Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 4

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 4 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 42020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

ЛГ-регулярностей.1. Функция√ −x, при x < 0,f1 (x) = 1, при x = 0, √1, при x > 0xабсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна слева вточке x = 0 с показателем 1/2.2. Функция1x-xoРис. 2.2√ −x, при x < 0,f2 (x) = 1, при x = 0,2 + x, при x > 0абсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 и слева с показателем 1/2, исправа с показателем 1.3. Функция·1o-x·1oРис. 2.315ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР√ −x, при x < 0,f3 (x) = 0, при x = 0,x, при x > 0x-xабсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 с показателем 1/2; в той жеточке справа функция регулярнас показателем один.4. Функция{f5 (x) =Рис. 2.4x sin(1/x), при x ̸= 0,0, при x = 0абсолютноинтегрируемана(−π, π) и ЛГ-регулярна в точкеx = 0 с показателем один.Рис.

2.5В приложениях чаще встречаются следующие типы точек:Определение 2.3. Точка x ∈ R называется:1. точкой скачка производной для функции f , если в ней функция fнепрерывна и существуют конечные односторонние производныеf (x ± t) − f (x)∈ R,t→+0±t′f±(x) := limгде все знаки берутся или “+”, или все “−”;2. точкой разрыва и скачка производной для функции f , если в нейфункция f претерпевает разрыв первого рода и существуют конечныеобобщенные односторонние производные′(x) := limf±t→+0f (x ± t) − f (x ± 0)∈ R,±tгде все знаки берутся или “+”, или все “−”.

На рис. 2.6 x1 – точка скачка производной, на рис. 2.7 x2 – точка разрываи скачка производной. В обоих случаях графики имеют полукасательные вточках (xi , f (xi ± 0)) (i = 1, 2).Некоторые свойства введенных понятий описываетЛемма 2.4. Справедливы утверждения:1. Если функция регулярна (в каком-то смысле) с показателем α, то онарегулярна (в том же смысле) с любым меньшим показателем.2. Функция регулярна в точке тогда и т.т., когда она непрерывна в нейи регулярна и слева, и справа в ней (рис. 2.4-2.5).16Я.

М. ДЫМАРСКИЙof ( x1 )f ( x2 + 0)A*·f ( x2 )of ( x2 - 0)o*·ox1x2·Рис. 2.6Рис. 2.73. В точке скачка производной функция регулярна с показателем единица(рис. 2.6). Обратное, в общем случае не имеет места: регулярная вточке с показателем единица функция может не иметь даже односторонних производных (конечных или бесконечных, рис. 2.5).4. В точке разрыва и скачка производной функция регулярна и слева, исправа с показателем единица (рис. 2.7).Доказательство. П.

1 следует из неравенства∀t ∈ (0, 1) ∧ (∀ α1 , α2 : 0 < α2 < α1 ) ⇒ tα1 < tα2 .Доказательство п. 2. Если функция регулярна в точке x, тоlim |f (y) − f (x)| = lim |y − x|α = 0 ⇒ lim f (y) = f (x).y→xy→xy→xЗначит, функция непрерывна в точке x, и оценка (2.9) означает истинностьобеих оценок (2.8). Если же функция непрерывна в точке x, то f (x) = f (x ∓ 0)и обе оценки (2.8) означают истинность оценки (2.9). (Сравниите пример 2.1.2с примерами 2.1.3-2.1.4, рис. 2.3 - 2.5.)Учитывая, непрерывность функции в точке скачка производной и утверждение п. 2 леммы, для доказательства п. 3 достаточно установить односторонниерегулярности функции в точке с показателем единица.

Пусть существует правая производная (с левой рассуждения те же), тогда существует такое δ > 0 ифункция ε(t), где t ∈ (0, δ), что′(x) · t + ε(t) · t, причем ε(t) −→ 0.f (x + t) = f (x) + f+t→+0Следовательно,′|f (x + t) − f (x)| 6 2|f+(x)| · tдля всех достаточно малых положительных чисел t = y − x.Функция из примера 2.1.4 регулярна в точке x = 0 с показателем один икоэффициентом C(0) = 1, поскольку для любого y ̸= 0 верно |f (y) − f (0)| 6|y|. Однако в точке ноль функция f не имеет производной ни конечной, нибесконечной.Замечание 2.1. Функция из примера 2.1.4 дифференцируема всюду, крометочки ноль. Поэтому она, в силу п.

4 леммы, всюду регулярна с показателемЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР17один. Однако коэффициент C(x) в неравенстве (2.9) неограничен в любой проколотой окрестности точки ноль. Для доказательств п. 4 следует повторить выкладки из доказательства п.4, заменив в них f (x) на f (x ∓ 0). Теперь мы применим теорему Дини к ЛГ-регулярным точкам.Теорема 2.3. (о сходимости РФ к полусумме односторонних пределов;fF S(f )) Пусть 2π-периодическая функция f ∈ LR (−π, π).

Пусть точка xЛГ-регулярна и слева, и справа или пусть x точка разрыва и скачка производной. Тогда РФ функции f сходится в точке x к числу A = (f (x+0)+f (x−0))/2(рис. 2.7).Доказательство. Покажем, что для значения A = (f (x + 0) + f (x − 0))/2интеграл Дини (2.6) сходится.

В самом деле, для любого δ ′ ∈ (0, δ) интегралДини на отрезке [δ ′ , δ] (не содержащем ноль) существует как собственный всилу АИ функции f и непрерывности функции 1/t.Пусть точка x регулярна с показателями αi > 0 и коэффициентами Ci > 0(i = 1, 2) справа и слева соответственно. Из определения 2.2.1 получаем длявсех t ∈ (0, δ) оценку подынтегральной функции из интеграла Дини:|f (x + t) + f (x − t) − 2A||f (x + t) − f (x + 0)| |f (x − t) − f (x − 0)|6+6tttC1 tα1C2 tα22Ctα+6= 2Ctα−1 ,tttгде C = max{C1 , C2 }, α = min{α1 , α2 } > 0.

Поскольку показатель α − 1 >´δ−1, несобственный интеграл 0← tα−1 dt сходится. В силу признака сравнения,сходится и интеграл Дини. Остается сослаться на теорему 2.2.Если же x точка разрыва и скачка производной, то, в силу п. 5 леммы 2.4,она регулярна и справа, и слева. Следствие 2.1. (о сходимости РФ к значению функции в точке; fF S(f )) Пусть 2π-периодическая функция f ∈ LR (−π, π). Пусть точка xЛГ-регулярна или пусть x – точка скачка производной.

Тогда РФ функции fсходится в точке x к ее значению f (x).Доказательство. В условиях следствия 2.1 выполнены все требованиятеоремы 2.3, поэтому, в силу непрерывности f в точке x, РФ сходится к числуA = (f (x + 0) + f (x − 0))/2 = f (x). Задача 2.1. . Подготовьте функции fi (i = 1, ..., 5) из примеров 2.2 к разложению в ряд Фурье. С этой целью:1) Cузьте область определения функций на интервал (−π, π) и переопределите значения на концах так, чтобы выполнялось условие 2π-периодичностиfi (−π) = fi (π). Убедитесь, что у всех переопределенных функций f˜i существуют коэффициенты Фурье.2) Доопределите функции f˜i , где i = 2, ..., 5, на всю числовую ось по 2π-периодичности и убедитесь, что для каждой из этих функций ее ряд Фурье F S(f˜i )сходится в каждой точке действительной оси.

Сравните графики функций f˜iи F S(f˜i ).18Я. М. ДЫМАРСКИЙ2.3. РФ четных и нечетных функций, РФ функций произвольногопериода, комплексная форма РФ.Лемма 2.5. (fF S(f )) Если функция f ∈ LR (−π, π) четна, то ее КФbk = 0 (k ∈ N). Если функция нечетна, то ее КФ ak = 0 (k ∈ N0 ).Доказательство. Во-первых, заметим, что для четной функции f подынтегральная функция f (x) cos kx коэффициента ak (k ∈ N0 ) четна, а подынтегральная функция f (x) sin kx коэффициента bk (k ∈ N) нечетна.

Если жефункция f нечетна, то подынтегральная функция f (x) cos kx коэффициентаak (k ∈ N0 ) нечетна, а подынтегральная функция f (x) sin kx коэффициентаbk (k ∈ N) четна. Поэтому достаточно´ π доказать, что´ π для четной функцииg ∈ LR (−π, π) выполняется равенство −π g(x)dx = 2 0 g(x)dx, а для нечетной´πфункции g ∈ LR (−π, π) выполняется равенство −π g(x)dx = 0.Указанные равенства доказаны нами для функций, интегрируемых по Риману.

Чтобы доказать их для абсолютно интегрируемых функций, из отрезка[−π, π] удалим ε-окрестности особых точек, которых конечное количество и которые расположены симметрично относительно точки ноль. На оставшемсяобъединении отрезков, которое тоже симметрично относительно точки ноль,интегральные равенства справедливы. Переходя к пределу при ε → 0, получаем требуемые интегральные равенства. Из леммы 2.5 следует, что функцию, заданную на полупериоде [0, π], можно расскладывать или только по косинусам, или только по синусам.

Пустьфункция f ∈ LR (0, π). Продолжим ее четным образом: f (x) := f (−x), еслиx ∈ (−π, 0). Затем продолжим ее на R с периодом 2π. Как определена функция в точке x = 0 не принципиально – на сходимость РФ одна точка не влияет.Полученная функция АИ на (−π, π), поэтому ей отвечает (символьный) РФ покосинусам. Если же мы захотим продолжить функцию f нечетным образом,то сначала нам нужно переопределить ее в нуле: f (0) := 0. После чего полагаем f (x) := −f (−x) для x ∈ (−π, 0) и продолжаем на всю ось с периодоим 2π.Полученной функции отвечает РФ по синусам. Сходимость описанных рядовможно выяснить с помощью утверждений п.

2.2Пример 2.1. Пусть f (x) = x2 + 1 на [0, π]. Продолжая функцию нечетным образом, мы получаем функцию, которая непрерывно-дифференцируемавсюду, кроме двух (с точностью до 2π-периодичности) точек x1 = 0 и x2 = πразрыва и скачка производных. В особых точках РФ по синусам сходится кнулю, во всех остальных точках интервала (0, π) – к f (x) (рис. 2.8). Если жепродолжить функцию f четным образом, то мы получаем функцию, котораянепрерывно-дифференцируема всюду, кроме одной точки π скачка производных; значит, РФ по косинусам сходится к данной функции на всем отрезке [0, π](рис.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6353
Авторов
на СтудИзбе
311
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее