (x)||2 → 0 при n → ∞.Следовательно, радиус сходимости степенного ряда, полученного формальныминтегрированием исходного ряда, не меньше единицы.
Из теорем 2.11.8 и2.12.1 следует, что на любом отрезке [−1 + ε, 1 − ε] (0 < ε < 1) исходный∑∞степенной ряд k=0 ak xk сходится равномерно, причем к бесконечно дифференцируемой функции. Если же мы возьмем в качестве исходной функции,например, f (x) = |x| ∈ L2R (−1, 1), то получим противоречие. В самом деле,равенство двух непрерывных функций в пространстве L2R (−1, 1) означает ихпоточечное(см.
доказательство леммы 5.6). Если же допустить,∑совпадение∞что |x| ≡ k=0 ak xk на (−1, 1), то получим, что функция |x| бесконечно дифференцируема. Однако, как будет доказано ниже, ортогонализация системы одночленов превращает ее в базис в пространстве L2R (−1, 1). Так возникают многочлены Лежандра (Адриен Мари Лежандр, 1752 — 1833). Найдем, кроме исходногоl0 (x) := 1, еще два следующих многочлена:ˆl1 (x) = x + α · 1 ⇒l2 (x) = x2 + αx + β · 1 ⇒1−11 · (α + x)dx = 0 ⇒ α = 0 ⇒ l1 (x) = x;´11 · (x2 + αx + β)dx = 0,−1´1−1x · (x2 + αx + β)dx = 01⇒ l2 (x) = x2 − .3Оказывается, результат ортогонализации можно записать (с точностью докоэффициентов) в виде формулы Родрига (Бенжамен Олинд Родриг, 1795 —1851), которую мы примем как определение:Лемма 7.4.
Многочлены ЛежандраL0 (x) = 1, Ln (x) :=1dn 2(x − 1)n , n ∈ Nn!2n dxn(7.2)62Я. М. ДЫМАРСКИЙ1. имеют степень, совпадающую с номером n и ту же четность, что ичетность n;2. Ln (1) = 1, Ln (−1) = (−1)n , |Ln (x)| < 1 при x ∈ (1, 1), |L2n (0)| 6 √1πn ;3.
многочлен с номером n имеет на интервале (−1, 1) в точности n нулей;4. образуют ортогональную систему в L2R (1, 1).Графики первых пяти многочленов см. на рис. ???Рис. ???Задача. Проверьте, что многочлены l2 и L2 отличаются коэффициентом.Доказательство п. 1. Многочлен (x2 − 1)n имеет степень 2n и являетсячетным. После n дифференцирований его степень равна n. Каждое дифференцирование меняет его четность на противоположную.Доказательство п.
4. Требуется доказать, что для произвольных n, m ∈N ∪ {0}, n > m выполняетсяˆ 1 nddm 22nI=(x(x − 1)m dx = 0.−1)·ndxm−1 dxПоскольку (x2 − 1)n = (x − 1)n (x + 1)n , то k-я производная при k = 1, ..., n − 1имеет вид ((x − 1)n (x + 1)n )(k) = (x − 1)n−k gk (x), где gk (x) – некоторый многочлен. Значит, ((x − 1)n (x + 1)n )(k) |x=1 = 0. Аналогично рассуждая, получаемчто ((x − 1)n (x + 1)n )(k) |x=−1 = 0. Применим к интегралу I интегрирование почастям n раз. В силу доказанных краевых свойств, внеинтегральные слагаемыеобнуляются и мы получаемˆ 1dm+nI = (−1)n(x2 − 1)n m+n (x2 − 1)m dx.dx−1Но многочлен (x2 − 1)m имеет степень 2m, а m + n > 2m.
Следовательно,((x2 − 1)m )(m+n) ≡ 0. Приступим к доказательству полноты системы многочленов Лежандра. Поскольку процесс ортогонализации на каждом шаге обратим, то справедливаЛемма 7.5. Любой алгебраический многочлен можно представить на отрезке [−1, 1] в виде конечной линейной комбинации многочленов Лежандра.Замечание. Утверждение леммы справедливо на произвольном промежутке(в том числе и на всей числовой оси), но доказательство требует дополнительных рассуждений.Доказательство. Пусть Pn [−1, 1] – линейное пространство многочленовpn (x) = an xn +...+a1 x+a0 степени не выше n, т.е. линейная оболочка одночленов {1, x, ...xn }. Следовательно, размерность dimPn [−1, 1] 6 n + 1.
