Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 8
Текст из файла (страница 8)
2.1.2) вводятся понятия дополнения X C ⊂ M к X и типов точек по отношению к X (внутренняя, прикосновения, предельная, изолированная, граничная). Затем определяются типыподмножеств (открытое, замкнутое, ограниченное, компактное) и подмножества, порожденные X (внутренность X 0 , замыкание X, граница ∂X).Задача 5.3. Сформулируйте (или повторите) все названные определения.Нам понадобитсяЛемма 5.1. (о метрическом подпространстве) Любое подмножествоM1 ⊂ M метрического пространства является метрическим пространствомс индуцированной метрикой:∀x, y ∈ M1 ,→ ρ1 (x, y) := ρ(x, y).Подмножество (M1 , ρ) ⊂ (M, ρ) называют метрическим подпространством.Примеры 2 и 5 иллюстрируют это определение: Q ⊂ R – метрическое подпространство, окружность с метрикой ρ1 (A, B) = |AB| является метрическимподпространством евклидовой плоскости.
Окружность с метрикой из примера6 НЕ является метрическим подпространством плоскости.Задача 5.4. Докажите лемму 5.1.Определение 5.2. Метрические пространства (M1 , ρ1 ), (M2 , ρ2 ) называютизометричными (т.е. метрически эквивалентными), если между ними существует биекция F , сохраняющая расстояние (изометрия):F : M1 ↔ M2 , ∀x, y ∈ M1 ,→ ρ1 (x, y) = ρ2 (F (x), F (y)). Задача 5.5. Докажите, что: 1) евклидова плоскость и комплексная прямаяизометричны; 2) любые две окружности с метриками 5 и 6 неизометричны(примените к каждой окружности аксиому 3 из определения 5.1)Задача 5.6. Докажите, что изометрия является отношением эквивалентности. Откуда следует, что множество всех метрических пространств разбиваетсяна непересекающиеся классы.
Теория метрических пространств изучает именно классы, а не каждое пространство в отдельности.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР35Понятие предела и непрерывного отображения метрических пространствстроится по той же схеме, что и для арифметических пространств (п.
2.1.3).Определение 5.3. Последовательность {xn }∞n=1 ⊂ M точек метрическогопространства называется сходящейся к точке x ∈ M , если lim ρ(xn , x) = 0.n→∞Обозначение: lim xn = x. n→∞Задача 5.7. Докажите, что сходящаяся последовательность имеет единственный предел.Без изменений формулируется определение предела отображения:Определение 5.4. Пусть F : X → Y – отображение метрических пространств. Отображение имеет предел (по Коши) в точке x0 ∈ X, если существует такая точка y0 ∈ Y , что◦∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : F (U δ (x0 )) ⊂ Uε (y0 ).
Задача 5.8. Дайте определение предела в точке по Гейне. Дайте определения непрерывности отображения в точке и на всем X. Можно ли определить понятие производной отображения, пользуясь только метрической структурой?Пример 5.1. Метрика ρ метрического пространства M является непрерывной функцией, точнее: отображение M × M ∋ (x, y) → ρ(x, y) ∈ R+0 непрерывно.Задача 5.9. Докажите сформулированное в примере утверждение. Переформулируйте его в терминах определения Коши.Определение 5.5.
Последовательность {xn }∞n=1 ⊂ M точек метрическогопространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет условию Коши: ∀ε > 0 ∃N = N (ε) : ∀n, m > N ,→ ρ(xn , xm ) < ε. Лемма 5.2. (необходимое условие сходимости) Если последовательностьсходящаяся, то она фундаментальна.Задача 5.10. Докажите лемму 5.2.Определение 5.6. Метрическое пространство называется полным, еслилюбая его фундаментальная последовательность является сходящейся. Примеры 5.2. Кроме Q, все приведенные примеры являются полными метрическими пространствами.Задача 5.11.
Докажите неполноту Q и полноту остальных примеров метрических пространств.Полнота пространства играет важнейшую роль в проблеме существования математического объекта. Такими объектами являются, например, решения функциональных (дифференциальных, интегральных и других) уравнений.
Предложена стандартная процедура, позволяющая от неполного пространства перейти к полному. Сейчас мы только наметим ее этапы.36Я. М. ДЫМАРСКИЙОпределение 5.7. Метрическое подпространство (M1 , ρ) ⊂ (M, ρ) называется плотным в M , если в любой окрестности произвольной точки пространства M имеется точка, принадлежащая подпространству M ′ :∀x ∈ M ∀ε > 0 ∃x′ ∈ M1 : ρ(x, x′ ) < ε. Пример 5.2. Q плотно в R.Определение 5.8.
Полное метрическое пространство (M, ρ) называется пополнением своего подпространства (M1 , ρ) ⊂ (M, ρ), если (M1 , ρ) плотно в(M, ρ). Пример 5.3. R есть пополнение Q.Задача 5.12. Докажите: если M – полное пространство, то M являетсяпополнением M1 тогда и т.т., когда M есть замыкание M1 (M = M 1 ).Теорема 5.1.
(о возможности пополнения) У всякого метрического пространства существует пополнение, причем единственное с точностью доизометрии.Наметим основные этапы в доказательстве теоремы 5.1. Полное пространство совпадает со своим пополнением. В неполном пространстве M рассматривают множество Msec всех фундаментальных последовательностей {xn } иразбивают (факторизуют) Msec на классы эквивалентности {xn }∗ по принципу “неограниченного сближения“:{xn } ∼ {yn } ⇔ lim ρ(xn , yn ) = 0.n→∞(Докажите, что это отношение эквивалентности.) Оказывается, множество∗Msecклассов {xn }∗ является метрическим пространством, если определить внем метрику так:ρ∗ ({xn }∗ , {yn }∗ ) = lim ρ({x′n }, {yn′ }),n→∞где {x′n } ∈ {xn }∗ , {yn′ } ∈ {yn }∗ – произвольные представители взятых клас∗сов.
Более того, во-первых, пространство Msecявляется полным. Во-вторых,∗∗метрическое подпространство Minsec ⊂ Msec тех классов последовательностей,∗.представители которых сходятся к элементам из M , является плотным в Msec∗В-третьих, Minsec изометрично самому M . Наконец, любое пополнение M изо∗метрично Msec. (Конечно, эти утверждения надо доказать!)Пример 5.4. Построенное нами в начале курса множество действительныхчисел в виде бесконечных периодических и непериодических десятичных дробей изометрично пополнению метрического пространства Q по изложенной выше схеме.Исключительной по важности и красоте является теорема Банаха о неподвижной точке, в котором использована только метрическая структура. Ранее мы доказали эту теорему для замкнутых подмножеств арифметическихпространств.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР37Теорема 5.2. Пусть M – полное метрическое пространство, отображение F : M → M инъективно и является сжатием с коэффициентом k, т.е.∃k ∈ (0, 1) : ∀x, y ∈ M ,→ ρ(F (x), F (y)) 6 kρ(x, y).Тогда:1.
существует причем единственная неподвижная точка x∗ ,т.е. F (x∗ ) = x∗ ;2. неподвижная точка является пределом итерационного процесса, который можно запустить с любой точки x0 ∈ M :∀n ∈ N полагаем xn := F (xn−1 ), тогда x∗ = lim xn ;n→∞3. погрешность на n-ом шаге оценивается сверху по первому шагу какубывающая геометрическая прогрессия с коэффициентом k:ρ(xn , x∗ ) 6knρ(x0 , F (x0 )).1−kЗадача 5.13. Докажите теорему Банаха.5.2. Нормированные пространства. Сейчас исходным объектом изучения будет действительное линейное (= векторное) пространство L, т.е. множество, элементы которого можно складывать и умножать на действительныечисла, оставаясь в L.
Указанные операции обязаны удовлетворять неоднократно упоминавшимся аксиомам (назовите их).Примеры 5.3. линейных пространств:1. арифметическое вещественное пространство Vn столбцов (x1 , . . . , xn )T ;2. пространство n-мерных квадратных матриц A = (aij ) с поэлементнымиоперациями сложения и умножения на число;3. пространство последовательностей {xn }∞n=1 с покоординатными операциями сложения и умножения на число;4. функциональное пространство C[a, b] всех непрерывных на [a, b] функций с поточечными операциями сложения функций и умножения на число.Мы различаем линейные пространства L конечномерные (т.е. имеющиеконечный базис) и бесконечномерные (т.е. такие, у которых для произвольного n ∈ N существует n линейно независимых векторов из L).Определение 5.9.
Линейное пространство L называется нормированным,если на нем определена норма, т.е. неотрицательная функция x → ||x|| > 0,удовлетворяющая для любых x, y ∈ L аксиомам:1. тождественности: ||x|| = 0 ⇔ x = 0;2. однородности: ∀λ ∈ R верно ||λx|| = |λ|||x||;3. неравенству треугольника: ||x + y|| 6 ||x|| + ||y||. Примеры 5.4. нормированных пространств:38Я. М.
ДЫМАРСКИЙ1. a) пространство Vn с нормой ||x||T :=∑n|xi | (“геометрия такси”),(∑n)2 1/2b) пространство V с евклидовой нормой ||x||E :=i=1 xic) пространство Vn с нормой ||x||max := max {|xi |};i=1ni=1,...,n2. a) пространство n-мерных квадратных матриц A = (aij ) с евклидовой(∑)1/2n2нормой ||A||E :=a;i,j=1 ijb) пространство матриц с нормой коэффициента растяжения ||A|| :=max||x||=1 ||Ax||, где || · || – некоторая норма в Vn ;3. a) пространство l1 последовательностей{xn }, у которых ограничена∑∞∑∞ сумма модулей координат (т.е. n=1 |xn | < C) и нормой ||x||1 := n=1 |xn |;b) пространство l2 последовательностей {xn }, у которых ограничена сум(∑∞ 2 )1/2∑∞ма вадратов координат (т.е.
n=1 x2n < C) и нормой ||x||2 :=;n=1 xnc) пространство lsup последовательностей {xn } с равномерно ограниченными координатами (т.е. для каждой последовательности существуеттакая постоянная C > 0, что |xn | < C) и нормой ||x||sup := sup{|xn |};n∈N4. a) функциональное пространство C[a, b] с равномерной нормой||f ||C := max[a,b] |f (x)|;b) функциональное пространство L2 C[a, b] непрерывных функций с ин(´)1/2bтегральной нормой ||f ||L2 = a f 2 (x)dx;c) функциональное пространство LC[a, b] непрерывных функций с инте´bгральной нормой ||f ||L := a |f (x)|dx;d) функциональное пространство CP [a, b] всех многочленов p(x) = a0 +a1 x + ...
+ an xn (n = 0, 1, ...) с равномерной нормой ||p||C := max[a,b] |p(x)|.Задача 5.14. Докажите, что в каждом примере предложенная функцияудовлетворяет аксиомам нормы (или см. ниже лемму 5.6).Обсуждение 5.1. Обращаем внимание, что на одном и том же линейномпространстве норму можно вводить по-разному. Во-первых, мы получаем, согласно определению 5.9, разные нормированные пространства. Во-вторых, вбесконечномерных пространствах разные нормы приводят (как мы убедимсяниже) к разным топологическим свойствам.Каждое нормированное пространство является метрическим, если в нем положить по определениюρ(x, y) = ||x − y||.Задача 5.15. Докажите, что определенная выше функция ρ удовлетворяетаксиомам 1-3 из определения 5.1.Теперь на нормированные пространства переносятся без зменений следующие понятия метрического пространства: шар, сфера, сходимость последовательности, ее фундаментальность, полнота пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
