Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Эйлеровы интегралы. Речь идет о специальных функциях, имеющих представление в виде НИ с параметрами, аргументами функций являются параметры. Полное исследование Эйлеровых интегралов осуществляется вкомплексных переменных. Пока ограничимся вещественными. Гамма-функцияприменяется в статистических исследованиях, бета-функция нашла применение в теоретической физике.Определение 8.2. Несобственный интегралˆ+∞Γ(p) =0←xp−1 e−x dx, p > 0(8.5)72Я. М.
ДЫМАРСКИЙназывается гамма-функцией Эйлера. Несобственный интегралˆ →1B(p, q) =xp−1 (1 − x)q−1 dx, p > 0, q > 0(8.6)0←называется бета-функцией Эйлера.Лемма 8.2. Определения (8.5) и (8.6) корректны.Доказательство. Оба интеграла от знакопостоянных функций. В особойточке +0 интеграл (8.5) сходится при p > 0 в силу эквивалентности xp−1 e−x ∼xp−1 . Для´ всех достаточно больших p справедлива оценка xp−1 e−x < e−x/2 .∞Интеграл 1 e−x/2 dx сходится при любых p. Следовательно интеграл (8.5)сходится при p > 0.При x → +0 справедлива эквивалентность xp−1 (1 − x)q−1 ∼ xp−1 , а приx → 1 − 0 – эквивалентность xp−1 (x − 1)q−1 ∼ (1 − x)q−1 . Что доказываетсходимость интеграла (8.6) при p, q > 0.
Теорема 8.9. (свойства гамма и бета функций)1. формула понижения Γ(p + 1) = p Γ(p), p > 0;2. вычисление факториала: Γ(n) = (n − 1)! для n ∈ N;3. формула дополненияπ;Γ(p)Γ(1 − p) =sin(πp)4. симметричность бета-функции B(p, q) = B(q, p);5. выражение бета-функции через гамма-функциюB(p, q) =Γ(p)Γ(q);Γ(p + q)6. вычисление биномиальных коэффициентов:Cnk =1.(n + 1)B(n − k + 1, k + 1)Обсуждение. Нетрудно доказать, что существует бесконечное множествогладких (и даже бесконечно дифференцируемых) функций f (p) (p > 0), длякоторых при p = n ∈ N верно равенство f (n) = n!. Ценность и уникальностьгамма-функции, в частности, в том, что она аналитическая, т.е.
допускающая представление в виде степенного ряда. График гамма-функции см. нарис. ???Рис. ???Доказательство свойств 1 и 2. При p > 0 имеемˆ ∞ˆ ∞p −xΓ(p + 1) =x e dx = −xp de−x =00x→∞p −x p−1 −x−x e e dx = p Γ(p).+ int∞0 pxx=0´∞Поскольку Γ(1) = 0 e−x dx = 1, то из формулы понижения сразу получаемсвойство 2. Задача.
Докажите симметричность бета-функции (свойство 4).ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР73§ 9. Интеграл Фурье и преобразование ФурьеНепериодическую функцию, определенную на всей оси, невозможно представить в виде тригонометрического ряда Фурье. Оказывается, такую функцию(при дополнительных условиях) можно представить в виде несобственного интеграла с параметром – интеграла Фурье. Интеграл Фурье является непрерывным аналогом тригонометрического ряда Фурье.
С интегралом Фурье связанопреобразование Фурье – непрерывный аналог последовательности коэффициентов Фурье.9.1. Интеграл Фурье. Предварительное обсуждение и определение. Напомним, что´ +∞функция f называется абсолютно интегрируемой наR, если интеграл −∞ f (x)dx имеет конечное количество особенностей и сходится абсолютно.√√Пусть f АИ на R функция. Для любого n ∈ N на [− πn, πn] определеныее коэффициенты Фурье1a0 := √2 πn√ˆπn√− πn√1f (t)dt, ak := √πn1bk := √πnˆπn√− πn√ˆπnf (t) sin√− πn√k πtf (t) cosdt,n√k πtdtnи частичные суммы ряда Фурье (мы намеренно берем количество слагаемыхn2 ):√ˆπn1F Sn2 (f ) = √f (t)dt +2 πn √− πnn∑√2k=11√πnˆπn√− πn√√√√√ˆπnk πtk πx1k πtk πx√f (t) cosdt·cos+f (t) sindt·sin=nnnnπn √− πn√1√2 πnˆπn√− πnn∑1f (t)dt +π2k=1√ˆπn√− πn√√k ππf (t) cos(t − x)dt ·.nnЗамечание. Осуществленное преобразование частичной суммы отличаетсяот вывода интеграла Дирихле (2.3): в формуле Дирихле сначала идет суммирование, потом интегрирование, сейчас – наоборот.√После замены ω := k π/n при фиксированном x и фиксированном n сумму вполученном выражении можно интерпретировать как интегральную сумму√на отрезке [0, πn] функции1φ(ω; n, x) =πˆ√πn√− πnf (t) cos ω(t − x)dt,74Я.
М. ДЫМАРСКИЙ√с разбиением отрезка интегрирования на равные подотрезки длины ∆ω = π/n√и выборкой ξk = πk/n в концах разбиения. Пусть n → +∞. Тогда первоеслагаемое, в силу АИ функции f на всей оси, устремится к нулю. А сумма“превратиться” в несобственный интеграл на полуоси. Мы считаем, что этоОпределение 9.1. Интегралом Фурье абсолютно интегрируемой на Rфункции называется повторный несобственный интегралF I(f, x) :=1πˆ∞(ˆ+∞−∞0)f (t) cos ω(t − x)dt dω.(9.1)Обсуждение.
Аналогично ряду Фурье, определение 9.1 является символьной записью. Оно определяет число (при фиксированном x ∈ R) только в√том случае, если существует НИ (9.1). Замена ω := k π/n при n → +∞ превращает дискретные частоты k ∈ N в непрерывно меняющиеся частоты отнуля до +∞, а функциональный ряд по индексу суммирования k превращаетсяв несобственный интеграл по переменной ω. По аналогии с рядом Фурье насинтересует, как интеграл Фурье связан с породившей его функцией f . В частности, возможность выразить значение функции f в точке x через ее интегралФурье F I(f, x), т.е.
справедливость числового равенства f (x) = F I(f, x).9.2. Подготовительная лемма.Лемма 9.1. (о перестановке повторных интегралов) Пусть функция f (t)абсолютно интегрируема на интервале (a, b), где −∞ 6 a < b 6 +∞, а функция g(t, ω) непрерывна и ограничена на “полосе” (a, b) × [c, d], где c, d ∈ R. Тогдасуществуют и совпадают повторные интегралыˆd(ˆb)ˆb(ˆdf (t)g(t, ω)dt dω =ca)f (t)g(t, ω)dω dt.a(9.2)cДоказательство осуществляется в четыре этапа и аналогично доказательству теоремы 8.7.´b1) Поскольку несобственный интеграл a f (t)dt имеет конечное количествоособенностей, достаточно рассмотреть случай, когда точка a ∈ R и единственной особенностью является точка b (конечная или +∞).2) Переход к собственному интегрированию: пусть b′ ∈ (a, b) – произвольнаяточка.
Рассмотрим функцию fˆ(t, ω) := f (t) как функцию от двух переменныхна прямоугольнике Π′ := [a, b′ ] × [c, d]. Поскольку f интегрируема в собственном смысле на [a, b′ ], то она же интегрируема в собственном смысле на Π′ и´´ b′fˆ(t, ω)dtdω = (d − c) a f (t)dt. Но функция g(t, ω), будучи непрерывной,Π′также интегрируема на Π′ . Следовательно (теорема 3.3.5 п. 3) произведение функций f (t)g(t, ω) интегрируемо в собственном смысле на Π′ . При каждом фиксированном ω0 ∈ [c, d] функция φ(t) := f (t)g(t, ω0 ) интегрируема на[a, b′ ] как произведение интегрируемой на непрерывную. При каждом фиксированном t0 ∈ [a, b′ ] функция ψ(ω) := f (t0 )g(t0 , ω) интегрируема на [c, d] какнепрерывная.
Из теоремы 3.3.8 следует существование и совпадение трехЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР75интегралов – двукратного и двух повторных:ˆdc′ˆbf (t)g(t, ω)dt dω =′¨ˆbf (t)g(t, ω)dtdω =Π′aaˆdf (t)g(t, ω)dω dt. (9.3)c3) Покажем, что в интеграле слева можно перейти к пределу при´ →bb → b. Во-первых, для каждого ω0 ∈ [c, d] НИ a f (t)g(t, ω0 )dt сходится,поскольку произведение абсолютно сходящейся функции f (t) на непрерывнуюограниченную функцию g(t, ω0 ) является абсолютно интегрируемой функци´ →bей.
Во-вторых, сходимость НИ a f (t)g(t, ω)dt равномерна относительно параметра ω ∈ [c, d]. Согласно условию, на Π := [a, b) × [c, d] верна оценка|g(t, ω)| < C = const. Из абсолютной интегрируемости функции f (t) следует, что для любого ε > 0 существует такое b′ ∈ (a, b), что для всех ξ ∈ (b′ , b)´ →bверна оценка ξ |f (t)|dt < ε/C. Тогда для всех ξ ∈ (b′ , b)′ˆ→bˆf (t)g(t, ω)dt < Cξ→b|f (t)|dt < ε.ξТеперь, рассуждая по отношению к функции f (t)g(t, ω) как при доказательстветеоремы 8.7, мы можем перейти к пределу:))ˆ (ˆ ′ˆ (ˆdlim′b →bb→bdf (t)g(t, ω)dt dω =caf (t)g(t, ω)dt dω.ca4) Но если в тождестве (9.3) существует предел в левой части при b′ → b,то существует предел в правой (части, они совпадаюти предел в правой)→b´ ´dчасти есть, по определению, НИf (t)g(t, ω)dω dt.
ac9.3. Сходимость интеграла Фурье в точке. Полным аналогом следствия 2.1 о сходимости ряда Фурье являетсяТеорема 9.1. (о сходимости интеграла Фурье к полусумме односторонних пределов) Пусть функция f АИ на R. Пусть x – точка разрыва и скачкапроизводной. Тогда интеграл Фурье функции f сходится в точке x к числуA = (f (x + 0) + f (x − 0))/2.Из теоремы 1 сразу получаемСледствие 9.1. (о сходимости интеграла Фурье к значению функции вточке) Пусть функция f АИ на R. Пусть x – точка гладкости функции илискачка производной. Тогда интеграл Фурье функции f сходится в точке x кее значению: f (x) = F I(f, x).Обсуждение.
Полная аналогия теоремы 1 и следствия 1 со следствиями 2.1и 2.2 соответственно обосновывает целесообразность формулы (9.1).Доказательство осуществляется в шесть этапов.76Я. М. ДЫМАРСКИЙ1) В силу леммы 9.1, для произвольных фиксированных x ∈ R и λ > 0существует собственный интеграл)ˆ (ˆ +∞1 λF I(f ; λ, x) :=f (t) cos ω(t − x)dt dω.(9.4)π 0−∞Значит, нам нужно доказать, что в условиях теоремыlim F I(f ; λ, x) =λ→+∞1(f (x + 0) + f (x − 0)).22) После замены u = t − x получаемˆ +∞ˆf (t) cos ω(t − x)dt =−∞ˆf (x + u) cos(ωu)du =−∞ˆ0f (x + u) cos(ωu)du +−∞+∞ˆ+∞f (x + u) cos(ωu)du =0+∞(f (x + u) + f (x − u)) cos(ωu)du.03) Подставляя полученное выражение в формулу (9.4) и меняя порядокинтегрирования (см. лемму 9.1), получаем:(ˆ)ˆλ1 +∞F I(f ; λ, x) =cos(ωu)dω (f (x + u) + f (x − u))du =π 001πˆ+∞(f (x + u) + f (x − u))0sin λuduu(см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
