Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 17

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 17 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 172020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Замечание в п. 9.1 и сравните полученное выражение собственногоинтеграла (9.4) с частичной суммой ряда Фурье в виде интеграла Дирихле(2.4)).´ +∞4) Поскольку несобственный интеграл Дирихле 0 (sin λu/u)du = π/2 (см.таблицу в п. 8.4), то разность1F I(f ; λ, x) − (f (x + 0) + f (x − 0)) =2ˆ(() ()) sin λuf (x + u) + f (x − u) − f (x + 0) + f (x − 0)du =u0ˆˆ) sin λu) sin λu1 +∞ (1 +∞ (f (x + u) − f (x + 0)du +f (x − u) − f (x − 0)du.π 0uπ 0u1π+∞Остается показать, что каждый из полученных интегралов стремится к нулюпри λ → +∞.5) Рассмотрим только первый (второй исследуется аналогично); представимего в виде суммы трех интегралов:ˆ) sin λu1 +∞ (du =f (x + u) − f (x + 0)π 0uЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРˆ77f (x + u) − f (x + 0)sin λu du+u0ˆˆ1 +∞ f (x + u)1 +∞ sin λusin λu du − f (x + 0)du.π 1uπ 1u6 а) Поскольку x – точка скачка производной, существует конечный предел1π1limu→+0f (x + u) − f (x + 0)′= f+(x).uПоэтому функция (f (x + u) − f (x + 0))/u не имеет по переменной u особенностив точке +0 и абсолютно интегрируема на отрезке [0, 1].

В силу теоремы 1.3(Римана об осцилляции)ˆ1 1 f (x + u) − f (x + 0)sin λu du → 0 при λ → +∞.π 0u6 б) Поскольку при условии u ∈ [1, +∞) справедлива оценка |f (x + u)|/u 6|f (x + u)|, то функция f (x + u)/u абсолютно интегрируема по u на [1, +∞).Опять же, в силу теоремы 1.3 (Римана об осцилляции), получаемˆ1 +∞ f (x + u)sin λu du → 0 при λ → +∞.π 1u6 в) Из сходимости несобственного интеграла Дирихле следует, чтоˆ +∞ˆsin λu v=λu +∞ sin vdu =dv → 0 при λ → +∞.

uv1λПри исследовании интеграла Фурье полезнаЛемма 9.2. (о разложении на четную и нечетную составляющие) ДляАИ на R функции f справедливы утверждения:1. ее интеграл Фурье равенˆ +∞F I(f ) =(a(ω) cos(ωx)) + b(ω) sin(ωx))dω,0где1a(ω) =πˆ+∞−∞1f (t) cos(ωt)dt, b(ω) =πˆ+∞f (t) sin(ωt)dt;−∞2. если функция f четная, тоˆ +∞ˆ2 +∞F I(f ) =a(ω) cos(ωx)dt, где a(ω) =f (t) cos(ωt)dt;π 003. если функция f нечетная, тоˆˆ +∞2 +∞F I(f ) =b(ω) sin(ωx)dt, где b(ω) =f (t) sin(ωt)dt.π 00Задача. Докажите лемму 9.2. Сформулируйте теорему 9.1 и следствие 9.1в случае четной и нечетной функции f .78Я. М. ДЫМАРСКИЙ9.4. Преобразование Фурье.

Предварительное обсуждение и определение. Ряд Фурье сопоставляет периодической функции f последовательность пар ее коэффициентов Фурье: f ∼ {(ak , bk )}∞k=0 (считаем, что b0 =0).Каждаяпаракоэффициентоввполнехарактеризуетсяамплитудой Ak :=√a2k + b2k и фазой φk ∈ S 1 , где ak = Ak cos φk , bk = Ak sin φk . Последовательность пар {(Ak , φk )}∞k=0 – это спектральная характеристика периодическойфункции в зависимости от дискретной частоты k = 0, 1, 2, .... Комплексная форма ряда Фурье сопоставляет периодической функции “двустороннюю”последовательность коэффициентов {ck }+∞−∞ (в комплексной форме частоты kпринимают все целые значения). Из формул (2.10) следует, что Ak = 2|ck |,а φk = − arg ck (k ∈ N). Значит, один коэффициент ck содержит всю спектральную информацию о частоте k. Ряд Фурье функции f можно интерпретировать как функцию, зависящую от целочисленного аргумента k, т.е.F S(f ) : Z → C, F S(f )(k) := ck .

