Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 5
Текст из файла (страница 5)
2.9).Если функция задана на четверти периода [0, π/2], то ее можно продолжитьдвумя симметричными способами на (π/2, π), а затем каждое из продолженийпродолжить двумя способами на (−π, 0) – всего четыре способа. Все случаиописаны в таблице и проиллюстрированы (рис. 2.10-2.13):19ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР00Рис. 2.9Рис.
2.8x ∈ (0, π/2)f (π − x) = f (x)f (π − x) = f (x)f (π − x) = −f (x)f (π − x) = −f (x)x ∈ (0, π)f (−x) = f (x)f (−x) = −f (x)f (−x) = f (x)f (−x) = −f (x)обнуление, k ∈ Na2k−1 = 0, bk = 0ak−1 = 0, b2k = 0a2(k−1) = 0, bk = 0ak−1 = 0, b2k−1 = 0система{cos 2(k − 1)x}{sin(2k − 1)x}{cos(2k − 1)x}{sin 2kx}Задача 2.2. Докажите справедливость хотя бы одного из утверждений встолбце «обнуление».······-p·-p-p / 2p /2oo-p / 2·pp /2·poo·Рис. 2.10.
a2k−1 = 0, bk = 0oo-p / 2oop /2p-p-p / 2·oРис. 2.12. a2(k−1) = 0, bk = 0p /2opoo·ooo·-pРис. 2.11. ak−1 = 0, b2k = 0oРис. 2.13. ak−1 = 0, b2k−1 = 020Я. М. ДЫМАРСКИЙЕсли функция f 2l-периодична (l > 0) и f ∈ LR (−l, l), то после заменыx → πx/l из тригонометрической системы (1.4) получаем систему1 ≡ cos(0x), sinπxπxπkxπkx, cos, ...
cos, sin, ..., где k ∈ N,llllа из формул (1.6) коэффициентов Фурье получаем формулы1a0 :=2lˆl1f (x)dx, ak :=l−lˆlπkx1f (x) cosdx, bk :=ll−lˆlf (x) sin−lπkxdx.lПосле чего все утверждения переносятся без изменений на случай 2l-периодичности.Используя формулы Эйлера, связывающие тригонометрические функции скомплексной экспонентой, мы получаем следующие выражение для частичнойсуммы ряда Фурье:F Sn (f, x) = a0 +)n (∑eikx + e−ikxeikx − e−ikxak+ bk=22ik=1a0 +n (∑ak − ibkk=12eikx +ak + ibk −ikxe2)=n∑ck eikx ,k=−nгде c0 = a0 , ck = (ak − ibk )/2, c−k = (ak + ibk )/2 (k ∈ N). Теперь сам РФ и егокоэффициенты, учитывая определение (1.6), приобретают вид:f (x) ∼∞∑−∞ck eikx , где ck =12πˆπf (x)e−ikx dx.(2.10)−πЗамечание 2.2.
Поскольку в нашем рассмотрении функция f и ее коээфициенты Фурье действительные, получаем, что коэффициенты ck комплексносопряженные: c̄k = c−k , где k ∈ Z.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР21§ 3. Равномерная сходимость ряда ФурьеВ общей теории функциональных рядов мы выяснили, как равномерная сходимость функционального ряда влияет на свойства предельной функции и возможность почленных действий с рядом (переход к пределу, интегрирование,дифференцирование).
Сейчас мы докажем некоторые достаточные условияравномерной сходимости ряда Фурье.3.1. Признак Дини. Следующее утверждение является аналогом теоремы Дини о поточечной сходимости.Теорема 3.1. (признак Дини равномерной сходимости; fF S(f )) Пусть2π-периодическая функция f непрерывна на [−π, π] и при некотором δ > 0несобственный интегралˆ δ|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|dt < ∞(3.1)t0←сходится равномерно относительно переменной x ∈ [−π, π].
Тогда РФ функции f сходится к f (x) равномерно на R.Обсуждение 3.1. В теореме 2.2 Дини сходимость интеграла (3.1) в фиксированной точке x0 гарантировала сходимость ряда Фурье к f (x0 ). В теореме3.1 равномерная сходимость того же интеграла гарантирует равномерную сходимость ряда Фурье к f (x). Доказательство. Равномерность сходимости интеграла (3.1) означает, что∀ε > 0 ∃h = h(ε) > 0 : ∀x ∈ [−π, π] верна оценкаˆh0←ε|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|dt < .t2Воспользуемся формулой 2.7, чтобы исследовать разностьˆ1 π f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)1F Sn (f, x) − f (x) =sin(n + )t dt.π 022 sin 2t(3.2)(3.3)Интеграл в правой части равенства (3.3) представляется в виде суммы1πˆπ01(.