С другойстороны, поскольку многочлены Лежандра попарно ортогональны на [−1, 1],то набор функций {L0 , ..., Ln } линейно независим на отрезке [−1, 1]. Но, в силуп. 1 леммы 7.4, каждый многочлен Lk ∈ Pn [−1, 1] (k = 0, ..., n). Значит размерность dimPn [−1, 1] > n + 1. Последнее означает, что dimPn [−1, 1] = n + 1,а набор {L0 , ..., Ln } является в пространстве Pn [−1, 1] базисом. Следовательно, любой многочлен из Pn [−1, 1] представим, причем единственным образом,в виде линейной комбинации многочленов Лежандра степеней не выше n.
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР63Переходим к основному утверждению:Теорема 7.4. (о полноте и базисности системы Лежандра) Система многочленов Лежандра полна в пространствах C 0 [−1, 1] и L2R (−1, 1) и является базисом пространства L2R (−1, 1). Ряд Фурье произвольной функции f ∈L2R (−1, 1) по системе многочленов Лежандра сходится к ней в смысле среднего квадратичного.0Доказательство. Поскольку система {xk }∞k=0 полна в C [−1, 1] (теорема5.6 п. 2), а любой многочлен на отрезке [−1, 1] представим как конечнаякомбинация многочленов Лежандра (лемма 7.5), то система многочленов Лежандра полна в C 0 [−1, 1]. Аналогично, поскольку система {xk }∞k=0 полна вL2R (−1, 1) (лемма 7.3), то из леммы 7.5 следует полнота многочленов Лежандра в L2R (−1, 1).Но полнота системы полиномов Лежандра и их ортогональность гарантируют (теорема 6.4, пп.
1, 2 и 3) базисность системы и разложение по ней в рядФурье произвольной функции f ∈ L2R (−1, 1). 64Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 8. Интегралы, зависящие от параметра´bМы изучим зависимость интегралов I(t) := a f (x, t)dx (собственных и несобственных) от параметра t.
Такие интегралы возникают в теории дифференциальных уравнений, уравнениях математической физики, теории вероятностей.Их можно понимать как эффективный “способ конструирования” функций, обладающих определенными свойствами, которые не выражаются через элементарные функции. Например, Эйлеровы интегралы, интеграл Фурье, преобразование Фурье, интеграл вероятности и др. Наша цель показать, как “хорошие”свойства подынтегральной функции f (x, t) от двух переменных порождают аналогичные свойства функции I, зависящей от одной переменной.8.1. Собственные интегралы с параметром.Теорема 8.1. (о непрерывности интеграла по параметру) Пусть функция f (x, t) непрерывна на прямоугольнике Π = [a, b] × [c, d] как функция двух´bпеременных. Тогда функция I(t) = a f (x, t)dx непрерывна на [c, d]; причемпредельный переход по переменной t можно осуществлять под знаком интеграла:ˆ bˆ bˆ b∀t0 ∈ [c, d] ,→ limf (x, t)dx =lim f (x, t)dx =f (x, t0 )dx.t→t0a t→t0aaДоказательство.´ Во-первых, заметим, что для каждого фиксированногоbt ∈ [c, d] интеграл a f (x, t)dx существует.
Значит, функция I(t) определена.Далее, непрерывная на компакте Π функция равномерно непрерывна, поэтому∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀(x1 , t1 ), (x2 , t2 ) ∈ Π & (x2 − x1 )2 + (t2 − t1 )2 < δ 2 ,→ε|f (x2 , t2 ) − f (x1 , t1 )| <.b−aСледовательно,∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : ∀t ∈ [c, d] & |t − t0 | < δ ,→ˆ b|I(t) − I(t0 )| = (f (x, t) − f (x, t0 ))dx 6ˆabε(b − a) = ε. b−aaИз теоремы 3.3.9 о повторном интеграле, (см. также Замечание 3 и Примерв конце п. 3.3.5) сразу следует|f (x, t) − f (x, t0 )|dx <Лемма 8.1. (об интегрированииинтеграла по параметру) Пусть суще´ствует кратный интеграл Π f (x, t)dxdt. Пусть для каждого t ∈ [c, d] суще´bствует собственный интеграл a f (x, t)dx, а для каждого x ∈ [a, b] существу´dет собственный интеграл c f (x, t)dt.
Тогдаˆˆ b ˆ dˆ d ˆ bf (x, t)dt.(8.1)dxf (x, t)dx =f (x, t)dxdt =dtcaΠacВ частности, если функция f (x, t) непрерывна на прямоугольнике Π какфункция двух переменных, то равенства (8.1) истинны.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР65Теорема 8.2.
