Лекции Дымарский 4 семестр (1187980)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Я. М. ДымарскийЛекции по математическому анализу, четвертый семестр§ 1. Тригонометрические ряды Фурье. ВведениеТригонометрический ряд Фурье (ТРФ) (Жан Батист Жозеф Фурье 1768 –1830) – это специальный функциональный ряд, который является бесконечномерным аналогом разложения вектора по ортогональному базису. Роль такогобазиса выполняют синусы и косинусы всевозможных осцилляций. Развитиетеории ТРФ приводит к методам функционального анализа. ТРФ являютсямощнейшим инструментом в уравнениях математической физики, посколькуряд Фурье ведёт себя прозрачно при дифференцировании, интегрировании исдвиге функции по аргументу.1.1.∑∞Вспомогательные понятия и утверждения. Напомним, что символ k=1 ck (x) называется функциональным рядом, порожденным последовательностью функций ck (x), где x ∈ X∑⊂ R (X – общая для всех функцийnобласть определения). Суммы Sn :=k=1 ck (x) называются частичнымисуммами ряда.

При фиксированном аргументе x сходимость числового рядаSn (x) (n → ∞) называется сходимостью функционального ряда в точке x.Если ряд сходится в каждой точке x ∈ X, то сходимость называется поточечной. В результате возникает предельная функция S(x) := limn→∞ Sn (x).Поточечно сходящийся ряд сходится равномерно, если Sn (x) ⇒ S(x) на X.Ценность равномерной сходимости в том, что она “сохраняет” важные свойства слагаемых ряда: непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость.Точные формулировки даны в теоремах 2.10.9 - 2.10.11.ТРФ применяют для исследования функций более широкого класса, чемнепрерывные.

Для нас исходным будет следующий класс:Определение 1.1. Функция f называется абсолютно интегрируемой(АИ) на конечном (полубесконечном, бесконечном) интервале (a, b), если1. функция f имеет на (a, b) не более конечного числа особенностей, т.е.существуют точки x0 = a < x1 < ... < xi < ... < xI = b такие, чтодля любого i ∈ {1, ..., I − 1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi´βинтеграл Римана α f (x)dx существует в собственном смысле;´b2. несобственный интеграл a |f (x)|dx сходится. Замечание 1.1. Во-первых, мы пока не акцентируем внимание на концахотрезка, поскольку значения функции в конечном количестве точек не влияют на ее интегрируемость.Во-вторых, требование сходимости несобствен´bного интеграла a |f (x)|dx равносильно сходимости несобственного интегралаc⃝Я.

М. Дымарский,20202Я. М. ДЫМАРСКИЙ´b´bf (x)dx только при выполнении п. 1. Однако только сходимости a |f (x)|dx´βне достаточно, поскольку она не гарантирует существование интеграла α f (x)dx.(Приведите или найдите в лекции 2.6 контрпример.) aФункциональное пространство всех АИ на (a, b) функций обозначим черезL1R (a, b) = LR (a, b). Это традиционное обозначение, которое напоминает, чтоописываемые функции абсолютно интегрируемы в первой степени по Риману. (Существуют простанства функций, интегрируемых, во-первых, с другимистепенными показателями и, во-вторых, по другим методикам.) Далее, мы понимаем LR (a, b) именно как векторное пространство, элементы которого, т.е.функции f, g, ..., являются векторами с поточечными операциями сложенияи умножения на число:∀f, g ∈ LR (a, b) ∀α ∈ R ,→ (f + g)(x) := f (x) + g(x), (α · f )(x) := α · f (x).Задача 1.1.

Какая функция является нулевым вектором? Проверьте: 1)векторные операции не выводят за пределы пространства LR (a, b); 2) выполнены все аксиомы векторного пространства.Произведение АИ функций в общем случае не является АИ. Например,функция f (x) = x−1/2 принадлежит пространству LR (0, 1), а ее квадрат f 2 (x) =x−1 – нет. Потребность в умножении функций вынуждает нас предъявить более жесткие требования ко второму сомножителю:Лемма 1.1. (об умножении) Если функция f ∈ LR (a, b), а функция g(x) –непрерывна и ограничена на (a, b), то произведение f (x)g(x) ∈ LR (a, b).Замечание 1.2. Функция g не обязана быть непрерывной вплоть до концовинтервала; например, g(x) = sin(1/x) (x ∈ (0, 1)).

Доказательство. Из п. 1 определения 1.1 и непрерывности функции gследует, что для любого i ∈ {1, ..., I −1} и любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b)∧[α, β] ̸∋´βxi интеграл Римана α f (x)g(x)dx существует в собственном смысле. Значит, п.1 определения выполнен и для функции f (x)g(x). Из ограниченности функции´b|g(x)| и сходимости интеграла a |f (x)|dx следует, согласно признаку сравнения´b(теорема 2.8.8), сходимость интеграла a |f (x)g(x)|dx.

Периодичность тригонометрических функций вынуждает нас сосредоточиться на исследовании именно периодических функций. Нам понадобитсяЛемма 1.2. (о сдвиге при интегрировании на периоде) Если функция f является T -периодической и АИ на (0, T ), то для любого числа α справедливоˆˆα+Tf (x)dx =αTf (x)dx.(1.1)0Доказательство. Утверждение буквально очевидно: если разбить отрезок интегрирования на два подотрезка согласно рис. 1.1 и допустить, чтокриволинейные трапеции измеримы, тоΘ1 = Θ 2 ∧ Θ = Θ 1 ∪ Θ3 ⇒3ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРˆˆα+TTf (x)dx = µ(Θ3 ∪ Θ2 ) = µ(Θ1 ∪ Θ3 ) = µ(Θ) =αАналитическое доказательство таково.В силу периодичности, фунция f является АИ на любом интервале вида(mT, nT ), где m, n ∈ Z, m < n.

