Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 18
Текст из файла (страница 18)
5 теоремы, можно доказать, что преобразование Фурье действует вгильбертовом пространстве L2 (R) и сохраняет его норму.Доказательство. Утверждение п. 1 следует из равенства |f (t)e±iωt | = |f (t)|для всех ω, t ∈ R и абсолютной интегрируемости функции f на R. Пункт дваследует из определения 9.3.Для доказательства п.
3, во-первых, заметим, что(ˆ +∞)ˆ +∞1F [f ](ω) = √(9.12)f (t) cos(ωt)dt − if (t) sin(ωt)dt .2π−∞−∞Поэтому достаточно доказать равномерную непрерывность каждогослагаемо´ +∞го. Докажем равномерную непрерывность функции a(ω) = −∞ f (t) cos(ωt)dt.Для произвольных ω1 , ω2 ∈ R верно ˆ +∞f (t)(cos(ω2 t) − cos(ω1 t))dt 6|a(ω2 ) − a(ω1 )| = −∞ˆt(ω2 − ω1 )t(ω2 + ω1 ) |f (t)|2 sinsindt 622−∞ˆ −Aˆ +Aˆ +∞|f (t)|dt +|tf (t)||ω2 − ω1 |dt +|f (t)|dt,+∞−∞−AAгде A > 0 – произвольное число.
Возьмем любое ε > 0. Поскольку функция fабсолютно интегрируема на всей оси, существует такое A = A(ε), для которогоˆA−∞|f (t)|dt <ε,3ˆ+∞|f (t)|dt <Aε.3´ +AОпределим M (ε) = M (A(ε)) := 1 + −A |tf (t)|dt > 1. Возьмем δ(ε) = ε/(3M ).Тогда для произвольных ω1 , ω2 , для которых |ω2 − ω1 | < δ, выполняется:|a(ω2 ) − a(ω1 )| < 2ε/3 + M (ε)δ(ε) 6 ε. Для функции b(ω) доказательство такоеже.Утверждение п. 4 сразу вытекает из теоремы 1.3 (Римана об осцилляции).Утверждение п. 5 примем без доказательства.
Симметрии функции f упрощают ее преобразование Фурье (сравните с леммой 9.2).Лемма 9.4. (о Фурье-образе четных и нечетных функций) Пусть функцияАИ на R. Тогда:1. если функция четная, то√ ˆ ∞2F [f ](ω) = F −1 [f ](ω) =f (x) cos(xω)dx;π 082Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. если функция нечетная, то√F [f ](ω) = −F−1[f ](ω) = −i2πˆ∞f (x) sin(xω)dx.0Задача. Опираясь на представление (9.12) преобразования Фурье, докажите лемму 9.4.Теорема 9.3. (формулы обращения) Пусть функция f абсолютно интегрируема на R.
Тогда:1. для тех x ∈ R, для которых существует интеграл Фурье, суперпозиция прямого и обратного преобразований Фурье (в любом порядке)совпадает с интегралом Фурье:F −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) = F I(f, x);2. Если x – точка разрыва и скачка производной функции f , тогдаF −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) =1(f (x + 0) + f (x − 0));23. Если x – точка гладкости или скачка производной функции f , тогдаF −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) = f (x).(9.13)Обсуждение. Формулы обращения (9.13) показывают, что при определенныхдополнительных условиях прямое и обратное преобразования Фурье в самомделе являются взаимно обратными. Мы использовали условия Дини-Липшица.(См.
замечание 1 к следствию 2.3.)Доказательство. П. 1 следует из леммы 9.3. П. 2 следует из леммы 9.3 итеоремы 9.1, а п. 3 – из леммы 9.3 и следствия 9.1.Следствие 9.2. (о квадрате преобразования Фурье) Пусть функция f и ееФурье-образ F [f ] АИ на R. Пусть функция f кусочно-гладкая на R. Тогда∀x ∈ R верно F 2 [f (x)] = f (−x).Доказательство. Из первого условия и п. 2 теоремы 9.2 следует, чтоF [F [f ]](x) = F −1 [F [f ]](−x) на R. Из второго условия и п. 3 теоремы 9.3следует, что F −1 [F [f ]](−x) = f (−x) на R.