Сейчас мы запишем для непериодическойфункции ее интеграл Фурье в комплексной форме и выделим в нем непрерывный аналог функции F S(f ).Предварительно введемОпределение 9.2. Пусть функция φ определена на R и абсолютно интегрируема на любом отрезке [a, b]. Интегралом в смысле главного значенияназывается пределˆˆ+∞v.p.lφ(x)dx := limφ(x)dx.l→+∞−∞−lСокращение v.p. ´означает “Valeur principale” – главное значение (фр.).

Если+∞существует НИ I = −∞ φ(x)dx, то интеграл в смысле главного значения тожесуществует и совпадает I. В обратную сторону утверждение неверно.Нас интересует случай, когда функция φ абсолютно´ lинтегрируема на любомотрезке и нечетна. Тогда для любого l > 0 верно −l φ(x)dx = 0. Поэтому´ +∞v.p. −∞ φ(x)dx = 0Лемма 9.3. (комплексная форма интеграла Фурье) Пусть функция f ∈LR (R). Тогда ее интеграл Фурье имеет представления в виде повторных интегралов:1F I(f, x) = v.p. √2π1= v.p.

√2πˆˆeiωx−∞+∞−∞(+∞e−iωx(ˆ1√2π1√2π+∞f (t)e−iωt)dt dω =(9.5)−∞ˆ+∞)f (t)eiωt dt dω.(9.6)−∞Обсуждение. Формулы (9.5) и (9.6) имеют символьный характер (см. обсуждение определения 9.1 интеграла Фурье). Если же интеграл Фурье принекотором x ∈ R существует, то обе формулы определяют его. Причем, в этихформулах внешний несобственный интеграл понимается в смысле главного значения.79ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРДоказательство. Чтобы перейти в формуле (9.1) в комплексной форме,предварительно симметризуем ее по частотам: наряду с положительными введем отрицательные частоты ω. В силу четности функции косинус,)ˆ +∞ (ˆ +∞1F I(f, x) =f (t) cos ω(x − t)dt dω.(9.7)2π −∞−∞При фиксированном x, в силу леммы 1.1, существует НИ с параметром ω:ˆ +∞J(ω) =f (t) sin ω(x − t)dt−∞Из леммы 9.1 следует, что функция J(ω) АИ на любом отрезке.

В силу нечетности функции синус, получаем)ˆ +∞ (ˆ +∞iv.p.f (t) sin ω(x − t)dt dω = 0.(9.8)2π −∞−∞Сложим формулы (9.7) и (9.8) – получаем формулу)ˆ +∞ (ˆ +∞1iω(x−t)F I(f, x) = v.p.f (t)edt dω.2π −∞−∞(9.9)Поскольку eiω(x−t) = eiωx · e−iωt , из формулы (9.9) следует формула (9.5).В равенстве (9.7), в силу четности функции косинус, аргумент (x − t) можнозаменить на (t − x). В равенстве (9.8), в силу нечетности функции синус, аргумент (x − t) также можно заменить на (t − x), поскольку в правой части стоитноль. В результате мы получаем формулу, которая аналогична (9.9), с единственным отличием: вместо аргумента (x − t) стоит (t − x).

Откуда вытекаетформула (9.6). Сравнивая формулу (9.5) с рядом Фурье в комплексной форме, мы видим,что аналогом коэффициентов ck является внутренний интеграл. Применениекомплексной формы подсказывает перейти от вещественнозначной функции ккомплекснозначной f (x) = fr (x) + ifim (x). При этом все доказанные вышеутверждения остаются справедливыми, поскольку все преобразования с функцией f линейны и могут быть осуществлены отдельно для вещественной частиfr , отдельно для мнимой fim .

Теперь мы дадим основноеОпределение 9.3. Пусть f – комплекснозначная функция, абсолютно интегрируемая на любом отрезке. Ее преобразованием Фурье называется комплекснозначная функция действительной переменнойˆ +∞1F [f ](ω) = v.p. √f (x)e−iωx dx, где ω ∈ R.(9.10)2π −∞Обратным преобразованием Фурье называется комплекснозначная функция действительной переменнойˆ +∞1f (ω)eiωx dω, где x ∈ R.(9.11)F −1 [f ](x) = v.p.

√2π −∞80Я. М. ДЫМАРСКИЙОбсуждение Пусть f – физический сигнал, зависящий от времени. Интерпретируем его как суперпозицию (= сумму = наложение друг на друга) гармонических колебаний eiωx , частота ω которых меняется непрерывнона (−∞, +∞). Математически это означает интегрирование по переменнойω. Преобразование Фурье интерпретируется как спектральная характеристика сигнала в зависимости от непрерывной частоты ω. Именно: амплитудагармонического колебания частоты ω равна абсолютной величине комплексной функции F [f ](ω), а фазовый сдвиг колебания – это аргумент (F [f ](ω)):A(ω) = |F [f ](ω)|, φ(ω) = arg F [f ](ω).

Естественно ожидать, что обратное преобразование Фурье восстанавливает сигнал по его спектру – при определенныхусловиях это так. Преобразование Фурье, очевидно, линейно по f и “алгебраически” реагирует на дифференцирование и сдвиг аргумента (см. ниже). Поэтому исследовать спектр порой проще, чем сам сигнал. Преобразование Фурье– мощнейший метод в уравнениях математической физики и в статистическихисследованиях.9.5. Существование преобразования Фурье. Формулы (9.10) и (9.11),аналогично определениям ряда Фурье и интеграла Фурье, являются символьной записью. Абсолютная интегрируемость функции f на любом отрезкееще не гарантирует существования несобственных интегралов в смысле главного значения.

Но для функции абсолютно интегрируемой на всей оси существование прямого и обратного преобразований гарантировано:Теорема 9.2. Пусть функция f абсолютно интегрируема на R. Тогда:1. ее Фурье-образ F [f ](x) и обратный Фурье-образ F −1 [f ](x) существуютв каждой точке x ∈ R как несобственные интегралы (9.10) и (9.11), ане только в смысле главных значений;2.

в каждой точке x ∈ R верно: F −1 [f ](x) = F [f ](−x);3. функции F [f ] и F −1 [f ] равномерно непрерывны на R;4. limx→±∞ F [f ](x) = limx→±∞ F −1 [f ](x) = 0.5. Справедливо равенство Парсеваля: если f ∈ L1R (R) ∩ L2R (R), то прямоеи обратное преобразования Фурье сохраняют L2 -норму:ˆ∞ˆ∞|f (x)| dx =−∞ˆ∞|F [f ](w)| dω =22−∞|F −1 [f ](x)|2 dx.−∞Обсуждение. Из теоремы 9.2 следует, во-первых, равноправие прямого и обратного преобразований Фурье для абсолютно интегрируемой на R функции f : ее можно интерпретировать и как исходный сигнал, и как спектральнуюхарактеристику сигнала g = F −1 [f ]. Во-вторых, образ F [f ] (обратный образF −1 [f ]) АИ функции не имеет ни разрывов, ни “всплесков” в окрестностях ±∞(что не исключено у исходной АИ функции f ). Непрерывность Фурье-образауже гарантирует его абсолютную интегрируемость на любом отрезке. Однакоэто не означает, что Фурье-образ (обратный образ) является абсолютно интегрируемой на R функцией, т.е.

преобразования Фурье (прямое и обратное) недействуют в LR (R). Грубо говоря, преобразования Фурье улучшают локальныехарактеристики АИ функций, но могут ухудшить глобальную характеристикуЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР81– абсолютную интегрируемость на R. Поскольку интерес представляет суперпозиция прямого и обратного преобразований Фурье (см. ниже), то в определении 9.3 от функции f требуется только интегрируемость на любом отрезке,а несобственный интеграл понимается в главном значении. Наконец, опираясь на п.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6461
Авторов
на СтудИзбе
304
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее