Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Замечание в п. 9.1 и сравните полученное выражение собственногоинтеграла (9.4) с частичной суммой ряда Фурье в виде интеграла Дирихле(2.4)).´ +∞4) Поскольку несобственный интеграл Дирихле 0 (sin λu/u)du = π/2 (см.таблицу в п. 8.4), то разность1F I(f ; λ, x) − (f (x + 0) + f (x − 0)) =2ˆ(() ()) sin λuf (x + u) + f (x − u) − f (x + 0) + f (x − 0)du =u0ˆˆ) sin λu) sin λu1 +∞ (1 +∞ (f (x + u) − f (x + 0)du +f (x − u) − f (x − 0)du.π 0uπ 0u1π+∞Остается показать, что каждый из полученных интегралов стремится к нулюпри λ → +∞.5) Рассмотрим только первый (второй исследуется аналогично); представимего в виде суммы трех интегралов:ˆ) sin λu1 +∞ (du =f (x + u) − f (x + 0)π 0uЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРˆ77f (x + u) − f (x + 0)sin λu du+u0ˆˆ1 +∞ f (x + u)1 +∞ sin λusin λu du − f (x + 0)du.π 1uπ 1u6 а) Поскольку x – точка скачка производной, существует конечный предел1π1limu→+0f (x + u) − f (x + 0)′= f+(x).uПоэтому функция (f (x + u) − f (x + 0))/u не имеет по переменной u особенностив точке +0 и абсолютно интегрируема на отрезке [0, 1].
В силу теоремы 1.3(Римана об осцилляции)ˆ1 1 f (x + u) − f (x + 0)sin λu du → 0 при λ → +∞.π 0u6 б) Поскольку при условии u ∈ [1, +∞) справедлива оценка |f (x + u)|/u 6|f (x + u)|, то функция f (x + u)/u абсолютно интегрируема по u на [1, +∞).Опять же, в силу теоремы 1.3 (Римана об осцилляции), получаемˆ1 +∞ f (x + u)sin λu du → 0 при λ → +∞.π 1u6 в) Из сходимости несобственного интеграла Дирихле следует, чтоˆ +∞ˆsin λu v=λu +∞ sin vdu =dv → 0 при λ → +∞.
uv1λПри исследовании интеграла Фурье полезнаЛемма 9.2. (о разложении на четную и нечетную составляющие) ДляАИ на R функции f справедливы утверждения:1. ее интеграл Фурье равенˆ +∞F I(f ) =(a(ω) cos(ωx)) + b(ω) sin(ωx))dω,0где1a(ω) =πˆ+∞−∞1f (t) cos(ωt)dt, b(ω) =πˆ+∞f (t) sin(ωt)dt;−∞2. если функция f четная, тоˆ +∞ˆ2 +∞F I(f ) =a(ω) cos(ωx)dt, где a(ω) =f (t) cos(ωt)dt;π 003. если функция f нечетная, тоˆˆ +∞2 +∞F I(f ) =b(ω) sin(ωx)dt, где b(ω) =f (t) sin(ωt)dt.π 00Задача. Докажите лемму 9.2. Сформулируйте теорему 9.1 и следствие 9.1в случае четной и нечетной функции f .78Я. М. ДЫМАРСКИЙ9.4. Преобразование Фурье.
Предварительное обсуждение и определение. Ряд Фурье сопоставляет периодической функции f последовательность пар ее коэффициентов Фурье: f ∼ {(ak , bk )}∞k=0 (считаем, что b0 =0).Каждаяпаракоэффициентоввполнехарактеризуетсяамплитудой Ak :=√a2k + b2k и фазой φk ∈ S 1 , где ak = Ak cos φk , bk = Ak sin φk . Последовательность пар {(Ak , φk )}∞k=0 – это спектральная характеристика периодическойфункции в зависимости от дискретной частоты k = 0, 1, 2, .... Комплексная форма ряда Фурье сопоставляет периодической функции “двустороннюю”последовательность коэффициентов {ck }+∞−∞ (в комплексной форме частоты kпринимают все целые значения). Из формул (2.10) следует, что Ak = 2|ck |,а φk = − arg ck (k ∈ N). Значит, один коэффициент ck содержит всю спектральную информацию о частоте k. Ряд Фурье функции f можно интерпретировать как функцию, зависящую от целочисленного аргумента k, т.е.F S(f ) : Z → C, F S(f )(k) := ck .
Сейчас мы запишем для непериодическойфункции ее интеграл Фурье в комплексной форме и выделим в нем непрерывный аналог функции F S(f ).Предварительно введемОпределение 9.2. Пусть функция φ определена на R и абсолютно интегрируема на любом отрезке [a, b]. Интегралом в смысле главного значенияназывается пределˆˆ+∞v.p.lφ(x)dx := limφ(x)dx.l→+∞−∞−lСокращение v.p. ´означает “Valeur principale” – главное значение (фр.).
Если+∞существует НИ I = −∞ φ(x)dx, то интеграл в смысле главного значения тожесуществует и совпадает I. В обратную сторону утверждение неверно.Нас интересует случай, когда функция φ абсолютно´ lинтегрируема на любомотрезке и нечетна. Тогда для любого l > 0 верно −l φ(x)dx = 0. Поэтому´ +∞v.p. −∞ φ(x)dx = 0Лемма 9.3. (комплексная форма интеграла Фурье) Пусть функция f ∈LR (R). Тогда ее интеграл Фурье имеет представления в виде повторных интегралов:1F I(f, x) = v.p. √2π1= v.p.
√2πˆˆeiωx−∞+∞−∞(+∞e−iωx(ˆ1√2π1√2π+∞f (t)e−iωt)dt dω =(9.5)−∞ˆ+∞)f (t)eiωt dt dω.(9.6)−∞Обсуждение. Формулы (9.5) и (9.6) имеют символьный характер (см. обсуждение определения 9.1 интеграла Фурье). Если же интеграл Фурье принекотором x ∈ R существует, то обе формулы определяют его. Причем, в этихформулах внешний несобственный интеграл понимается в смысле главного значения.79ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТРДоказательство. Чтобы перейти в формуле (9.1) в комплексной форме,предварительно симметризуем ее по частотам: наряду с положительными введем отрицательные частоты ω. В силу четности функции косинус,)ˆ +∞ (ˆ +∞1F I(f, x) =f (t) cos ω(x − t)dt dω.(9.7)2π −∞−∞При фиксированном x, в силу леммы 1.1, существует НИ с параметром ω:ˆ +∞J(ω) =f (t) sin ω(x − t)dt−∞Из леммы 9.1 следует, что функция J(ω) АИ на любом отрезке.
В силу нечетности функции синус, получаем)ˆ +∞ (ˆ +∞iv.p.f (t) sin ω(x − t)dt dω = 0.(9.8)2π −∞−∞Сложим формулы (9.7) и (9.8) – получаем формулу)ˆ +∞ (ˆ +∞1iω(x−t)F I(f, x) = v.p.f (t)edt dω.2π −∞−∞(9.9)Поскольку eiω(x−t) = eiωx · e−iωt , из формулы (9.9) следует формула (9.5).В равенстве (9.7), в силу четности функции косинус, аргумент (x − t) можнозаменить на (t − x). В равенстве (9.8), в силу нечетности функции синус, аргумент (x − t) также можно заменить на (t − x), поскольку в правой части стоитноль. В результате мы получаем формулу, которая аналогична (9.9), с единственным отличием: вместо аргумента (x − t) стоит (t − x).
Откуда вытекаетформула (9.6). Сравнивая формулу (9.5) с рядом Фурье в комплексной форме, мы видим,что аналогом коэффициентов ck является внутренний интеграл. Применениекомплексной формы подсказывает перейти от вещественнозначной функции ккомплекснозначной f (x) = fr (x) + ifim (x). При этом все доказанные вышеутверждения остаются справедливыми, поскольку все преобразования с функцией f линейны и могут быть осуществлены отдельно для вещественной частиfr , отдельно для мнимой fim .
Теперь мы дадим основноеОпределение 9.3. Пусть f – комплекснозначная функция, абсолютно интегрируемая на любом отрезке. Ее преобразованием Фурье называется комплекснозначная функция действительной переменнойˆ +∞1F [f ](ω) = v.p. √f (x)e−iωx dx, где ω ∈ R.(9.10)2π −∞Обратным преобразованием Фурье называется комплекснозначная функция действительной переменнойˆ +∞1f (ω)eiωx dω, где x ∈ R.(9.11)F −1 [f ](x) = v.p.
√2π −∞80Я. М. ДЫМАРСКИЙОбсуждение Пусть f – физический сигнал, зависящий от времени. Интерпретируем его как суперпозицию (= сумму = наложение друг на друга) гармонических колебаний eiωx , частота ω которых меняется непрерывнона (−∞, +∞). Математически это означает интегрирование по переменнойω. Преобразование Фурье интерпретируется как спектральная характеристика сигнала в зависимости от непрерывной частоты ω. Именно: амплитудагармонического колебания частоты ω равна абсолютной величине комплексной функции F [f ](ω), а фазовый сдвиг колебания – это аргумент (F [f ](ω)):A(ω) = |F [f ](ω)|, φ(ω) = arg F [f ](ω).
Естественно ожидать, что обратное преобразование Фурье восстанавливает сигнал по его спектру – при определенныхусловиях это так. Преобразование Фурье, очевидно, линейно по f и “алгебраически” реагирует на дифференцирование и сдвиг аргумента (см. ниже). Поэтому исследовать спектр порой проще, чем сам сигнал. Преобразование Фурье– мощнейший метод в уравнениях математической физики и в статистическихисследованиях.9.5. Существование преобразования Фурье. Формулы (9.10) и (9.11),аналогично определениям ряда Фурье и интеграла Фурье, являются символьной записью. Абсолютная интегрируемость функции f на любом отрезкееще не гарантирует существования несобственных интегралов в смысле главного значения.
Но для функции абсолютно интегрируемой на всей оси существование прямого и обратного преобразований гарантировано:Теорема 9.2. Пусть функция f абсолютно интегрируема на R. Тогда:1. ее Фурье-образ F [f ](x) и обратный Фурье-образ F −1 [f ](x) существуютв каждой точке x ∈ R как несобственные интегралы (9.10) и (9.11), ане только в смысле главных значений;2.
в каждой точке x ∈ R верно: F −1 [f ](x) = F [f ](−x);3. функции F [f ] и F −1 [f ] равномерно непрерывны на R;4. limx→±∞ F [f ](x) = limx→±∞ F −1 [f ](x) = 0.5. Справедливо равенство Парсеваля: если f ∈ L1R (R) ∩ L2R (R), то прямоеи обратное преобразования Фурье сохраняют L2 -норму:ˆ∞ˆ∞|f (x)| dx =−∞ˆ∞|F [f ](w)| dω =22−∞|F −1 [f ](x)|2 dx.−∞Обсуждение. Из теоремы 9.2 следует, во-первых, равноправие прямого и обратного преобразований Фурье для абсолютно интегрируемой на R функции f : ее можно интерпретировать и как исходный сигнал, и как спектральнуюхарактеристику сигнала g = F −1 [f ]. Во-вторых, образ F [f ] (обратный образF −1 [f ]) АИ функции не имеет ни разрывов, ни “всплесков” в окрестностях ±∞(что не исключено у исходной АИ функции f ). Непрерывность Фурье-образауже гарантирует его абсолютную интегрируемость на любом отрезке. Однакоэто не означает, что Фурье-образ (обратный образ) является абсолютно интегрируемой на R функцией, т.е.
преобразования Фурье (прямое и обратное) недействуют в LR (R). Грубо говоря, преобразования Фурье улучшают локальныехарактеристики АИ функций, но могут ухудшить глобальную характеристикуЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР81– абсолютную интегрируемость на R. Поскольку интерес представляет суперпозиция прямого и обратного преобразований Фурье (см. ниже), то в определении 9.3 от функции f требуется только интегрируемость на любом отрезке,а несобственный интеграл понимается в главном значении. Наконец, опираясь на п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