9.6. Примеры преобразований Фурье. 1. Найдем преобразование Фурье функции f (x) = e−γ|x| (γ > 0), где γ > 0. В силу четности функции,получаем√ ˆ ∞√22γ−γxF [f ](ω) =ecos(ωx)dx =.2π 0π ω + γ2Функции f, F [f ] ∈ LR (R). См. рис. ??????12. Пусть f (x) = x2 +a2 (a > 0). Из примера 1 и следствия 9.2 получаем:1F[ 2]=x + a2√π 1· ·F [2 a√√√√2a2π 2 −a|x|2π −a|−x|2π −a|x|]=F [e]=e=e.π x 2 + a22a2a2aЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР833. Рассмотрим “прямоугольный импульс” в δ-окрестности нуля с амплитудойA: f (x) := A при |x| 6 δ и f (x) ≡ 0 при |x| > δ. Тогда√ˆ δA2 sin(ωδ)−iωxF [f ](ω) = √edx = A.πω2π −δФункция F [f ] не является абсолютно интегрируемой на R (рис. ???).Рис.
???24. Рассмотрим функцию “нормального распределения” f (x) := e−ax (a >0). Тогдаˆ ∞2211F [f ](ω) = √e−ax −iωx dx = √ e−ω /4a2π −∞2a(интеграл сводится заменой к интегралу Эйлера-Пуассона, см. п. 8.4). При a =221/2 Фурье-образ F [e−x /2 ] = e−ω /2 совпадает с прообразом. Т.е. “стандартноенормальное распределение” есть неподвижная точка преобразования Фурье.9.7. Алгебраические операции и дифференцирование.Теорема 9.4. (алгебраические операции и преобразование Фурье) Пустьфункции f и g абсолютно интегрируемы на R.
Тогда имеют место свойства:1. линейности: для любых комплексных α и βF [αf + βg] = αF [f ] + βF [g],F −1 [αf + βg] = αF −1 [f ] + βF −1 [g];2. растяжения аргумента: ∀α ∈ R, α ̸= 0(ω)11 −1 ( ω )F [f (αx)] =F [f ], F −1 [f (αx)] =F [f ];|α|α|α|α3. сдвига аргумента:F [f (x − x0 )] = e−iωx0 F [f ](ω),F −1 [f (x − x0 )] = eiωx0 F −1 [f ](ω).Доказательство. Первый и третий пункты очевидны из определения 9.3.П. 2 следует из определения 9.3 после подстановки t = αx. Пусть α > 0:( )ˆ +∞(ω )1t1−i ωtαF [f (αx)] = √f (t)ed=F [f ].α|α|α2π −∞Задача.
Докажите п. 2 при α < 0 и п. 3 теоремы 9.4.Оказывается, операция дифференцирования функции и ее преобразованиеФурье связаны через умножение на аргумент. Приведем все формулировки иобсудим их.Теорема 9.5. (преобразование Фурье производной) Пусть функция f кусочно-гладкая на любом конечном отрезке; пусть сама функция и ее производнаяf ′ (x) абсолютно интегрируемы на R. ТогдаF [f ′ ](ω) = iωF [f ](ω), F −1 [f ′ ](ω) = −iωF −1 [f ](ω).84Я. М.
ДЫМАРСКИЙСледствие 9.3. Пусть функция f такая, что для некоторого n ∈ N еепроизводная f (n−1) кусочно-гладкая на любом конечном отрезке; пусть самафункция f и ее производные f ′ , ..., f (n) абсолютно интегрируемы на R. Тогда:1.F [f (k) ](ω) = (iω)k F [f ](ω), F −1 [f (k) ](ω) = (−iω)k F −1 [f ](ω), k = 0, ..., n;(2.F [f ](ω) = o1ωn), F −1 [f ](ω) = o(1ωn)при ω → ±∞.Теорема 9.6. (производная преобразования Фурье) Пусть функции f (x) иxf (x) абсолютно интегрируемы на R. Тогда преобразования Фурье функции fявляются непрерывно дифференцируемыми на R функциями иdF [f ](ω) = −iF [xf (x)](ω),dωd −1F [f ](ω) = iF −1 [xf (x)](ω).dωСледствие 9.4.
Пусть функции f (x), xf (x), ... , xn f (x) абсолютно интегрируемы на R. Тогда преобразования Фурье функции f являются n разнепрерывно дифференцируемыми на R функциями и для k = 0, ..., n верноdkF [f ](ω) = (−i)k F [xk f (x)](ω),dω kdk −1F [f ](ω) = ik F −1 [xk f (x)](ω).dω kОбсуждение. Теорема 9.5 и следствие 9.3 не только предлагают метод нахождения Фурье-образа производной, но и оценивают убывание на бесконечности Фурье-образа самой функции в зависимости от ее гладкости: чем глажефункция, тем быстрее убывает на бесконечности ее Фурье-образ (сравните стеоремой 3.3 об убывании коэффициентов Фурье). Теорема 9.6 и следствие 9.4означают, что справедливо и двойственное утверждение: чем быстрее убываетфункция, тем глаже ее Фурье-образ.Доказательство теоремы 9.5.
Покажем, что в условиях теоремы функцияf обладает предельным свойством limx→±∞ f (x) = 0.´ Свойства функции f доxстаточны, чтобы представить ее в виде f (x) = f (0) + 0 f ′ (t)dt. Из абсолютнойинтегрируемости следует существование конечного предела()ˆ xˆ ∞′lim f (x) = lim f (0) +f (t)dt = f (0) +f ′ (t)dt = A ∈ R.x→∞x→∞00Если допустить, что A ̸= 0, то существует такое число x0 , что |f (x)| > |A|/2для всех x > x0 . Что противоречит абсолютной сходимости.
Аналогично рассматривается случай x → −∞.Теперь, опираясь на п. 1 теоремы 9.2, применим преобразование Фурье кпроизводной:ˆ +∞1f ′ (x)e−ixω dx =F [f ′ ](ω) = √2π −∞()x→+∞ ˆ +∞1−ixω −ixω√f (x)e−f (x)e(−iω)dx = iωF [f ](ω). x→−∞2π−∞ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР85Доказательство п. 2 следствия 9.3. Из п. 1 следует, что |F [f ](ω)| =|F [f (n) ](ω)|/|ω|n . Поскольку функция f (n) абсолютно интегрируема на R, длянее (в силу п. 4 теоремы 9.2) limω→±∞ F [f (n) ](ω) = 0.
Доказательство теоремы 9.6. Применим лемму 9.1 к функциям xf (x) иg(x, ω) = −ie−ixω на полосе (−∞, +∞) × [0, t], где t – любое число. Получаем:))ˆ +∞ (ˆ tˆ t (ˆ +∞−ixω−ixωf (x)(−ix)edω dx =f (x)(−ix)edx dω. (9.14)−∞0−∞0В интеграле слева сомножитель f (x) выносится из внутреннего интеграла, иˆt(−ix)e−ixω dω =0ˆ0t( −ixω )′edω = e−ixt − 1.ωВнутренний интеграл справа есть Фурье-образ функции (−ix)f (x):ˆ+∞f (x)(−ix)e−ixω dx = F [−ixf (x)](ω).−∞Тождество (9.14) (по переменной t) приобрело вид:ˆ+∞−∞f (x)(e−ixt − 1)dx =ˆtF [−ixf (x)](ω)dω.0Но интеграл слева есть Фурье-образ функции f в точках t и t0 = 0.
Поэтомуˆ tF [f ](t) − F [f ](0) =F [−ixf (x)](ω)dω.0По условию функция (−ix)f (x) абсолютно интегрируема на R, поэтому (теорема 9.2 п. 3) ее Фурье-образ непрерывен. Значит, функция справа непрерывнодифференцируема по t. Следовательно, функция слева – тоже непрерывнодифференцируема. Дифференцируя тождество в точке t = ω, получаем утверждение теоремы.
86Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 10. Обобщенные функцииПонятие обобщенной функции (ОИ) появилось в первой четверти 20 века.В исследованиях по квантовой механике Поль Дирак (1902-1984) ввел “некорректное” понятие дельта-функции – это был первый (и, как оказалось, важнейший) пример обобщенной функции. Сергей Львович Соболев (1908-1989),анализируя понятие решения уравнения в частных производных, создал систематическую теорию, в которой ввел ключевое понятие обобщенной производной. Позже Лоран Шварц (1915-2002) разработал универсальный формализм,которому мы будем следовать.10.1. Предварительное обсуждение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
