Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 6

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 6 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 62020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

В теореме 3.4, в противоположность теореме 3.3, исходный РФ является символическим и в общем случае не является сходящимся. После´ x интегрирования мы получаем равномерно сходящийся РФ функцииF (x) = 0 f (t)dt − a0 x. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР25´xДоказательство. Итак, рассмотрим функцию F (x) := 0 (f (t)−a´ π 0 )dt. Онанепрерывна и (см. определение коэффициента a0 ) F (π)−F (−π) = −π f (t) dt−2πa0 = 0. Кроме того, ее можно дифференцировать всюду, кроме конечногоколичества точек разрыва функции f , и F ′ (x) = f (x) − a0 .

В точках разрывасуществуют односторонние производные F±′ (xi ) = f (xi ± 0) − a0 (докажите этоутверждение). Итак, функция F кусочно-гладкая и к ней применимы следствие?? и теорема 3.3:1. функция F (x) равна сумме своего РФ:F (x) = A0 +∞∑Ak cos kx + Bk sin kx,k=1где Ak , Bk – КФ функции F (x);2. коэффициенты Фурье функций F и f (x) − a0 связаны соотношениями:Ak = −akbk, Bk =для всех k ∈ N.kkЧтобы найти A0 , положим x = 0, тогда F (0) = 0 и0 = A0 +∞∑k=1Ak ⇒ A0 =∞∑bkk=1k.Остается подставить полученные выражения в формулу РФ функции F . 3.3. Порядок убывания коэффициентов Фурье. Мы покажем, чтопорядок убывания коэффициентов Фурье определяется порядком гладкостифункции.Лемма 3.1. (о порядке убывания КФ разрывно кусочно-гладкой функции)Пусть функция f РКГ на отрезке [−π, π].

Тогда коэффициенты Фурье функции f убывают обратно-пропорционально их номеру, т.е.:( )1C|ak | + |bk | = O⇔ ∃C > 0 : ∀k ∈ N ,→ |ak | + |bk | < .(3.7)kkДоказательство. Из кусочной непрерывности f и f ′ следует их ограниченность:∃C0 , C1 > 0 : ∀x ∈ [−π, π] ,→ |f (x)| < C0 , |f ′ (x)| < C1 .Если −π = x0 < x1 < ... < xI = π – точки разрывов функции f , то, какбыло показано выше, на каждом интервале непрерывности f можно применитьинтегрирование по частям к функции f :I ˆ1 ˆ π1 ∑ xi|bk | = f (x) sin kx dx =f (x) d cos kx =π −ππk i=1 xi−1()ˆ xiIxi −01 ∑′f (x) cos kx−f (x) cos kx dx 6πk i=1xi−1 +0xi−126Я.

М. ДЫМАРСКИЙ1(2C0 I + 2πC1 ) .πk( )( )Значит, bk = O k1 . Оценка ak = O k1 доказывается аналогично. Теорема 3.5. (о порядке убывания КФ и остатка РФ)1. Пусть у 2π-периодической функции f :1) производные порядков q и q + 1 кусочно-непрерывны на [−π, π] (q =0, 1, ...),2) сама функция и все ее предыдущие производные до порядка q −1 включительно непрерывны на [−π, π] и удовлетворяют условию периодичности f (i) (−π) = f (i) (π) (i = 0, 1, ..., q − 1).Тогда имеет место следующая оценка убывания КФ функции f с ростом номера:()1C|ak | + |bk | = O⇔ ∃C > 0 : ∀k ∈ N ,→ |ak | + |bk | < q+1 .

(3.8)q+1kk2. Если в условиях п. 1 q∑> 1, то справедлива следующая оценка убывания∞остатка РФ rn (x) := n+1 ak cos kx + bk sin kx:(sup |rn (x)| = Ox∈R1nq).Замечание 3.1. Если в условии 1) показатель q = 0, то условие 2) не имеетсмысла. Доказательство п. 1. Заметим, что при q = 0 функция и ее первая производная кусочно непрерывны, т.е.

функция разрывно кусочно-гладкая. Значит,мы находимся в условиях леммы 3.1 – утверждение леммы 3.1 есть п. 1 теоремы. Рассмотрим общий случай q ∈ N. Вплоть до порядка дифференцированияq − 1 к функции gp (x) = f (p) (x) (p = 0, 1, ..., q − 1) можно применять теорему 3.3(p) (p)о почленном дифференцировании. Обозначим через ak , bk коэффициентыФурье функции gp (x), тогда (согласно (3.6))|ak | + |bk | =1 (1)11(1)(2)(2)(q)(q)(|ak | + |bk |) = 2 (|ak | + |bk |) = ... = q (|ak | + |bk |).kkkС другой стороны, применяя к функции gq (x) = f (q) (x) лемму 3.1, получаем(q)(q)(см.

(3.7)) оценку |ak | + |bk | = O(1/k). Что доказывает (3.8).Из полученной оценки (3.8) следует искомая оценка остатка РФ:sup |rn (x)| 6 Cx∈R∞∑k=n+11k q+1ˆ6C∞ndttq+1C 1==Oq nq(1nq).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР27§ 4. Усреднение РФ методом ФейераСредние законы имеют в себе то удобство,что всякий, читая их, говорит: «какая глупость!» –а между тем всякий женеудержимо стремится исполнять их.М.Е.

Салтыков-Щедрин. История одного городаМы приняли к сведению, что РФ непрерывной функции может расходитьсяв некоторых точках. Оказывается, существуют методы усреднения, которыеулучшают сходимость последовательности. В частности, мы рассмотрим метод, который из РФ конструирует функциональную последовательность равномерно сходящуюся к данной непрерывной функции.4.1. Предварительные утверждения. Рассмотрим две числовые последовательности: данную {an }∞n=1 и последовательность средних арифметических σn := (a1 + ... + an )/n ее первых членов.Лемма 4.1.

(Коши о сходимости средних арифметических) Если последовательность {an }∞n=1 сходящаяся, то к этому же пределу сходится последовательность средних арифметических:lim an = a ∈ R ⇒ lim σn = a.n→∞n→∞Доказательство. По произвольному ε > 0 выберем номер n0 , для которого|ak − a| < ε/2 для всех k > n0 . Оценим разность a + ... + a + a 1n0n0 +1 + ...

+ an|σn − a| = − a =n a + ... + a − n a (a 1n0 +1 − a) + ... + (an − a) n00+6nn|a1 + ... + an0 − n0 a| |(an0 +1 − a) + ... + (an − a)|+.nnПоскольку номер n0 зафиксирован, числитель первой дроби |a1 + ... + an0 −n0 a| = const. Значит, существует такой номер m0 , что для всех n > m0 верно:|a1 + ... + an0 − n0 a|/n < ε/2.

Оценим вторую дробь:|(an0 +1 − a) + ... + (an − a)||an0 +1 − a| + ... + |an − a|ε n − n0ε66 ·< .nn2n2Значит, для всех n > max{n0 , m0 } имеет место оценка |σn − a| < ε. В обратную сторону утверждение неверно!Пример 4.1. расходящейся последовательности, у которой последовательность средних арифметических сходится:an = (−1)n ,σ1 =−10−1, σ2 = , σ3 =, ... → 0.123Применим метод усреднения к последовательности частичных сумм РФ исоответствующих ядер Дирихле:28Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 4.1. Пусть f ∈ LR (−π, π).1. Суммами Фейера (Липот Фейер, 1880 – 1959) Σn (f, x) функции f называют средние арифметические сумм Фурье F Sn (f, x) этой же функции:F S0 (f, x) + ... + F Sn (f, x)Σn (f, x) :=, n = 0, 1, 2, ...n+12.

Ядрами Фейера называют средние арифметические ядер ДирихлеDn (x):D0 (t) + ... + Dn (t), n = 0, 1, 2, ... Φn (t) :=n+1Замечание 4.1. Суммы Фейера НЕ являются частными суммами какоголибо тригонометрического ряда, посколькупри cos kx∑ в них коэффициенты∑nи sin kx (k ∈ N) зависят от номера:(f,x)=a+a(n)cos kx +0nk=1 kbk (n) sin kx. Суммы Фейера являются элементами функциональной последовательности. Для ядер Фейера и сумм Фейера имеют место аналоги лемм 2.1 и 2.2.Лемма 4.2. Ядро Фейера1. для всех n удовлетворяет неизменному условию нормировкиˆ ππΦn (t)dt = ;202.Φn (t) =sin2 (n+1)t22(n + 1) sin2t2при t ̸= 2πm,n+1при t = 2πm (m ∈ Z);23.

является четной, неотрицательной, непрерывной, 2π-периодическойфункцией;4.∀δ ∈ (0, π] ,→ max Φn (t) → 0 при n → ∞.Φn (t) =t∈[δ,π]Обсуждение 4.1. Сравнивая ядраФейера с ядрами Дирихле, мы видим,что сохранились нормировка, четность,периодичность, непрерывность, выраженный максимум в точках 2πm тогоже первого порядка по n.

Однако осциллируемость неубывающей амплитуды сменилась неотрицательной колеблемостью, амплитуда которой обратнопропорциональна номеру n ядра (график ядра Фейера на рис. 4.1). Оказывается, измененные свойства ядра улучшают сходимость! Рис. 4.1ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР29Лемма 4.3. (об интегральном представлении суммы Фейера) Пусть f– 2π-периодическая функция и f ∈ LR (−π, π). Тогда для ее сумм Фейера справедливо представлениеˆ1 πΣn (f, x) =(f (x + t) + f (x − t))Φn (t)dt.(4.1)π 0Замечание 4.2. Интегральное представление сумм Фейера имеет такой жевид, что и представление (2.4) частичных сумм РФ. Доказательство леммы 4.2. П. 1: усреднение константы есть константа(убедитесь самостоятельно!) П.

2 доказывается по определению тем же методом, что и формула ядра Дирихле. Пп. 3 и 4 сразу следуют из п. 2.Доказательство леммы 4.3 следует из определения ядер Фейера, формулыДирихле (2.4) и линейности интеграла.4.2. Равномерная аппроксимацияфункции. Нам потребуетсянепрерывнойпериодическойЛемма 4.4. (о равномерной непрерывности периодической функции) Непрерывная T -периодическая функция f равномерно непрерывна на всей оси.Доказательство. Из теоремы Кантора о равномерной непрерывности накомпакте следует, что на отрезке [0, T ] функция f равномерно непрерывна:∀ε > 0 ∃δ ∈ (0, T ) : ∀x1 , x2 ∈ [0, T ] ∧ 0 < x2 − x1 < δ ,→ |f (x2 ) − f (x1 )| <ε.2Пусть 0 < x2 − x1 < δ. Возможны два случая.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее