Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 2
Текст из файла (страница 2)
(об ортогональности ТС). Справедливы утверждения:1. Любые две функции из ТС ортогональны в смысле скалярного произведения (1.2).2. Интегральные евклидовы нормы функций из ТС равны√√||1||2 = 2π, || cos kx||2 = || sin kx||2 = π, k ∈ N.Доказательство основано на известных тригонометрических тождествах1(cos(n + m)x + cos(n − m)x),21sin nx · sin mx = (cos(n − m)x − cos(n + m)x),21sin nx · cos mx = (sin(n + m)x + sin(n − m)x).2Задача 1.4. Завершите доказательство теоремы 1.1.cos nx · cos mx =Продолжая аналогию с вычислением координаты ξi , дадим1. Функциональный ряд (т.е. символ!)Определение 1.5.T S := a0 +∞∑ak cos kx + bk sin kx (trigonometric series)(1.5)k=1называется тригонометрическим рядом (ТР).2.
Тригонометрическими коэффициентами Фурье (или просто КФ)абсолютно интегрируемой на (−π, π) функции f называются числаˆ πˆ1111 πa0 :=(f, 1) =f (x)dx, ak := (f, cos kx) =f (x) cos kxdx,2π2π −πππ −πˆ11 πbk := (f, sin kx) =f (x) sin kxdx, k ∈ N.(1.6)ππ −π3. Функциональный ряд (т.е. символ!) вида (1.5) называется тригонометрическим рядом Фурье (или просто РФ) функции f , если егокоэффициенты вычислены по формулам (1.6).Обозначение: если коэффициенты вычислены по формулам (1.6), то мыпишем f (x) ∼ F S(f ) :=ˆ πˆˆ∞∑11 π1 πf (x)dx+f (x) cos kxdx cos kx +f (x) sin kxdx sin kx,2π −ππ −ππ −πk=1указывая, что ТР F S(f ) (Fourier series) порожден функцией f . 6Я.
М. ДЫМАРСКИЙЛемма 1.5. (корректность определения 1.5) Для любой функцииf ∈ LR (−π, π) коэффициенты Фурье (1.6) (а следовательно и ряд Фурье каксимвол) существуют.Доказательство немедленно вытекает из леммы 1.3.Обсуждение 1.2. Определение 1.5 имеетфундаментальную физическую интерпретацию.Исследуя колебания однородной струны, Даниил Бернулли (1700 — 1782) развил теорию“чистых колебаний” синусоидального типа y =A sin(α + kx), где A > 0, α ∈ S 1 , k ∈ N. Их общепринятое название гармонические колебания;A называют амплитудой, α – фазой, а k – частотой гармонического колебания. По Бернулли звук, издаваемый струной, состоит из основРис. 1.3ного тона (k = 1) и обертонов (k > 1) (рис.
1.3).√Поскольку ak cos kx + bk sin kx = A sin(α + kx) (где A =a2k + b2k , sin α =ak /A, cos α = bk /A), то представление функции тригонометрическим рядомозначает, что “произвольное” колебание есть сумма (в общем случае бесконечная) гармонических колебаний – в этом состоит принцип суперпозиции. Метод разложения функции в тригонометрический ряд окончательно закрпилсяпосле работ Фурье о распространении тепла в твердом теле. Раздел математического анализа, в котором изучают ряды Фурье и их обобщения, называютгармоническим анализом или Фурье-анализом.
1.3. Основные задачи классической теории рядов Фурье. Существование символьного тригонометрического ряда F S(f ) еще не означает, что полученный ТР сходится хотя бы поточечно, а если сходится, то не факт, чтоон сходится к той функции, которой порожден. Следует различать два типаутверждений. Первый тип возникает, когда данная АИ функция f порождает свой символьный ряд Фурье F S(f ); эту ситуацию мы будем обозначатьfF S(f ). Второй тип утверждений возникает, когда дан тригонометрический ряд, возможно порождающий функцию f (T S); обозначение T Sf (T S).Перечислим задачи типа fF S(f ):1.