. .)dt =πˆ0h1(. . .)dt +πˆπ(. . .)dt.hПри этом для произвольного n ∈ N, в силу оценки (3.2), получаем, что ˆˆ1 ht11 h f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)··sin(n+)tdt(. . .)dt 6 6π 0 π 0t22 sin 2t12ˆh0ε|f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)|dt <t2равномерно для всех x ∈ [−π, π] (мы воспользовались неравенством sin x >(2/π)x пока x ∈ (0, π/2)).22Я. М. ДЫМАРСКИЙТеперь наша задача: при условии n → ∞ получить равномерную по x ∈[−π, π] оценку модуля интеграла ˆ πˆ π11f (x + t) + f (x − t) − 2f (x)sin(n + )t dt 6(. .
.)dt := tπ22sinhh2ˆ π ˆ π 11f (x + t)f (x − t)++sin(n+)tdtsin(n+)tdttt222 sin 22 sin 2hhˆ π12f (x) =: |I + (x, n)| + |I − (x, n)| + |I(x, n)|.sin(n+)tdtt22sinh2Поскольку функция f непрерывна на [−π, π], а функция sin 2t отделена от нуляна [h, π], то для третьего интеграла, в силу теоремы 1.3 Римана об осцилляции,получаемˆ πˆ πsin(n + 12 )t ε12f (x)dt <|I(x, n)| := t sin(n + )t dt 6 max |f (x)| 26[−π,π]sin 2thh 2 sin 2для всех статочно больших n ∈ N, причем оценка равномерна для x ∈ [−π, π],поскольку в последнем интеграле переменная x сутствует.Исследование модулей |I ± (x, n)| осуществляется единообразно.
В силу теоремы Римана, для каждого фиксированного x ∈ [a, b] справедливо:n→∞I + (x, n) −→ 0. Допустим, от противного, что стремление к нулю НЕ являетсяравномерным по x ∈ [−π, π]. Последнее означает, что∃ε0 > 0 : ∀n ∈ N ∃N (n) > n ∧ ∃xn ∈ [−π, π] : |I + (xn , N (n))| > ε0 .Возникает последовательность xn ∈ [−π, π]. В силу компактности отрезка, существует сходящаяся подпоследовательность (для которой сохраним прежнееобозначение) xn → x∗ ∈ [−π, π]. Значит, предположив противное, мы пришлик выводу о том, что∃ε0 > 0 : ∀n ∈ N ∧ ∀µ > 0 ∃N (n) > n ∧ ∃xn ∈ Uµ (x∗ ) : |I + (xn , N (n))| > ε0 .(3.4)Опровергнем утверждение (3.4), а именно, докажем. что∀ε > 0 ∃N ∈ N ∧ ∃µ > 0 : ∀n > N ∧ ∀x ∈ Uµ (x∗ ) ,→ |I + (x, n)| <ε.6(3.5)Сразу договоримся, что µ < h/2.
Из неравенства треугольника|I + (x, n)| 6 |I + (x, n) − I + (x∗ , n)| + |I + (x∗ , n)|.В силу теоремы Римана, |I + (x∗ , n)| < ε/12 для всех достаточно больших n ∈ N,причем оценка равномерна для x ∈ (x∗ − µ, x∗ + µ), поскольку в интегралепеременная x отсутствует. Оценим модуль разности |I + (x, n) − I + (x∗ , n)|. Вэтом случае, в силу равномерной непрерывности функции f на всей оси, длявсех достаточно малых µ верно:ˆ π1f (x + t) − f (x∗ + t)6|I + (x, n) − I + (x∗ , n)| = sin(n+)tdtt22 sin 2hЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРπ2 sin h2sup|x′ −x′′ |<µ|f (x′ ) − f (x′′ )| <23ε,12 ´πСобирая все оценки, мы получаем неравенство π1 h (.
