Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 12
Текст из файла (страница 12)
∀n ∈ N остаток rn := k=n+1 ξk ek ∈ L⊥n.Доказательство. Выберем и зафиксируем m ∈ N. Нас интересует коэффициент∑∞ξm . Поскольку ряд сходится, то для произвольного n ∈ N его остатокrn =k=n+1 ξk ek тоже сходиться и для любого ε > 0 существует такой номер n ∈ N, что n > m и ||rn || < ε/||em ||. Поэтому, учитывая ортогональностьсистемы, получаем:(f, em ) = (n∑ξk ek + rn , em ) = ξm (em , em ) + (rn , em ) ⇒k=1|(f, em ) − ξm (em , em )| = |(rn , em )| 6 ||rn || · ||em || < ε.52Я.
М. ДЫМАРСКИЙТ.е. неотрицательная константа |(f, em ) − ξm (em , em )| меньше сколь угодномалого положительного числа. Значит(f, em ) − ξm (em , em ) = 0 ⇔ ξm =(f, em ).(em , em )∑nИз первого пункта следует, что n-я сумма векторного рядаk=1 ξk ek =F Sn (f ) есть частичная сумма ряда Фурье вектора f . В силу единственностиортогонального разложения (лемма 6.2), получаем, что rn = hn ∈ L⊥n.
Замечание 6.2. Возникает желание∑∞ “сразу доказать” теорему 6.2 почленным умножением равенства f =k=1 ξk ek на em . Но ряд справа содержитбесконечное количество слагаемых! Поэтому почленное умножение нуждаетсяв обосновании, которое будет не короче, чем предложенный метод доказательства. Теперь мы обоснуем совпадение понятий полноты ортогональной системы ибазиса.Теорема 6.3. (об ортогональной системе) Пусть {ek }∞k=1 – ортогональная система в евклидовом пространстве L. Следующие утверждения равносильны:1. система {ek }∞k=1 – базис в L;2.
система {ek }∞k=1 полна в L;3. для каждого вектора f ∈ L его ряд Фурье по системе {ek }∞k=1 сходитсяк нему по норме || · || пространства L:f=∞∑ξk ek , где ξk =k=1(f, ek );(ek , ek )(6.5)4. для каждого вектора f ∈ L выполняется равенство Парсеваля(Марк-Антуан Парсеваль, 1755 — 1836):∞∑(f, ek )2k=1||ek ||2=∞∑ξk2 ||ek ||2 = ||f ||2 ,(6.6)k=1где ξk – коэффициенты Фурье вектора f по системе {ek }∞k=1 .Замечание 6.3. В ортонормированном базисе (т.е.
||ek || = 1) равенствоПарсеваля приобретает совсем простой вид:||f ||2 =∞∑k=1ξk2 =∞∑(f, ek )2 ,k=1т.е. это бесконечномерный аналог теоремы Пифагора. Замечательно, что числовое равенство (6.6) равносильно векторному равенству (6.5). Пример 6.1. В пространстве l2 (пример 6.3.3) ортонормированная система{ek := (0, . . . , 0, 1, 0, . . .)} (где единица стоит на k-м месте) является базисом, акоэффициенты Фурье вектора {xn } ∈ l2 – сами элементы последовательности{xn }.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР53Доказательство П.
1 ⇒ п. 2 приведено в обсуждении 6.1.П.2 ⇒ п. 3. Пусть ортогональная система {ek }∞k=1 полна в L. Значит,∀f ∧ ∀ε > 0 ∃ αk ∈ R (k = 1, ..., n) : ||f −n∑αk ek || < ε.k=1В силу минимального свойства коэффициентов Фурье ξk (k = 1, ..., n) (см. п.1теоремы 6.1), тем более||f −n∑ξk ek || 6 ||f −n∑αk ek || < ε.k=1k=1∑nЗначит, ∀ε > 0 ∃n ∈ N, что ||f − k=1 ξk ek || < ε.
Последнее означает сходимостьряда Фурье к вектору f . (Еще раз обращаем внимание, что коэффициенты αkв общем случае зависят от ε, а коэффициенты Фурье ξk НЕ зависят!)П. 3 ⇒ п. 1 следует из теоремы 6.2 о единственности разложения поортогональной системе.П. 3 ⇔ п. 4. В силу ортогональности системы||n∑ξk ek ||2 =k=1n∑ξk2 ||ek ||2 .k=1По этой причине, а также в силу п. 2 теоремы 6.3 и теоремы Пифагора (6.3),имеет место равносильности:(6.5) ⇔ lim ||f −n→∞n∑ξk ek ||2 = 0 ⇔ lim (||f ||2 − ||n→∞k=1||f ||2 − limn→∞n∑n∑ξk ek ||2 ) = 0 ⇔k=1ξk2 ||ek ||2 = 0 ⇔ (6.6) k=16.4. Гильбертовы пространства. Полнота бесконечномерного евклидового пространства столь важна, что такому пространству присвоено имя автора:Определение 6.4. Полное евклидово пространство называется гильбертовым (Давид Гильберт, 1862-1943).
Нас интересуют только гильбертовы пространства, обладающие ортогональным счетным базисом.Пример 6.2. Пространство l2 является гильбертовым. Доказательство этого факта не приводим.Пространство L2 C[a, b] не является полным. Доказательство неполнотыL2 C[a, b] осуществляется так же и неполнота LC[a, b].Для евклидовых пространств без изменений определяются понятия плотности евклидового подпространства и понятие пополнения и справедлива теорема:54Я. М. ДЫМАРСКИЙТеорема 6.4.
Всякое неполное евклидово пространство всегда можно пополнить. Пополнение единственно с точностью до биекции, сохраняющейвекторные операции и скалярное произведение.В частностиОпределение 6.5. Пополнение пространства L2 C[a, b] называется пространством функций квадратично интегрируемых по Лебегу и обозначается L2 (a, b). Сходимость в L2 (a, b) называют сходимостью в среднемквадратичном. В гильбертовом пространстве L корректен следующий вопрос: является лизаданная числовая последовательность {ξk }∞k=1 коэффициентами Фурье некоторого вектора f ∈ L? Полный ответ на него даетТеорема 6.5.
(о коэффициентах Фурье, Фридьеш Рисc (1880-1956) – ЭрнстФишер (1875-1954)) Пусть {ek }∞k=1 – ортогональная система в гильбертовомпространстве L. Следующие утверждения о числовой последовательности{ξk }∞k=1 равносильны:∑∞1. Рядk=1 ξk ek сходится к некоторому вектору f ∈ L по норме пространства L.2. Числовая последовательность {ξk }∞k=1 является коэффициентами Фурье некоторого∑вектора f ∈ L, т.е. ξk = (f, ek )/(ek , ek ).∞3. Числовой ряд k=1 ξk2 ||ek ||2 < +∞ сходится.Обсуждение 6.2.
В пп. 3 и 4 теоремы 6.3 дан вектор f , который порождает последовательность коэффициентов Фурье. А в пп. 2 и 3 теоремы 6.5,наоборот, числовая последовательность порождает вектор. Доказательство. П. 1 ⇒ п. 2. Это теорема 6.2 о единственности разложения по ортогональной системе. Более того, вектор f в п. 2 тот же, что и вп. 1.П. 2 ⇒ п.
3 следует из неравенства (6.4) Бесселя.П. 3 ⇒ п. 1. Именно здесь потребуетсяполнота пространства L. Рассмот∑nξe,рим последовательность Sn :=k=1 k k которая порождена данной ортогональной системой и данной числовой последовательностью. Воспользовавшись определением фундаментальности по Коши, докажем, что Sn сходитсяквектору f ∈ L. Для этого рассмотрим разность Sn+p − Sn =∑некоторомуn+pξe.Всилу ортогональности системы, получаемkkk=n+1n+p∑||Sn+p − Sn ||2 = (Sn+p − Sn , Sn+p − Sn ) =ξk2 ||ek ||2 .k=n+1Но, в силу критерия Коши сходимости числового ряда, из условия п.
3 следует,чтоn+p∑∀ε > 0 ∃ N ∈ N : ∀n ∧ ∀p ∈ N ,→ξk2 ||ek ||2 < ε.k=n+1Значит, последовательность Sn фундаментальна в L; значит, в полном пространстве L она сходится к некоторому вектору f . ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР55Следствие 6.3.
Все гильбертовы пространства со счетным ортогональным базисом изоморфны; в частности они изоморфны пространству l2 . Т.е.между любыми двумя гильбертовыми пространствами L1 и L2 существует линейная биекция F : L1 ↔ L2 , сохраняющая скалярное произведение:∀x1 , x2 ∈ L1 ,→ (x1 , x2 )1 = (F x1 , F x2 )2 .Доказательство. Ортогональные базисы всегда можно пронормировать,′ ∞поэтому считаем, что базисы {ek }∞k=1 ⊂ L1 и {ek }k=1 ⊂ L2 ортонормированны.Искомая биекция F (отнюдь не единственная!) может быть определена так:F (x) = y тогда и т.т., когда векторы x и y имеют совпадающие коэффициентыФурье в указанных базисах соответственно. Задача 6.4. Завершите доказательство.56Я.
М. ДЫМАРСКИЙ§ 7. Тригонометрические ряды Фурье дляфункций абсолютно интегрируемых с квадратомМы возвращаемся к РФ в пространстве L2R (−π, π), вооруженные теоремой6.4 об ортогональной системе в евклидовом пространстве. Чтобы ее применить, нужно доказать, что тригонометрическая система полна в L2R (−π, π).Мы не вправе применить теорему 6.6 (Рисса-Фишера) об ортогональной системе в гильбертовом пространстве, поскольку пространство L2R (−π, π) (в отличиеот L2 (−π, π)) не является полным (этот факт указывает, что ряды Фурье целесообразно исследовать именно в пространстве L2 (−π, π)).7.1. Полнота тригонометрической системы в L2R (−π, π). Нам потребуются две вспомогательные леммы.Лемма 7.1.
(об аппроксимации функций из L2R (a, b) кусочно-постоянными)Множество L2pc (a, b) кусочно-постоянных на (a, b) функций (piecewise constantfunction, см. определение 1.2) является плотным подмножеством пространства L2R (a, b), т.е.∀f ∈ L2R (a, b) ∀ε > 0 ∃ cε (x) ∈ L2pc (a, b) : ||f − cε ||2 < ε.Доказательство. Во-первых, если функция c(x) кусочно-постоянная, тоc ∈ L2R (a, b) и при любом доопределении c(a) и c(b) функция c2 (x) интегрируема на [a, b] по Риману.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