Сходится ли ряд F S(f ) в данной точке? поточечно? равномерно? Каковы условия (необходимые, достаточные) каждого вида сходимости?2. Если ряд F S(f ) сходится поточечно, то к какой функции? Где и какотличается функция F S(f ) от функции f ?3. Какова “скорость” сходимости? (Это понятие нуждается в уточнениии.)Как свойства функции f (периодичность, непрерывность, класс гладкости и др.) влияют на свойства ряда F S(f ) и на его скорость сходимости?4. Какими свойствами обладает функция F S(f ) (периодичность, непрерывность, интегрируемость, дифференцируемость)?Замечание 1.3.
Поскольку слагаемые ТР 2π-периодичны, поточечно (равномерно) сходящийся на [−π, π] ТР поточечно (равномерно) сходится на всейЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР7числовой оси и является 2π-периодической функицей. Поэтому АИ на (−π, π)функцию f мы будем доопределять (переопределять) в точках ±π и впредьпонимать как 2π-периодическую на всей числовой оси.
Задачи типа T Sf (T S):1. Сходится ли T S поточечно? равномерно? Каковы условия (необходимые, достаточные) сходимости?2. Если T S сходится, то к какими свойствами обладает функция f (T S)?Как видим, задачи обоих типов – это задачи о сходимости специальногофункционального ряда, а именно тригонометрического. Классическая постановка задачи предполагает обязательный поточечный и локальный анализ сходимости. Однако следует постоянно учитывать, порождены ли эти задачи данной функцией, или данным ТР. Чтобы продемонстрировать тонкость возникающих вопросов, попробуем ответить на следующий: что будет, если по данномуТР мы восстанавливаем его РФ? Другими словами: к какому результату мыпридем при взоимнообратных переходах T Sf (T S)F S(f (T S))? На этотвопрос частично отвечаетТеорема 1.2.
Если ряд (1.5) равномерно сходится на [−π, π], то функцияf (T S):1. непрерывна на R;2. 2π-периодична на R;3. ее коэффициенты Фурье совпадают с коэффициентами исходного ТР,т.е. справедливо равенство F S(f (T S)) = T S.Другими словами: если ТР сходится равномерно, то он является РФдля своей суммы.Доказательство. П. 1 следует из теоремы 2.10.9 о равномерной сходимости ряда, члены которого – непрерывные функции.
П. 2 – из 2π-периодичностислагаемых ТР. Наконец, умножим тождество (1.5) на cos mx или sin mx (m ∈N). Полученные ряды также будут сходиться равномерно на [−π, π] к функциям f (x) · cos mx и f (x) · sin mx соответственно (обоснуйте). Проинтегрируем ихпочленно (сославшись на теорему 2.10.10) и воспользуемся свойством ортогональности тригонометрической системы (теорема 1.1) – получим, чтоˆ πˆ πf (x) cos mxdx = amcos2 mxdx = πam ,−πˆˆπ−πf (x) sin mxdx = bm−ππ−πsin2 mxdx = πbm .Если же почленно проинтегрировать само тождество (1.5), то получимˆ πˆ πf (x)dx = a0dx = 2πa0 .−π−πВсе равенства совпадают с п. 2 определения 1.5. Замечание 1.4.
Из определения 1.5 следует, что всякий РФ некоторой АИфункции является ТР. В обратную сторону это утверждение в общем случаеневерно: поточечно сходящийся ТР может не быть РФ никакой АИ функции.Соответствующий контрпример будет приведен позже. 8Я. М.
ДЫМАРСКИЙ1.4. Теорема Римана об осцилляции. В связи с теоремой 1.2 возникаетвопрос о равномерной сходимости тригонометрического ряда.Лемма 1.6. (необходимое условие равномерной сходимости ТР) Если ТР(1.5) равномерно сходится на [−π, π], то a2k + b2k → 0 при k → ∞.Задача∑1.5. Докажите лемму 1.6. Указание: воспользуйтесь теоремой 2.10.7∞(если ряд k=1 ck (x) сходится равномерно на X ⊂ R, то ck√(x) ⇒ 0 при k → ∞)и равенством ak cos kx + bk sin kx = A sin(α + kx), где A = a2k + b2k ,Обсуждение 1.3.
Во-первых, лемма 1.6 есть утверждение типа T Sf (T S).Во-вторых, ТР является функциональным рядом, у которого слагаемые имеютстандартный вид – это косинусы и синусы определенной осцилляции. Поэтомувсе свойства ТР сводятся к свойствам числовой последовательности коэффициентов a0 , a1 , b1 , . . ., что существенно облегчает исследование ТР и, следовательно, РФ. Учитывая лемму 1.6, вопрос о равномерной сходимости РФ следует сформулировать так: какой должна быть функция f , чтобы коэффициенты ее РФстремились к нулю? На него отвечаетТеорема 1.3. (Римана) Если функция f ∈ LR (a, b), тоˆ bˆ blimf (x) cos kxdx = limf (x) sin kxdx = 0, k ∈ R.k→∞k→∞a(1.7)aДоказательство достаточно дать для случая k → +∞.
Чтобы понять, вчем смысл утверждения, рассмотрим сначала постоянную функцию f (x) = 1.Тогдаˆ b 121 · cos kx dx = | sin kb − sin ka| 6 → 0 при k → ∞.kka´πНо если взять последовательность fk (x) = cos kx функций, то −π cos2 kx dx =π. Т.о., смысл теоремы таков: фиксированная функция из пространства LR (a, b)при умножении на сильно осциллирующую функцию cos kx ведет себя как постоянная.
Поэтому доказательство будет основано на аппроксимации даннойфункции кусочно постоянной.Рассмотрим сначала случай, когда (a, b) – конечный интервал, а функцияf (x) интегрируема по Риману на [a, b]. Согласно критерию интегрируемости,существует разбиение отрезка интегрирования,∑N для которого разность верхнейи нижней сумм Дарбу сколь угодно мала:i=1 (Mi − mi )∆xi < ε/2.
Выделимуказанную разность в исследуемом интеграле:ˆbN ˆ ∑ f (x) cos kx dx = ai=1N ˆ∑i=1xixi−1xi(f (x) − mi ) · cos kx dx +xi−1|f (x) − mi | · | cos kx| dx +N∑i=1N∑|mi |i=1kˆximicos kx dx 6xi−1| sin kxi−1 − sin kxi | 6N∑M(Mi − mi )∆xi + 2N , где M = sup |f (x)|.k[a,b]i=1ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР9Число M постоянно, а число N = N (ε) зафиксировано после выбора разбиения отрезка [a, b]. Поэтому существует k0 = k0 (ε), что для всех k > k0оценка2N M/k < ε/2. Для таких k выполняется неравенствосправедлива´ b a f (x) cos kx dx < ε, что доказывает утверждение.Рассмотрим общий случай, т.е.
f АИ и имеет на данном интервале конечноеколичество особенностей. Без ограничения общности считаем,´ →b что особенностьодна – в b. В силу сходимости несобственного интеграла a |f (x)|dx, для произвольного ε > 0 существует b′ ∈ (a, b), что f интегрируема по Риману на [a, b′ ]´ →bи b′ |f (x)|dx < ε/2. Поскольку для функций, интегрируемых по Риману, теорема доказана,то существуетk0 = k0 (ε, b′ ), что для всех k > k0 справедлива´ ′ bоценка a f (x) cos kx dx < ε/2. Для тех же значений k выполняется оценкаˆ→b ˆ f (x) cos kx dx 6 b′ ˆ f (x) cos kx dx + b′aaε+2→bˆ→bb′f (x) cos kx dx <|f (x)| dx < ε. Следствие 1.1. (fF S(f )) Коэффициенты Фурье ak , bk функции f ∈LR (−π, π) стремятся к нулю при k → ∞.Замечание 1.5. Мы показали, что для произвольной АИ функции, во-первых, символический РФ существует (лемма 1.5) и, во-вторых, для полученногоТР выполнено необходимое условие равномерной сходимости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
