Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ЛГ-регулярностей.1. Функция√ −x, при x < 0,f1 (x) = 1, при x = 0, √1, при x > 0xабсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна слева вточке x = 0 с показателем 1/2.2. Функция1x-xoРис. 2.2√ −x, при x < 0,f2 (x) = 1, при x = 0,2 + x, при x > 0абсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 и слева с показателем 1/2, исправа с показателем 1.3. Функция·1o-x·1oРис. 2.315ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР√ −x, при x < 0,f3 (x) = 0, при x = 0,x, при x > 0x-xабсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 с показателем 1/2; в той жеточке справа функция регулярнас показателем один.4. Функция{f5 (x) =Рис. 2.4x sin(1/x), при x ̸= 0,0, при x = 0абсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 с показателем один.Рис.
2.5В приложениях чаще встречаются следующие типы точек:Определение 2.3. Точка x ∈ R называется:1. точкой скачка производной для функции f , если в ней функция fнепрерывна и существуют конечные односторонние производныеf (x ± t) − f (x)∈ R,t→+0±t′f±(x) := limгде все знаки берутся или “+”, или все “−”;2. точкой разрыва и скачка производной для функции f , если в нейфункция f претерпевает разрыв первого рода и существуют конечныеобобщенные односторонние производные′(x) := limf±t→+0f (x ± t) − f (x ± 0)∈ R,±tгде все знаки берутся или “+”, или все “−”.
На рис. 2.6 x1 – точка скачка производной, на рис. 2.7 x2 – точка разрываи скачка производной. В обоих случаях графики имеют полукасательные вточках (xi , f (xi ± 0)) (i = 1, 2).Некоторые свойства введенных понятий описываетЛемма 2.4. Справедливы утверждения:1. Если функция регулярна (в каком-то смысле) с показателем α, то онарегулярна (в том же смысле) с любым меньшим показателем.2. Функция регулярна в точке тогда и т.т., когда она непрерывна в нейи регулярна и слева, и справа в ней (рис. 2.4-2.5).16Я.
М. ДЫМАРСКИЙof ( x1 )f ( x2 + 0)A*·f ( x2 )of ( x2 - 0)o*·ox1x2·Рис. 2.6Рис. 2.73. В точке скачка производной функция регулярна с показателем единица(рис. 2.6). Обратное, в общем случае не имеет места: регулярная вточке с показателем единица функция может не иметь даже односторонних производных (конечных или бесконечных, рис. 2.5).4. В точке разрыва и скачка производной функция регулярна и слева, исправа с показателем единица (рис. 2.7).Доказательство. П.
1 следует из неравенства∀t ∈ (0, 1) ∧ (∀ α1 , α2 : 0 < α2 < α1 ) ⇒ tα1 < tα2 .Доказательство п. 2. Если функция регулярна в точке x, тоlim |f (y) − f (x)| = lim |y − x|α = 0 ⇒ lim f (y) = f (x).y→xy→xy→xЗначит, функция непрерывна в точке x, и оценка (2.9) означает истинностьобеих оценок (2.8). Если же функция непрерывна в точке x, то f (x) = f (x ∓ 0)и обе оценки (2.8) означают истинность оценки (2.9). (Сравниите пример 2.1.2с примерами 2.1.3-2.1.4, рис. 2.3 - 2.5.)Учитывая, непрерывность функции в точке скачка производной и утверждение п. 2 леммы, для доказательства п. 3 достаточно установить односторонниерегулярности функции в точке с показателем единица.
Пусть существует правая производная (с левой рассуждения те же), тогда существует такое δ > 0 ифункция ε(t), где t ∈ (0, δ), что′(x) · t + ε(t) · t, причем ε(t) −→ 0.f (x + t) = f (x) + f+t→+0Следовательно,′|f (x + t) − f (x)| 6 2|f+(x)| · tдля всех достаточно малых положительных чисел t = y − x.Функция из примера 2.1.4 регулярна в точке x = 0 с показателем один икоэффициентом C(0) = 1, поскольку для любого y ̸= 0 верно |f (y) − f (0)| 6|y|. Однако в точке ноль функция f не имеет производной ни конечной, нибесконечной.Замечание 2.1. Функция из примера 2.1.4 дифференцируема всюду, крометочки ноль. Поэтому она, в силу п.
4 леммы, всюду регулярна с показателемЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР17один. Однако коэффициент C(x) в неравенстве (2.9) неограничен в любой проколотой окрестности точки ноль. Для доказательств п. 4 следует повторить выкладки из доказательства п.4, заменив в них f (x) на f (x ∓ 0). Теперь мы применим теорему Дини к ЛГ-регулярным точкам.Теорема 2.3. (о сходимости РФ к полусумме односторонних пределов;fF S(f )) Пусть 2π-периодическая функция f ∈ LR (−π, π).
Пусть точка xЛГ-регулярна и слева, и справа или пусть x точка разрыва и скачка производной. Тогда РФ функции f сходится в точке x к числу A = (f (x+0)+f (x−0))/2(рис. 2.7).Доказательство. Покажем, что для значения A = (f (x + 0) + f (x − 0))/2интеграл Дини (2.6) сходится.
В самом деле, для любого δ ′ ∈ (0, δ) интегралДини на отрезке [δ ′ , δ] (не содержащем ноль) существует как собственный всилу АИ функции f и непрерывности функции 1/t.Пусть точка x регулярна с показателями αi > 0 и коэффициентами Ci > 0(i = 1, 2) справа и слева соответственно. Из определения 2.2.1 получаем длявсех t ∈ (0, δ) оценку подынтегральной функции из интеграла Дини:|f (x + t) + f (x − t) − 2A||f (x + t) − f (x + 0)| |f (x − t) − f (x − 0)|6+6tttC1 tα1C2 tα22Ctα+6= 2Ctα−1 ,tttгде C = max{C1 , C2 }, α = min{α1 , α2 } > 0.
Поскольку показатель α − 1 >´δ−1, несобственный интеграл 0← tα−1 dt сходится. В силу признака сравнения,сходится и интеграл Дини. Остается сослаться на теорему 2.2.Если же x точка разрыва и скачка производной, то, в силу п. 5 леммы 2.4,она регулярна и справа, и слева. Следствие 2.1. (о сходимости РФ к значению функции в точке; fF S(f )) Пусть 2π-периодическая функция f ∈ LR (−π, π). Пусть точка xЛГ-регулярна или пусть x – точка скачка производной.
Тогда РФ функции fсходится в точке x к ее значению f (x).Доказательство. В условиях следствия 2.1 выполнены все требованиятеоремы 2.3, поэтому, в силу непрерывности f в точке x, РФ сходится к числуA = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 = f (x). Задача 2.1. . Подготовьте функции fi (i = 1, ..., 5) из примеров 2.2 к разложению в ряд Фурье. С этой целью:1) Cузьте область определения функций на интервал (−π, π) и переопределите значения на концах так, чтобы выполнялось условие 2π-периодичностиfi (−π) = fi (π). Убедитесь, что у всех переопределенных функций f˜i существуют коэффициенты Фурье.2) Доопределите функции f˜i , где i = 2, ..., 5, на всю числовую ось по 2π-периодичности и убедитесь, что для каждой из этих функций ее ряд Фурье F S(f˜i )сходится в каждой точке действительной оси.
Сравните графики функций f˜iи F S(f˜i ).18Я. М. ДЫМАРСКИЙ2.3. РФ четных и нечетных функций, РФ функций произвольногопериода, комплексная форма РФ.Лемма 2.5. (fF S(f )) Если функция f ∈ LR (−π, π) четна, то ее КФbk = 0 (k ∈ N). Если функция нечетна, то ее КФ ak = 0 (k ∈ N0 ).Доказательство. Во-первых, заметим, что для четной функции f подынтегральная функция f (x) cos kx коэффициента ak (k ∈ N0 ) четна, а подынтегральная функция f (x) sin kx коэффициента bk (k ∈ N) нечетна.
Если жефункция f нечетна, то подынтегральная функция f (x) cos kx коэффициентаak (k ∈ N0 ) нечетна, а подынтегральная функция f (x) sin kx коэффициентаbk (k ∈ N) четна. Поэтому достаточно´ π доказать, что´ π для четной функцииg ∈ LR (−π, π) выполняется равенство −π g(x)dx = 2 0 g(x)dx, а для нечетной´πфункции g ∈ LR (−π, π) выполняется равенство −π g(x)dx = 0.Указанные равенства доказаны нами для функций, интегрируемых по Риману.
Чтобы доказать их для абсолютно интегрируемых функций, из отрезка[−π, π] удалим ε-окрестности особых точек, которых конечное количество и которые расположены симметрично относительно точки ноль. На оставшемсяобъединении отрезков, которое тоже симметрично относительно точки ноль,интегральные равенства справедливы. Переходя к пределу при ε → 0, получаем требуемые интегральные равенства. Из леммы 2.5 следует, что функцию, заданную на полупериоде [0, π], можно расскладывать или только по косинусам, или только по синусам.
Пустьфункция f ∈ LR (0, π). Продолжим ее четным образом: f (x) := f (−x), еслиx ∈ (−π, 0). Затем продолжим ее на R с периодом 2π. Как определена функция в точке x = 0 не принципиально – на сходимость РФ одна точка не влияет.Полученная функция АИ на (−π, π), поэтому ей отвечает (символьный) РФ покосинусам. Если же мы захотим продолжить функцию f нечетным образом,то сначала нам нужно переопределить ее в нуле: f (0) := 0. После чего полагаем f (x) := −f (−x) для x ∈ (−π, 0) и продолжаем на всю ось с периодоим 2π.Полученной функции отвечает РФ по синусам. Сходимость описанных рядовможно выяснить с помощью утверждений п.
2.2Пример 2.1. Пусть f (x) = x2 + 1 на [0, π]. Продолжая функцию нечетным образом, мы получаем функцию, которая непрерывно-дифференцируемавсюду, кроме двух (с точностью до 2π-периодичности) точек x1 = 0 и x2 = πразрыва и скачка производных. В особых точках РФ по синусам сходится кнулю, во всех остальных точках интервала (0, π) – к f (x) (рис. 2.8). Если жепродолжить функцию f четным образом, то мы получаем функцию, котораянепрерывно-дифференцируема всюду, кроме одной точки π скачка производных; значит, РФ по косинусам сходится к данной функции на всем отрезке [0, π](рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
