Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. , N ), т.е. (xi , xj ) = 0 при i ̸= j,справедлива теорема Пифагора Самосского (570—490 гг. до н. э.):||x1 + . . . + xN ||2 = ||x1 ||2 + . . . + ||xN ||2 .Заметим, что в n-мерном евклидовом пространстве можно выбрать не более,чем n линейно независимых попарно ортогональных векторов.Задача 6.1.
Докажите неравенства (6.2) и теорему Пифагора.Примеры 6.1. евклидовых пространств:n1. арифметическоеV∑со скалярным произведе∑nевклидово пространство √n2нием (x, y) := i=1 xi yi и нормой ||x||E =i=1 xi ;22. n -мерное пространство n-мерных квадратныхматриц A = (aij ) со∑nскалярным произведением (A, B) :=ab= T r(AB) и нормойijiji,j=1√∑n2||A||2 =i,j=1 aij ;3.
пространство l2 последовательностей∑∞ 2 {xn }, у которых ограничена суммаквадратовкоординат(т.е.C) cо скалярным произведениемn=1 xn <√∑∑∞∞2(x, y) = n=1 xn yn и нормой ||x||2 =i=1 xi ;24. функциональное пространство L C[a, b] непрерывных функций со ска´bлярным произведением (f, g) := a f (x)g(x)dx и нормой(´)1/2b||f ||2 = a f 2 (x)dx;48Я. М.
ДЫМАРСКИЙПримеры 1 и 2 – конечномерные, 3 и 4 – бесконечномерные.Задача 6.2. Докажите, что в каждом примере выполнены аксиомы скалярного произведения.Задача 6.3. Докажите неполноту пространства L2 C[a, b] (воспользуйтесьдоказательством неполноты L1 C[a, b]).Нормированные пространства C 0 [a, b], L2 C[a, b], L1 C[a, b] оовпадают какмножества, поэтому можно сравнивать нормы этих пространств:Лемма 6.1.
(о сравнении норм) Для любого f ∈ C[a, b] верно:√1. норма || · ||C не слабее нормы || · ||2 : ||f ||2 6 √ b − a ||f ||C ;2. норма || · ||2 не слабее нормы || · ||1 : ||f ||1 6 b − a ||f ||2 ;3. норма || · ||C сильнее нормы || · ||2 , норма || · ||2 сильнее нормы || · ||1 .Т.е. из равномерной сходимости следует сходимость в среднем квадратичном, а из нее – сходимость в среднем.
Но не наоборот.Доказательство первого утверждения:(ˆ)1/2(ˆb||f ||2 =2f (x)dx6 max |f (x)|[a,b]a)1/2bdx6√b − a ||f ||C .aДоказательство второго утверждения основано на неравенстве Коши-Буняковского:ˆ bˆ b√||f ||1 =|f (x)|dx =|f (x)| · 1 dx = |(|f |, 1)| 6 ||f ||2 · ||1||2 = b − a ||f ||2 .aaДля доказательство третьего утверждения достаточно построить две последовательности непрерывных функций: 1) у которых норма ||fn ||2 → 0, а норма||fn ||C > const > 0 при n → ∞, 2) у которых норма ||fn ||1 → 0, а норма||fn ||2 > const > 0 при n → ∞. (Постройте такие последовательности!) 6.2.
Ортогональные системы. Наличие понятия угла (в частности, прямого) в бесконечномерном евклидовом пространстве позволяет среди всех систем выбрать “наилучшие”. Мы будем активно применять геометрическую интерпретацию, которая делает наглядной многие понятия, связанные с рядамиФурье.Определение 6.1. Система {ek }∞k=1 векторов бесконечномерного евклидового пространства L называется ортогональной, если она не содержит нулевого вектора, и все векторы попарно ортогональны:∀m, n ∈ N, m ̸= n ,→ (em , em ) > 0 ∧ (em , en ) = 0. Обозначим через Ln = Span{e1 , . . .
, en } ⊂ L линейную оболочку указанныхвекторов. Последняя является n-мерным евклидовым подпространством, с ортогональным базисом {e1 , ..., en }. Множество L⊥n := {h ∈ L : (h, ek ) = 0, k =1, . . . , n} всех векторов, ортогональных Ln , образует линейное евклидово подпространство L⊥n ⊂ L, которое называется ортогональным дополнением кLn . Итак:∀g ∈ Ln ∧ ∀h ∈ L⊥n ,→ (g, h) = 0.ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР49Лемма 6.2.
(об ортогональном разложении) Произвольный вектор f ∈ Lединственным образом представим в виде f = gn + hn , где gn ∈ Ln , а hn ∈ L⊥n(рис. 6.1). Векторы gn и hn называют ортогональными проекциями fна Ln и L⊥n соответственно.Доказательство. Поскольку gn ∈ Ln , то gn = ξ1 e1 + ... + ξn en , где координаты ξk предстоит найти. Допустим, чтоf = ξ1 e1 + ... + ξn en + hn и умножим скалярно это равенство на ek (k = 1, ..., n).Учитывая ортогональность системы иfL^nортогональность (hn , ek ) = 0, получимhnξk = (f, ek )/(ek , ek ). Вывод: если ортогональное разложение существует, токоординаты ξk и, заодно, вектор gn :=∑nk=1 ((f, ek )/(ek , ek )) · ek определяютсяединственным образом.
Теперь полоg n = FSn ( f )Lnжим hn := f − gn . Тогда (hn , ek ) =(f, ek ) − ξk (ek , ek ) = 0 для произвольногоk = 1, ..., n. Значит, hn ∈ L⊥n . ЕдинРис. 6.1ственность hn следует из единственности gn . Ориентируясь на формулы коэффициентов Фурье абсолютно интегрируемойфункции (п. 1.2), назовем:1. числа ξk := (f, ek )/(ek , ek ) – коэффициентами Фурье вектора f ,∑∞2.
формальный ряд k=1 ((f, ek )/(ek , ek )) · ek – рядом Фурье вектора f поданной ортогональной системе,∑n3. конечную сумму F Sn (f ) := k=1 ((f, ek )/(ek , ek )) · ek – частичной суммой ряда Фурье вектора f .Из введенных определений сразу вытекаетСледствие 6.1. (геометрическая интерпретация частичных сумм рядаФурье)1. Частичная сумма ряда Фурье F Sn (f ) есть ортогональная проекциявектора f на подпространство, образованное первыми n векторами ортогональной системы.2. Cправедливо равенство Пифагора:||f ||2 = ||F Sn (f )||2 + ||f − F Sn (f )||2 .(6.3)Доказательство.
Первое утверждение есть переформулировка леммы 6.2в терминах Фурье. Равенство (6.3), в силу ортогональности векторов F Sn (f ) =gn ⊥ hn = f − F Sn (f ), есть равенство Пифагора. Из равенства (6.3) мы получаем неравенство Бесселя:50Я. М. ДЫМАРСКИЙСледствие 6.2. (Бессель Фридрих Вильгельм, 1784 — 1846) Для любой ортогональной системы векторов {ek }∞k=1 и для любого вектора f ∈ L справедливо неравенство∞∞∑∑(f, ek )2ξk2 ||ek ||2 6 ||f ||2 ,(6.4)=||ek ||2k=1k=1где ξk – коэффициенты Фурье вектора f по данной системе.Доказательство. Из формулы (6.3), ортогональности системы {ek }∞k=1 , итеоремы Пифагора для n слагаемых следует, что для произвольного n ∈ N||f ||2 > ||F Sn (f )||2 =n∑ξk2 ||ek ||2 .k=1∑∞ 22Отсюда следует, что: 1) неотрицательный числовой рядk=1 ξk ||ek || сходится, 2) при переходе к пределу нестрогая оценка сохраняется.
Мы хотим конечномерной проекцией g ∈ Ln приблизиться к вектору f ,поэтому нашей целью является минимизация остатка h = f − g. Следующаятеорема объясняет почему ортогональная проекция gn = F Sn (f ) “наилучшая”.Теорема 6.1. (о минимальном свойстве коэффициентов Фурье) Справедливы и равносильны утверждения:1.||f − F Sn (f )|| = min ||f − g||;g∈Ln2.
Длина перпендикуляра hn = f − F Sn (f ), “опущенного из точки” f наподпространство Ln , является кратчайшим расстоянием от даннойточки до всевозможных точек g ∈ Ln (рис. 6.2).Замечание 6.1. Второеутверждение есть геометрическая интерпретация первого; оно означает, чтогипотенуза не меньше катета. Чтобыне загромождать изложение, мы невводим точечно-векторное пространство; при желании это можно сделатьпо схеме конечномерного аффинногопространства.
Впрочем, можно обойтись трехмерным подпространством,порожденным векторами {f, g, gn },где gn = F Sn (f ). L^nhnf -ggLngndРис. 6.2Доказательство. Пусть g ∈ Ln – произвольный вектор. Обозначим разность d := F Sn (f ) − g ∈ Ln . В силу следствия 6.1, hn := (f − F Sn (f ))⊥Ln .Значит, d⊥hn . Поэтому к векторам hn и d применима теорема Пифагора:||f − g||2 = ||(f − F Sn (f )) + d||2 = ||hn + d||2 = ||hn ||2 + ||d||2 > ||hn ||2 .
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР516.3. Ортогональный базис. Ранее мы обсудили понятие полной счетнойсистемы {ek }∞k=1 векторов бесконечномерного нормированного пространства.Сейчас мы перейдем к понятию счетного базиса.Определение 6.2. Говорят, что вектор f ∈ L нормированного пространства L раскладывается по системе {ek }∞такая чисk=1 ⊂ L, если существует∑∞ловая последовательность {ξk }∞,чтовекторныйрядξeсходитсякkkk=1k=1f по норме L, т.е.n∑lim ||f −ξk ek || = 0.n→∞В этом случае мы пишем f =∑∞k=1k=1 ξk ek .{ek }∞k=1Определение 6.3. Системавекторов нормированного пространстваL называется базисом пространства L, если любой вектор f ∈ L раскладывается по этой системе единственным образом.
Обсуждение 6.1. Очевидно, что базис всегда полная система векторов: изопределений 6.2 и 6.3 следует, что∀f ∈ L ∧ ∀ε > 0 ∃ ξk ∈ R (k = 1, ..., n) : ||f −n∑ξk ek || < ε.k=1В обратную сторону утверждение в общем случае неверно. Полная системавекторов аппроксимирует произвольныйвектор с любой наперед выбранной∑nпогрешностью ε > 0, т.е. ||f − k=1 αk ek || < ε. Однако с уменьшением погрешности не происходит стабилизации коэффициентов, т.е. от ε зависит не толькоколичество слагаемых в аппроксимации, но и αk = αk (ε). Поэтому НЕ возникает ряд, сходящийся к f . Именно существование ряда∑∞ позволяет от оценкипогрешности перейти к предельному равенству f = k=1 ξk ek .
Оказывается, в евклидовом пространстве для ортогональной системы понятия полноты и базисности тождественны. Прежде всего, справедливаТеорема 6.2. (о единственности разложения по ортогональной системе)Пусть {ek }∞L. Пустьk=1 – ортогональная система евклидового пространства∑∞вектор f ∈ L раскладывается по этой системе, т.е. f = k=1 ξk ek . Тогда:1. разложение единственно, а его коэффициенты являются коэффициентами Фурье: ξk = (f, e∑k )/(ek , ek );∞2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