Поскольку любой конечный интервал можно погрузить в интервал указанного типа, тофункция f является АИ на любом конечном интервале. Учитывая это замечание и используя периодичность, получаемˆ α+Tˆ Tˆf (x)dx =f (x)dx +αˆˆTα32···Рис. 1.1α+Tf (x)dx =ˆTf (t + T )d(t + T ) =01·Tˆαf (x)dx +αf (x)dx.0f (x)dx +αˆα0Tf (x)dx. f (t)dt =01.2. Ортогональная система тигонометрических функций.Звуки умертвив,Музы́ку я разъял, как труп. ПоверилЯ алгеброй гармонию.А.С. Пушкин. Моцарт и СальериВ качестве отправной точки рассмотрим арифметическое евклидово пространство Vn со стандартным скалярным произведением (f, g) := f1 g1 + ...

+fn gn . Пусть {e1 , ..., en } – произвольный ортогональный базис (т.е. (ei , ej ) = 0при i ̸= j). Тогда координаты вектора f в разложении f = ξ1 e1 +...+ξn en получаются, если обе части разложения скалярно умножить на ei : ξi = (f, ei )/(ei , ei ).Аналогом евклидового пространства Vn для нас является функциональноепространство L2R (−π, π) АИ с квадратом функций, т.е.

таких функций f ∈LR (−π, π), квадрат которых f 2 ∈ LR (−π, π). В силу определения, L2R (−π, π) ⊂LR (−π, π). Важно, что функции из L2R (−π, π) можно поточечно умножать(f · g)(x) := f (x) · g(x) и при этом вернаЛемма 1.3. Если f, g ∈ L2R (−π, π), то произведение f · g ∈ LR (−π, π).Доказательство. Пусть {xi } (i = 0, ..., I) – множество всех особых точекфункций f и g. Для любого отрезка [α, β] ⊂ (a, b) ∧ [α, β] ̸∋ xi существование´βсобственного интеграла α f (x)g(x)dx вытекает из интегрируемости по Риману произведения двух интегрируемых´ π функций (см.

теорему 2.6.6). Существование несобственного интеграла −π |f (x)g(x)|dx вытекает из неравенства2|f (x)g(x)| 6 f 2 (x) + g 2 (x) и условия f 2 , g 2 ∈ LR (−π, π). Задача 1.2. Опираясь на лемму 1.3, докажите что пространство L2R (−π, π)замкнуто относительно векторных операций. Точнее, ∀f, g ∈ L2R (−π, π) и∀µ, ν ∈ R выполнено µf + νg ∈ L2R (−π, π).4Я. М.

ДЫМАРСКИЙСреди функций пространства L2R (−π, π) мы выделим вспомогательный, оченьудобный при интегрировании класс:Определение 1.2. кусочно-постоянных (КП) функций.Функциюпространства f ∈ L2R (−π, π) называют КП, если существует конечноеразбиение интервала (−π, π) на промежутки ⟨xi , xi+1 ⟩, на каждом из которыхфункция постоянна.Не исключено,что промежуток вырождается в точку[xi , xi ].

(Типичный график КП функцииизображен на рис. 1.2.) p-pРис. 1.2Рассмотрим две КП функции f и g, у которых разбиения на промежуткипостоянства совпадают и равны между собой по длине:f (x) = fi , g(x) = gi при x ∈ (xi , xi+1 ), xi+1 − xi =2π, i = 0, ..., n − 1.nДля выбранных функций сумма типа скалярного произведения отличается отинтеграла только коэффициентом:ˆ π2π=(f1 g1 + ... + fn gn ) ·f (x)g(x)dx.n−πЭто наблюдение порождаетОпределение 1.3. (Неопределенным) скалярным произведением произвольных функций f, g ∈ L2R (−π, π) называется интегралˆ π(f, g) :=f (x)g(x)dx.(1.2)−πИнтегральной евклидовой (полу)нормой функции f ∈ L2R (−π, π) называют число(ˆ π)1/21/22||f ||2 := (f, f )=f (x) dx.(1.3)−πЛемма 1.4. Определение 1.3 “почти” корректно.

Точнее, указанный интеграл (1.2): 1) существует для любых функций f, g ∈ L2R (−π, π), 2) линеен покаждому сомножителю, 3) коммутативен относительно сомножителей,4) неотрицателен при f (x) = g(x).Задача 1.3. Докажите лемму 1.4.Обсуждение 1.1. Чтобы формула (1.2) определяла “настоящее” скалярноепроизведение, а формула (1.3) определяла норму, не хватает строгой положительности ||f ||2 > 0 при f (x) ̸= 0 (отсюда термин “полунорма”). Например, функция равная нулю всюду, кроме конечного числа точек, отлична отнуля, а ее интегральная полунорма равна нулю.

Обсуждение этой идеологически сложной проблемы мы отложим в конец теории. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР5Теперь мы введем аналог ортогонального базиса:Определение 1.4. Тригонометрической системой (ТС) называют счетную совокупность функций1 ≡ cos(0x), sin x, cos x, ... cos kx, sin kx, ..., где k ∈ N,(1.4)упорядоченную по росту осцилляции (количеству нулей) на периоде. В основе теории РФ лежит наблюдениеТеорема 1.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций