Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Во-вторых, подмножество L2pc (a, b) ⊂ L2R (a, b) образует нормированное подмногообразие в нормированном пространстве L2R (a, b)(докажите!), однако для доказательства леммы нам этот факт не потребуется. Само доказательство аналогично доказательству теоремы 1.3 (Римана обосцилляции). Осуществим его в три этапа.1) Пусть f интегрируема по Риману на [a, b]. Тогда f ограничена на [a, b]:C = sup |f (x)| ∈ R.
В силу критерия интегрируемости, для любого ε > 0x∈[a,b]существует разбиение {xi }Ii=0 ⊂ [a, b] (x0 = a, xI = b), для которогоI∑ε2(Mi − mi )∆xi <, где Mi = sup f (x), mi = inf f (x).2C[xi ,xi−1 ][xi ,xi−1 ]i=1Определим кусочно-постоянную функцию cε (x) := mi при x ∈ (xi , xi−1 ) (i=1,...,I)и произвольно в точках разбиения. Тогдаˆb||f −cε ||22(f − cε )2 dx 6=aI∑(Mi − mi )2 ∆xi < 2Ci=1I∑(Mi − mi )∆xi < ε2 .i=12) Пусть функция f 2 абсолютно интегрируема на [a, b] и имеет одну особенность в конце отрезка; допустим, в точке b. Тогда, в силу определенияабсолютной интегрируемости и п. 1), получаем′′∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∧ ∃cε ∈ P C(a, b ) :ˆbε2f (x)dx <∧2ˆb′(f − cε )2 dx <2b′aε2.2ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР57Доопределим функцию cε (x) := 0 при x ∈ (b′ , b]. Тогда на [a, b] справедливо:ˆ||f −cε ||22ˆb′(f − cε ) dx +b2=af 2 (x)dx <b′ε2ε2+= ε2 .223) Рассмотрим общий случай – функция f имеет конечное количество особенностей xi (i = 0, ..., N ), в число которых (для единообразия) мы включилиa = x0 и b = xN .
В этом случае весь отрезок можно разбить на 2N подотрезков[aj−1 , aj ] (j = 1, ..., 2N ), где a2i = xi и a2(i−1) < a2i−1 < a2i (i = 0, ..., N ).На каждом подотрезке особенность одна – в одном из его концов. Согласно(j)п. 2, на каждом подотрезке найдется кусочно-постоянная функция cε , длякоторойˆ ajε22(f − c(j), j = 1, ..., 2N.ε ) dx <2Naj−1(j)Положим cε (x) := cε при x ∈ (aj−1 , aj ), а cε (aj ) определим произвольно. Врезультате на [a, b] получаем:||f −cε ||22=2N ˆ∑j=1ajaj−12(f − c(j)ε ) dx < 2N ·ε2= ε2 .
2NОбозначим через CL20 [a, b] ⊂ L2R (a, b) нормированное подмногообразие непрерывных функций g, удовлетворяющих однородному краевому условиюg(a) = g(b) = 0.Задача. Докажите, что подмножество CL20 [a, b] ⊂ L2R (a, b) именно нормированное подмногообразие.Лемма 7.2. (об аппроксимации кусочно-постоянных функций функциямииз CL20 [a, b]) Справедливо утверждение:∀c ∈ L2pc (a, b) ∀ε > 0 ∃ gε (x) ∈ CL20 [a, b] : ||c − gε ||2 < ε.Замечание. Пространство CL20 [a, b] как множество не принадлежит пространству L2pc (a, b), поэтому мы не можем обсуждать его плотность в L2pc (a, b).Однако оба пространства являются нормированными подмногообразиями пространства L2R (a, b). Именно это обстоятельство позволяет исследовать указанную аппроксимацию.Доказательство.
Пусть {xi }Ii=0 ⊂ [a, b] – точки скачков кусочно-постояннойфункции y = c(x), причем x0 = a, xI = b. Рассмотрим δ-окрестности (xi −δ, xi + δ) точек xi (для концов отрезка это будут полуокрестности). ПустьC = max[a,b] {c(x)}. Возьмем δ < ε2 /(8C 2 I) (число δ заведомо меньше, чеммелкость разбиения {xi }, если ε достаточно мало). На координатной плоскости(x, y) рассмотрим ломаную G с вершинами (см. рис. ???)−+A0 (a, 0), A+0 (x0 + δ, c(x1 + δ)), A1 (x1 − δ, c(x1 − δ)), A1 (x1 + δ, c(x1 + δ)), ...,−−A−i (xi − δ, c(xi − δ)), Ai (xi − δ, c(xi + δ)), ..., AI (xI − δ, c(xI − δ)), AI (b, 0).58Я. М. ДЫМАРСКИЙРис. ???Ломаная является графиком функции gε ∈ C00 [a, b], которая отличается откусочно-постоянной функции только в δ-окрестностях точек xi .
Тогдаˆ||c −gε ||22a+δ(c − gε ) dx +2=aI−1 ˆ∑i=1xi +δxi −δˆb(c − gε ) dx +(c − gε )2 dx 62b−δ(2C)2 2Iδ < ε2 . Теперь мы докажем основное утверждениеТеорема 7.1. Тригонометрическая система полна в пространстве L2R (−π, π).Доказательство. Возьмем произвольную функцию f ∈ L2R (−π, π) и произвольное ε > 0. В силу леммы 7.1, существует такая кусочно-постоянная функция cε/3 ∈ L2pc (−π, π), что ||f − cε/3 ||2 < ε/3. В силу леммы 7.2, существуеттакая непрерывная функция gε/3 ∈ CL20 [−π, π], удовлетворяющая однородному краевому условию, что ||cε/3 − gε/3 ||2 < ε/3.
Наконец, из п. 1 теоремы5.6 следует, что существуеттакой тригонометрический многочлен Tn (x), что√||gε/3 − Tn ||C < ε/(3 2π). Применяя неравенство треугольника и п. 1 леммы6.2, получаем||f − Tn ||2 6 ||f − cε/3 ||2 + ||cε/3 − gε/3 ||2 + ||gε/3 − Tn ||2 <2ε √+ 2π||gε/3 − Tn ||C < ε. 3Попутно мы установили, чтоСледствие 7.1. Нормированное подмногообразие CL2 [a, b] плотно в L2R (a, b).Доказательство Из доказательства теоремы 7.1 следует, что пространствоCL20 [a, b] является плотным нормированным подмногообразием L2R (a, b). НоCL20 [a, b] ⊂ CL2 [a, b] ⊂ L2R (a, b), что уже доказывает следствие. Более того, оказалось, что аппроксимировать функции из L2R (a, b) можно, используя толькотакие непрерывные функции, которые удовлетворяют однородному краевомуусловию. (Этот факт, конечно, является следствием интегральной нормировки в пространстве L2R (a, b).) Замечание.
Аналогично теореме 7.1 доказывается п. 3 теоремы 5.6 о полнотетригонометрической системы в пространстве LR (a, b). Аналогично следствию7.1 доказывается теорема 5.5 о плотности CL[a, b] в LR (a, b).Задача. Докажите п. 3 теоремы 5.6 и теорему 5.5.7.2. Тригонометрическая система как ортогональный базис вL2R (−π, π). Из теоремы 1.1 (об ортогональности тригонометрической системы),теоремы 7.1 о ее полноте и теоремы 6.4 (об ортогональной системе) сразу вытекаетТеорема 7.2. (об ортогональном тригонометрическом базисе) Справедливы следующие утверждения:1.
тригонометрическая система – ортогональный базис в L2R (−π, π);ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР592. для произвольной функции f ∈ L2R (−π, π) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней по норме || · ||2 пространстваL2R (−π, π):f (x) = a0 +∞∑(ak cos kx + bk sin kx) в L2R (−π, π) ⇔k=1ˆπlimn→∞−π(f − a0 −n∑)2(ak cos kx + bk sin kx)dx = 0,k=1где ak−1 , bk (k ∈ N) – коэффициенты Фурье функции f по тригонометрической системе;3. для произвольной функции f ∈ L2R (−π, π) выполняется равенство Парсеваля() ˆ∞π∑222π 2a0 +f 2 (x) dx.(ak + bk ) =(7.1)−πk=1Формула (7.1) дает нам усиленноеТеорема 7.3. (достаточное условие равномерной сходимости РФ) Пустьфункция f кусочно-гладкая на [−π, π] и удовлетворяет условию периодичности f (−π) = f (π).
Тогда ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на [−π, π].Замечание. В следствии 2.3 при тех же предположениях мы доказали только поточечную сходимость РФ, а в следствии 3.2 равномерная сходимость РФдоказана при дополнительном условии кусочной непрерывности второй производной. Значит, методами функционального анализа можно усиливать результаты классического.Доказательство. Пусть ak , bk (k ∈ N) – коэффициенты Фурье функции f . К функции f применима теорема 3.1 о почленном дифференцировании. Поэтому коэффициенты Фурье αk и βk функции f ′ (x) удовлетворяют равенствам |αk | = k|bk |, |βk | = k|ak | (см.
(3.6)). Поскольку функция f ′кусочно-непрерывна, то тем более f ′ ∈ L2R (−π, π), и ее коэффициентыФурье∑∞удовлетворяют равенству Парсеваля (7.1). Следовательно, ряд k=1 k 2 (a2k +b2k )сходится. Применяя неравенство 2|pq| 6 (p2 + q 2 ) к парам p = k|ak |, q = 1/kи p = k|ak |, q = 1/k, получаем оценку функционального ряда сходящимсячисловым:∞∞∞∑ ∑∑(ak cos kx + bk sin kx) 6|ak cos kx + bk sin kx| 6(|ak | + |bk |) =k=1k=1∞∑k=1∞(k|ak |k=111∑ 2 2111+ k|bk | ) 6(k ak + 2 + k 2 b2k + 2 ) =kk2kkk=1∞∑k=1k 2 (a2k + b2k ) +∞∑1< ∞.k2k=160Я. М.
ДЫМАРСКИЙВ силу признака Вейерштрасса, функциональный рядf (x) = a0 +∞∑(ak cos kx + bk sin kx)k=1сходится равномерно. 7.3. Сводка сведений о функциональных пространствах и системах функций. Для метода функционального анализа характерно одновременное использование нескольких пространств и подпространств, между которыми имеются многочисленные связи. Ниже в таблице собраны некоторые ужеустановленные нами связи.
Знак ∪ обозначает подпространство или подмногообразие. Стрелки → или ↑ обозначают полную систему функций, стрелки обозначают базис, стрелка означает аппроксимацию функций одного пространства функциями другого.√(b − a)||f ||C >b − a ||f ||2 >||f ||12{T C} LR (−π, π)LR (a, b){xk }∞C 0 [a, b]k=0 →евклидовонормиров.банаховонеполноенеполное∪∪CL2 [−π, π]L2pc (−π, π)∪∪∪0P C[a, b]Cper [−π, π]мн-зиемн. непр.CL[a, b]кус.-пост.∪мн-зие пр. пер. ф-ймн.
непр.2CL0 [−π, π]мног-в{T C} ↑одн. кр. усл.7.4. Многочлены Лежандра. Согласно теореме 6.4, любая полная ортогональная система является базисом. Одна только полнота системы не гарантирует базисности системы.Лемма 7.3. (о системе одночленов) Система одночленов {xk }∞k=0 полна впространстве L2R (−1, 1), но не является в нем базисом.Доказательство.
Из плотности вложения подмногообразия CL2 [−1, 1] в(следствие 7.1) следует, чтоL2R (−1, 1)∀f ∈ L2R (−1, 1) ∀ε > 0 ∃ g ∈ CL2 [−1, 1] : ||f − g||2 <ε.20Из полноты системы {xk }∞k=0 в C [−1, 1] (теорема 5.6 п. 2) следует, что существуют такие числа {α0 (ε), ..., αn (ε)}, что||g −n∑εαk xk ||C < √ .22k=0Для любой функции h ∈ CL2 [−1, 1] справедлива оценка ||h||2 66.2). Следовательно,||f −n∑k=0αk xk ||2 6 ||f − g||2 + ||g −n∑k=0αk xk ||2 6√2||h||C (леммаЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР||f − g||2 +61n∑√2||g −αk xk ||C < ε.k=0Полнота системы доказана.Если же допустить, что система одночленов есть базис в L2R (−1, 1), то дляпроизвольнойf (x) ∈ L2R (−1, 1) существует такая последовательность∑n функцииkSn (x) = k=0 ak x частичных сумм степенного∑∞ ´ xряда, что ||Sn (x) − f (x)||2 → 0при n → ∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