. .)dt < ε/2, что завершает доказательство. Проверка условия (3.1) весьма затруднительна. Ограничимся описаниемкласса функций, для которых это условие заведомо выполнено и которых намдостаточно для приложений:Теорема 3.2. Ряд Фурье 2π-периодической и кусочно-гладкой на [−π, π]функции сходится к ней равномерно на R.Доказательство. Прежде всего получим оценку сверху на приращениефункции. Так как производная f ′ является кусочно-непрерывной и 2π-периодической функцией, ее модуль ограничен некоторой положительной постояннойC > 0 на всей оси. Покажем, что функция f является равномерно липшицевойна любом отрезке [A, B], содержащем [−π, π].
Заметим, что на [A, B] конечноеколичество точек скачка производной. Не теряя общности, пусть особоя точкаx0 ∈ [A, B] одна. Если между точками x′ , x′′ ∈ [A, B] нет особой точки, то|f (x′ ) − f (x′′ )| 6 C|x′ − x′′ |. Если же x0 между x′ и x′′ , тогда|f (x′ ) − f (x′′ )| 6 |f (x′ ) − f (x0 )| + |f (x0 ) − f (x′′ )| 6 C|x′ − x0 | + C|x0 − x′′ | 6C|x′ − x′′ | + C|x′ − x′′ | = 2C|x′ − x′′ |.Тперь возьмем в качестве δ > 0 в равномерном условии (3.1) меньшее изположительных чисел (B − π) и (−π − A). Тогда при всех x ∈ [−π, π] интеграл´δ(3.1) равномерно оценивается сходящимся интегралом 0← 2Ct1−1 dt = 2Cδ (см.доказательство теоремы 2.3). 3.2.
Почленное дифференцирование и интегрирование РФ. Сейчасмы ответим на вопрос: будет ли ряд, полученный после почленных действий,рядом Фурье, а если ответ утвердительный, то для какой функции?Теорема 3.3. (о почленном дифференцировании РФ; fF S(f )) Пустьфункция f 2π-периодическая и кусочно-гладкая на [−π, π]. Пустьf (x) = a0 +∞∑ak cos kx + bk sin kxk=1ее разложение в РФ. Тогда ряд Фурье ее производной f ′ получается формальным дифференцированием:f′ ∼∞∑−kak sin kx + kbk cos kx.k=1Обсуждение 3.2. Ряд Фурье данной функции сходится к ней равномернов силу следствия ??. Ряд, полученный формальным дифференцированием,является символическим РФ – мы не можем даже утверждать, что он сходитсяпоточечно.
24Я. М. ДЫМАРСКИЙДоказательство. Поскольку производная f ′ кусочно-непрерывная функция, у нее существует символический РФ, т.е. у нее определены коэффициентыФурье αk , βk . Найдем связь между коэффициентами Фурье функций f и f ′ .Обоснуем возможность интегрирования по частям в формулах (1.6). Поскольку функция f непрерывна, а f ′ – кусочно-непрерывна, отрезок инегрированияразбивается на конечное количество подотрезков точками разрыва производной f ′ . На каждом из подотрезков применяется формула интегрирования почастям, после чего полученные равенства складываются: лишние слагаемыевзаимно уничтожаются в силу непрерывности и периодичности f , а к интегралам на подотрезках применяется свойство аддитивности интеграла Римана(проверьте все выкладки на одной особой точке).
Итак:ˆˆ ππ1 π111bk =f (x) sin kx dx = − f (x) cos kx +f ′ (x) cos kx dx = αk .π −ππkπk −πk−πАналогично для k ∈ N справедливо ak = −βk /k. Получаем:αk = kbk , βk = −kak для всех k ∈ N.(3.6)Из условия периодичности f (−π) = f (π) следует, чтоˆ π11α0 =f ′ (x) dx =(f (π) − f (−π)) = 0.2π −π2πПоэтому РФ производной естьf′ ∼∞∑k(bk cos kx − ak sin kx) = (a0 )′ +k=1∞∑(ak cos kx + bk sin kx)′ . k=1Теорема 3.4. (о почленном интегрировании РФ; fфункция f кусочно-непрерывная на [−π, π] иf (x) ∼ a0 +∞∑F S(f ))Пустьak cos kx + bk sin kxk=1ее РФ. Тогда для любого x ∈ [−π, π] справедлива формула почленного интегрирования РФ:ˆˆx0ˆxf (t)dt −xf (t)dt − a0 x =a0 dt =00=k=1∞∑akk=1∞ ˆ∑ksin kx +x(ak cos kt + bk sin kt) dt =0bk(1 − cos kx),kгде ряд в правой части сходится равномерно.Обсуждение 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