(о дифференцировании интеграла по параметру) Пусть функция f (x, t) и ее частная производная ft′ (x, t) непрерывны на прямоугольнике Π = [a, b] × [c, d] как функция двух переменных. Тогда функция I(t) =´bf (x, t)dx дифференцируема на [c, d], причем дифференцирование можно внеaсти под знак интеграла:ˆ b∀t0 ∈ [c, d] ,→ I ′ (t0 ) =ft′ (x, t0 )dx.aДоказательство. При любом фиксированном x ∈ [a, b] функция ft′ (x, t)непрерывна по переменной t. Поэтому по переменной t применима формулаНьютона-Лейбница иˆ tf (x, t) = f (x, t0 ) +fs′ (x, s)ds.t0Применяя равенство (8.1), получаем)ˆ bˆ b(ˆ t′I(t) :=f (x, t)dx =f (x, t0 ) +fs (x, s)ds dx =aaˆbt0ˆ t (ˆbf (x, t0 )dx +at0)fs′ (x, s)dxds.aДифференцируя по t ´полученное тождество и воспользовавшись теоремой 8.1bдля функции J(t) := a ft′ (x, t) в точке t0 , получаем требуемое равенство. Следствие 8.1.
(формула дифференцирования интеграла по параметру)Пусть функции φ, ψ ∈ C 1 [c, d] и ∀t ∈ [c, d] верно a 6 φ(t) 6 ψ(t) 6 b. Пустьфункция f (x, t) и ее частная производная ft′ (x, t) непрерывны как функциидвух переменных на таком открытом прямоугольнике (A, B) × (C, D), что´ ψ(t)[a, b] × [c, d] ⊂ (A, B) × (C, D). Тогда функция I(t) := φ(t) f (x, t)dx дифференцируема на [c, d] иˆ ψ(t)I ′ (t) = f (ψ(t), t)ψ ′ (t) − f (φ(t), t)φ′ (t) +ft′ (x, t)dx.(8.2)φ(t)Доказательство. Определим функцию трех переменныхˆψJ : R ⊃ U := (A, B) × (A, B) × (C, D) → R, J(φ, ψ, t) :=3f (x, t)dx.φВ силу формулы Ньютона-Лейбница и теоремы 8.2, в каждой точке открытогопараллелепипеда U существуют и непрерывны частные производныеˆ ψ′′′Jφ = −f (φ, t), Jψ = f (ψ, t), Jt =ft′ (x, t)dx.φЗначит, функция J ∈ C 1 (U ). Функция одной переменной I(t) = J(φ(t), ψ(t), t)является сложной функцией.
В силу теоремы 2.4.4 (о дифференцированиисуперпозиции отображений), функция I(t) непрерывно дифференцируема и еепроизводная вычисляется как раз по формуле (8.2). 66Я. М. ДЫМАРСКИЙ8.2. Равномерная сходимость несобственных интегралов´ →b с параметром. Рассмотрим несобственный интеграл (НИ) I(t) = a f (x, t)dx сединственной особой точкой b ∈ R ∪ {+∞}.
Параметр принадлежит промежутку t ∈ ⟨c, d⟩ с конечными или бесконечными концами. Функция I(t) поддаетсяисследованию, если сходимость интеграла обладает таким свойством:´ →bОпределение 8.1. Пусть для любого t ∈ ⟨c, d⟩ интеграл a f (x, t)dx схо´ →bдится. НИ a f (x, t)dx называется сходящимся равномерно на ⟨c, d⟩, еслиˆ∀ε > 0 ∃b′ ∈ (a, b) : ∀ξ ∈ (b′ , b) & ∀t ∈ ⟨c, d⟩ ,→ →bf (x, t)dx < ε.ξОбсуждение. Равномерная сходимость НИ аналогична равномерной сходимости функционального ряда (определения 2.10.2 и 2.10.3). При этом несоб´ →b∑∞ственный интеграл a f (x, t)dx – аналог функционального ряда k=1 ak (x),´ξ∑nсобственный интеграл a f (x, t)dx – аналог частичной сумы k=1 ak (x), несоб´ →b∑∞ственный интеграл ξ f (x, t)dx – остатка ряда k=n+1 ak (x), а параметр t –аналог аргумента x.Теорема 8.3.
(критерий Коши равномерной сходимости НИ) Пусть длялюбого t ∈ ⟨c, d⟩ и любого b′ ∈ (a, b) существует собственный интеграл´ b′´ →bf (x, t)dx. НИ a f (x, t)dx сходится равномерно на ⟨c, d⟩ тогда и т.т.,aкогда ˆ ξ′′′′∀ε > 0 ∃b ∈ (a, b) : ∀ξ, ξ ∈ (b , b) & ∀t ∈ ⟨c, d⟩ ,→ f (x, t)dx < ε.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
