Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980)

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр)Лекции Дымарский 4 семестр (1187980)2020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, четвертый семестр§ 1. Тригонометрические ряды Фурье. ВведениеТригонометрический ряд Фурье (ТРФ) (Жан Батист Жозеф Фурье 1768 –1830) – это специальный функциональный ряд, который является бесконечномерным аналогом разложения вектора по ортогональному базису. Роль такогобазиса выполняют синусы и косинусы всевозможных осцилляций. Развитиетеории ТРФ приводит к методам функционального анализа. ТРФ являютсямощнейшим инструментом в уравнениях математической физики, посколькуряд Фурье ведёт себя прозрачно при дифференцировании, интегрировании исдвиге функции по аргументу.1.1.∑∞Вспомогательные понятия и утверждения. Напомним, что символ k=1 ck (x) называется функциональным рядом, порожденным последовательностью функций ck (x), где x ∈ X∑⊂ R (X – общая для всех функцийnобласть определения). Суммы Sn :=k=1 ck (x) называются частичнымисуммами ряда.

При фиксированном аргументе x сходимость числового рядаSn (x) (n → ∞) называется сходимостью функционального ряда в точке x.Если ряд сходится в каждой точке x ∈ X, то сходимость называется поточечной. В результате возникает предельная функция S(x) := limn→∞ Sn (x).Поточечно сходящийся ряд сходится равномерно, если Sn (x) ⇒ S(x) на X.Ценность равномерной сходимости в том, что она “сохраняет” важные свойства слагаемых ряда: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.Точные формулировки даны в теоремах 2.10.9 - 2.10.11.ТРФ применяют для исследования функций более широкого класса, чемнепрерывные.

Для нас исходным будет следующий класс:Определение 1.1. Функция f называется абсолютно интегрируемой(АИ) на конечном (полубесконечном, бесконечном) интервале (a, b), если1. функция f имеет на (a, b) не более конечного числа особенностей, т.е.существуют точки x0 = a < x1 < ... < xi < ... < xI = b такие, чтодля любого i ∈ {1, ..., I − 1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi´βинтеграл Римана α f (x)dx существует в собственном смысле;´b2. несобственный интеграл a |f (x)|dx сходится. Замечание 1.1. Во-первых, мы пока не акцентируем внимание на концахотрезка, поскольку значения функции в конечном количестве точек не влияют на ее интегрируемость.Во-вторых, требование сходимости несобствен´bного интеграла a |f (x)|dx равносильно сходимости несобственного интегралаc⃝Я.

М. Дымарский,20202Я. М. ДЫМАРСКИЙ´b´bf (x)dx только при выполнении п. 1. Однако только сходимости a |f (x)|dx´βне достаточно, поскольку она не гарантирует существование интеграла α f (x)dx.(Приведите или найдите в лекции 2.6 контрпример.) aФункциональное пространство всех АИ на (a, b) функций обозначим черезL1R (a, b) = LR (a, b). Это традиционное обозначение, которое напоминает, чтоописываемые функции абсолютно интегрируемы в первой степени по Риману. (Существуют простанства функций, интегрируемых, во-первых, с другимистепенными показателями и, во-вторых, по другим методикам.) Далее, мы понимаем LR (a, b) именно как векторное пространство, элементы которого, т.е.функции f, g, ..., являются векторами с поточечными операциями сложенияи умножения на число:∀f, g ∈ LR (a, b) ∀α ∈ R ,→ (f + g)(x) := f (x) + g(x), (α · f )(x) := α · f (x).Задача 1.1.

Какая функция является нулевым вектором? Проверьте: 1)векторные операции не выводят за пределы пространства LR (a, b); 2) выполнены все аксиомы векторного пространства.Произведение АИ функций в общем случае не является АИ. Например,функция f (x) = x−1/2 принадлежит пространству LR (0, 1), а ее квадрат f 2 (x) =x−1 – нет. Потребность в умножении функций вынуждает нас предъявить более жесткие требования ко второму сомножителю:Лемма 1.1. (об умножении) Если функция f ∈ LR (a, b), а функция g(x) –непрерывна и ограничена на (a, b), то произведение f (x)g(x) ∈ LR (a, b).Замечание 1.2. Функция g не обязана быть непрерывной вплоть до концовинтервала; например, g(x) = sin(1/x) (x ∈ (0, 1)).

Доказательство. Из п. 1 определения 1.1 и непрерывности функции gследует, что для любого i ∈ {1, ..., I −1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b)∧[α, β] ̸∋´βxi интеграл Римана α f (x)g(x)dx существует в собственном смысле. Значит, п.1 определения выполнен и для функции f (x)g(x). Из ограниченности функции´b|g(x)| и сходимости интеграла a |f (x)|dx следует, согласно признаку сравнения´b(теорема 2.8.8), сходимость интеграла a |f (x)g(x)|dx.

Периодичность тригонометрических функций вынуждает нас сосредоточиться на исследовании именно периодических функций. Нам понадобитсяЛемма 1.2. (о сдвиге при интегрировании на периоде) Если функция f является T -периодической и АИ на (0, T ), то для любого числа α справедливоˆˆα+Tf (x)dx =αTf (x)dx.(1.1)0Доказательство. Утверждение буквально очевидно: если разбить отрезок интегрирования на два подотрезка согласно рис. 1.1 и допустить, чтокриволинейные трапеции измеримы, тоΘ1 = Θ 2 ∧ Θ = Θ 1 ∪ Θ3 ⇒3ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРˆˆα+TTf (x)dx = µ(Θ3 ∪ Θ2 ) = µ(Θ1 ∪ Θ3 ) = µ(Θ) =αАналитическое доказательство таково.В силу периодичности, фунция f является АИ на любом интервале вида(mT, nT ), где m, n ∈ Z, m < n.

Поскольку любой конечный интервал можно погрузить в интервал указанного типа, тофункция f является АИ на любом конечном интервале. Учитывая это замечание и используя периодичность, получаемˆ α+Tˆ Tˆf (x)dx =f (x)dx +αˆˆTα32···Рис. 1.1α+Tf (x)dx =ˆTf (t + T )d(t + T ) =01·Tˆαf (x)dx +αf (x)dx.0f (x)dx +αˆα0Tf (x)dx. f (t)dt =01.2. Ортогональная система тигонометрических функций.Звуки умертвив,Музы́ку я разъял, как труп. ПоверилЯ алгеброй гармонию.А.С. Пушкин. Моцарт и СальериВ качестве отправной точки рассмотрим арифметическое евклидово пространство Vn со стандартным скалярным произведением (f, g) := f1 g1 + ...

+fn gn . Пусть {e1 , ..., en } – произвольный ортогональный базис (т.е. (ei , ej ) = 0при i ̸= j). Тогда координаты вектора f в разложении f = ξ1 e1 +...+ξn en получаются, если обе части разложения скалярно умножить на ei : ξi = (f, ei )/(ei , ei ).Аналогом евклидового пространства Vn для нас является функциональноепространство L2R (−π, π) АИ с квадратом функций, т.е.

таких функций f ∈LR (−π, π), квадрат которых f 2 ∈ LR (−π, π). В силу определения, L2R (−π, π) ⊂LR (−π, π). Важно, что функции из L2R (−π, π) можно поточечно умножать(f · g)(x) := f (x) · g(x) и при этом вернаЛемма 1.3. Если f, g ∈ L2R (−π, π), то произведение f · g ∈ LR (−π, π).Доказательство. Пусть {xi } (i = 0, ..., I) – множество всех особых точекфункций f и g. Для любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi существование´βсобственного интеграла α f (x)g(x)dx вытекает из интегрируемости по Риману произведения двух интегрируемых´ π функций (см.

теорему 2.6.6). Существование несобственного интеграла −π |f (x)g(x)|dx вытекает из неравенства2|f (x)g(x)| 6 f 2 (x) + g 2 (x) и условия f 2 , g 2 ∈ LR (−π, π). Задача 1.2. Опираясь на лемму 1.3, докажите что пространство L2R (−π, π)замкнуто относительно векторных операций. Точнее, ∀f, g ∈ L2R (−π, π) и∀µ, ν ∈ R выполнено µf + νg ∈ L2R (−π, π).4Я. М.

ДЫМАРСКИЙСреди функций пространства L2R (−π, π) мы выделим вспомогательный, оченьудобный при интегрировании класс:Определение 1.2. кусочно-постоянных (КП) функций.Функциюпространства f ∈ L2R (−π, π) называют КП, если существует конечноеразбиение интервала (−π, π) на промежутки ⟨xi , xi+1 ⟩, на каждом из которыхфункция постоянна.Не исключено,что промежуток вырождается в точку[xi , xi ].

(Типичный график КП функцииизображен на рис. 1.2.) p-pРис. 1.2Рассмотрим две КП функции f и g, у которых разбиения на промежуткипостоянства совпадают и равны между собой по длине:f (x) = fi , g(x) = gi при x ∈ (xi , xi+1 ), xi+1 − xi =2π, i = 0, ..., n − 1.nДля выбранных функций сумма типа скалярного произведения отличается отинтеграла только коэффициентом:ˆ π2π=(f1 g1 + ... + fn gn ) ·f (x)g(x)dx.n−πЭто наблюдение порождаетОпределение 1.3. (Неопределенным) скалярным произведением произвольных функций f, g ∈ L2R (−π, π) называется интегралˆ π(f, g) :=f (x)g(x)dx.(1.2)−πИнтегральной евклидовой (полу)нормой функции f ∈ L2R (−π, π) называют число(ˆ π)1/21/22||f ||2 := (f, f )=f (x) dx.(1.3)−πЛемма 1.4. Определение 1.3 “почти” корректно.

Точнее, указанный интеграл (1.2): 1) существует для любых функций f, g ∈ L2R (−π, π), 2) линеен покаждому сомножителю, 3) коммутативен относительно сомножителей,4) неотрицателен при f (x) = g(x).Задача 1.3. Докажите лемму 1.4.Обсуждение 1.1. Чтобы формула (1.2) определяла “настоящее” скалярноепроизведение, а формула (1.3) определяла норму, не хватает строгой положительности ||f ||2 > 0 при f (x) ̸= 0 (отсюда термин “полунорма”). Например, функция равная нулю всюду, кроме конечного числа точек, отлична отнуля, а ее интегральная полунорма равна нулю.

Обсуждение этой идеологически сложной проблемы мы отложим в конец теории. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР5Теперь мы введем аналог ортогонального базиса:Определение 1.4. Тригонометрической системой (ТС) называют счетную совокупность функций1 ≡ cos(0x), sin x, cos x, ... cos kx, sin kx, ..., где k ∈ N,(1.4)упорядоченную по росту осцилляции (количеству нулей) на периоде. В основе теории РФ лежит наблюдениеТеорема 1.1.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6310
Авторов
на СтудИзбе
312
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее