Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 6
Текст из файла (страница 6)
В теореме 3.4, в противоположность теореме 3.3, исходный РФ является символическим и в общем случае не является сходящимся. После´ x интегрирования мы получаем равномерно сходящийся РФ функцииF (x) = 0 f (t)dt − a0 x. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР25´xДоказательство. Итак, рассмотрим функцию F (x) := 0 (f (t)−a´ π 0 )dt. Онанепрерывна и (см. определение коэффициента a0 ) F (π)−F (−π) = −π f (t) dt−2πa0 = 0. Кроме того, ее можно дифференцировать всюду, кроме конечногоколичества точек разрыва функции f , и F ′ (x) = f (x) − a0 .
В точках разрывасуществуют односторонние производные F±′ (xi ) = f (xi ± 0) − a0 (докажите этоутверждение). Итак, функция F кусочно-гладкая и к ней применимы следствие?? и теорема 3.3:1. функция F (x) равна сумме своего РФ:F (x) = A0 +∞∑Ak cos kx + Bk sin kx,k=1где Ak , Bk – КФ функции F (x);2. коэффициенты Фурье функций F и f (x) − a0 связаны соотношениями:Ak = −akbk, Bk =для всех k ∈ N.kkЧтобы найти A0 , положим x = 0, тогда F (0) = 0 и0 = A0 +∞∑k=1Ak ⇒ A0 =∞∑bkk=1k.Остается подставить полученные выражения в формулу РФ функции F . 3.3. Порядок убывания коэффициентов Фурье. Мы покажем, чтопорядок убывания коэффициентов Фурье определяется порядком гладкостифункции.Лемма 3.1. (о порядке убывания КФ разрывно кусочно-гладкой функции)Пусть функция f РКГ на отрезке [−π, π].
Тогда коэффициенты Фурье функции f убывают обратно-пропорционально их номеру, т.е.:( )1C|ak | + |bk | = O⇔ ∃C > 0 : ∀k ∈ N ,→ |ak | + |bk | < .(3.7)kkДоказательство. Из кусочной непрерывности f и f ′ следует их ограниченность:∃C0 , C1 > 0 : ∀x ∈ [−π, π] ,→ |f (x)| < C0 , |f ′ (x)| < C1 .Если −π = x0 < x1 < ... < xI = π – точки разрывов функции f , то, какбыло показано выше, на каждом интервале непрерывности f можно применитьинтегрирование по частям к функции f :I ˆ1 ˆ π1 ∑ xi|bk | = f (x) sin kx dx =f (x) d cos kx =π −ππk i=1 xi−1()ˆ xiIxi −01 ∑′f (x) cos kx−f (x) cos kx dx 6πk i=1xi−1 +0xi−126Я.
М. ДЫМАРСКИЙ1(2C0 I + 2πC1 ) .πk( )( )Значит, bk = O k1 . Оценка ak = O k1 доказывается аналогично. Теорема 3.5. (о порядке убывания КФ и остатка РФ)1. Пусть у 2π-периодической функции f :1) производные порядков q и q + 1 кусочно-непрерывны на [−π, π] (q =0, 1, ...),2) сама функция и все ее предыдущие производные до порядка q −1 включительно непрерывны на [−π, π] и удовлетворяют условию периодичности f (i) (−π) = f (i) (π) (i = 0, 1, ..., q − 1).Тогда имеет место следующая оценка убывания КФ функции f с ростом номера:()1C|ak | + |bk | = O⇔ ∃C > 0 : ∀k ∈ N ,→ |ak | + |bk | < q+1 .
(3.8)q+1kk2. Если в условиях п. 1 q∑> 1, то справедлива следующая оценка убывания∞остатка РФ rn (x) := n+1 ak cos kx + bk sin kx:(sup |rn (x)| = Ox∈R1nq).Замечание 3.1. Если в условии 1) показатель q = 0, то условие 2) не имеетсмысла. Доказательство п. 1. Заметим, что при q = 0 функция и ее первая производная кусочно непрерывны, т.е.
функция разрывно кусочно-гладкая. Значит,мы находимся в условиях леммы 3.1 – утверждение леммы 3.1 есть п. 1 теоремы. Рассмотрим общий случай q ∈ N. Вплоть до порядка дифференцированияq − 1 к функции gp (x) = f (p) (x) (p = 0, 1, ..., q − 1) можно применять теорему 3.3(p) (p)о почленном дифференцировании. Обозначим через ak , bk коэффициентыФурье функции gp (x), тогда (согласно (3.6))|ak | + |bk | =1 (1)11(1)(2)(2)(q)(q)(|ak | + |bk |) = 2 (|ak | + |bk |) = ... = q (|ak | + |bk |).kkkС другой стороны, применяя к функции gq (x) = f (q) (x) лемму 3.1, получаем(q)(q)(см.
(3.7)) оценку |ak | + |bk | = O(1/k). Что доказывает (3.8).Из полученной оценки (3.8) следует искомая оценка остатка РФ:sup |rn (x)| 6 Cx∈R∞∑k=n+11k q+1ˆ6C∞ndttq+1C 1==Oq nq(1nq).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР27§ 4. Усреднение РФ методом ФейераСредние законы имеют в себе то удобство,что всякий, читая их, говорит: «какая глупость!» –а между тем всякий женеудержимо стремится исполнять их.М.Е.
Салтыков-Щедрин. История одного городаМы приняли к сведению, что РФ непрерывной функции может расходитьсяв некоторых точках. Оказывается, существуют методы усреднения, которыеулучшают сходимость последовательности. В частности, мы рассмотрим метод, который из РФ конструирует функциональную последовательность равномерно сходящуюся к данной непрерывной функции.4.1. Предварительные утверждения. Рассмотрим две числовые последовательности: данную {an }∞n=1 и последовательность средних арифметических σn := (a1 + ... + an )/n ее первых членов.Лемма 4.1.
(Коши о сходимости средних арифметических) Если последовательность {an }∞n=1 сходящаяся, то к этому же пределу сходится последовательность средних арифметических:lim an = a ∈ R ⇒ lim σn = a.n→∞n→∞Доказательство. По произвольному ε > 0 выберем номер n0 , для которого|ak − a| < ε/2 для всех k > n0 . Оценим разность a + ... + a + a 1n0n0 +1 + ...
+ an|σn − a| = − a =n a + ... + a − n a (a 1n0 +1 − a) + ... + (an − a) n00+6nn|a1 + ... + an0 − n0 a| |(an0 +1 − a) + ... + (an − a)|+.nnПоскольку номер n0 зафиксирован, числитель первой дроби |a1 + ... + an0 −n0 a| = const. Значит, существует такой номер m0 , что для всех n > m0 верно:|a1 + ... + an0 − n0 a|/n < ε/2.
Оценим вторую дробь:|(an0 +1 − a) + ... + (an − a)||an0 +1 − a| + ... + |an − a|ε n − n0ε66 ·< .nn2n2Значит, для всех n > max{n0 , m0 } имеет место оценка |σn − a| < ε. В обратную сторону утверждение неверно!Пример 4.1. расходящейся последовательности, у которой последовательность средних арифметических сходится:an = (−1)n ,σ1 =−10−1, σ2 = , σ3 =, ... → 0.123Применим метод усреднения к последовательности частичных сумм РФ исоответствующих ядер Дирихле:28Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 4.1. Пусть f ∈ LR (−π, π).1. Суммами Фейера (Липот Фейер, 1880 – 1959) Σn (f, x) функции f называют средние арифметические сумм Фурье F Sn (f, x) этой же функции:F S0 (f, x) + ... + F Sn (f, x)Σn (f, x) :=, n = 0, 1, 2, ...n+12.
Ядрами Фейера называют средние арифметические ядер ДирихлеDn (x):D0 (t) + ... + Dn (t), n = 0, 1, 2, ... Φn (t) :=n+1Замечание 4.1. Суммы Фейера НЕ являются частными суммами какоголибо тригонометрического ряда, посколькупри cos kx∑ в них коэффициенты∑nи sin kx (k ∈ N) зависят от номера:(f,x)=a+a(n)cos kx +0nk=1 kbk (n) sin kx. Суммы Фейера являются элементами функциональной последовательности. Для ядер Фейера и сумм Фейера имеют место аналоги лемм 2.1 и 2.2.Лемма 4.2. Ядро Фейера1. для всех n удовлетворяет неизменному условию нормировкиˆ ππΦn (t)dt = ;202.Φn (t) =sin2 (n+1)t22(n + 1) sin2t2при t ̸= 2πm,n+1при t = 2πm (m ∈ Z);23.
является четной, неотрицательной, непрерывной, 2π-периодическойфункцией;4.∀δ ∈ (0, π] ,→ max Φn (t) → 0 при n → ∞.Φn (t) =t∈[δ,π]Обсуждение 4.1. Сравнивая ядраФейера с ядрами Дирихле, мы видим,что сохранились нормировка, четность,периодичность, непрерывность, выраженный максимум в точках 2πm тогоже первого порядка по n.
Однако осциллируемость неубывающей амплитуды сменилась неотрицательной колеблемостью, амплитуда которой обратнопропорциональна номеру n ядра (график ядра Фейера на рис. 4.1). Оказывается, измененные свойства ядра улучшают сходимость! Рис. 4.1ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР29Лемма 4.3. (об интегральном представлении суммы Фейера) Пусть f– 2π-периодическая функция и f ∈ LR (−π, π). Тогда для ее сумм Фейера справедливо представлениеˆ1 πΣn (f, x) =(f (x + t) + f (x − t))Φn (t)dt.(4.1)π 0Замечание 4.2. Интегральное представление сумм Фейера имеет такой жевид, что и представление (2.4) частичных сумм РФ. Доказательство леммы 4.2. П. 1: усреднение константы есть константа(убедитесь самостоятельно!) П.
2 доказывается по определению тем же методом, что и формула ядра Дирихле. Пп. 3 и 4 сразу следуют из п. 2.Доказательство леммы 4.3 следует из определения ядер Фейера, формулыДирихле (2.4) и линейности интеграла.4.2. Равномерная аппроксимацияфункции. Нам потребуетсянепрерывнойпериодическойЛемма 4.4. (о равномерной непрерывности периодической функции) Непрерывная T -периодическая функция f равномерно непрерывна на всей оси.Доказательство. Из теоремы Кантора о равномерной непрерывности накомпакте следует, что на отрезке [0, T ] функция f равномерно непрерывна:∀ε > 0 ∃δ ∈ (0, T ) : ∀x1 , x2 ∈ [0, T ] ∧ 0 < x2 − x1 < δ ,→ |f (x2 ) − f (x1 )| <ε.2Пусть 0 < x2 − x1 < δ. Возможны два случая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
