Главная » Просмотр файлов » Лекции Дымарский 4 семестр

Лекции Дымарский 4 семестр (1187980), страница 18

Файл №1187980 Лекции Дымарский 4 семестр (Лекции Дымарский 4 семестр) 18 страницаЛекции Дымарский 4 семестр (1187980) страница 182020-09-16СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

5 теоремы, можно доказать, что преобразование Фурье действует вгильбертовом пространстве L2 (R) и сохраняет его норму.Доказательство. Утверждение п. 1 следует из равенства |f (t)e±iωt | = |f (t)|для всех ω, t ∈ R и абсолютной интегрируемости функции f на R. Пункт дваследует из определения 9.3.Для доказательства п.

3, во-первых, заметим, что(ˆ +∞)ˆ +∞1F [f ](ω) = √(9.12)f (t) cos(ωt)dt − if (t) sin(ωt)dt .2π−∞−∞Поэтому достаточно доказать равномерную непрерывность каждогослагаемо´ +∞го. Докажем равномерную непрерывность функции a(ω) = −∞ f (t) cos(ωt)dt.Для произвольных ω1 , ω2 ∈ R верно ˆ +∞f (t)(cos(ω2 t) − cos(ω1 t))dt 6|a(ω2 ) − a(ω1 )| = −∞ˆt(ω2 − ω1 )t(ω2 + ω1 ) |f (t)|2 sinsindt 622−∞ˆ −Aˆ +Aˆ +∞|f (t)|dt +|tf (t)||ω2 − ω1 |dt +|f (t)|dt,+∞−∞−AAгде A > 0 – произвольное число.

Возьмем любое ε > 0. Поскольку функция fабсолютно интегрируема на всей оси, существует такое A = A(ε), для которогоˆA−∞|f (t)|dt <ε,3ˆ+∞|f (t)|dt <Aε.3´ +AОпределим M (ε) = M (A(ε)) := 1 + −A |tf (t)|dt > 1. Возьмем δ(ε) = ε/(3M ).Тогда для произвольных ω1 , ω2 , для которых |ω2 − ω1 | < δ, выполняется:|a(ω2 ) − a(ω1 )| < 2ε/3 + M (ε)δ(ε) 6 ε. Для функции b(ω) доказательство такоеже.Утверждение п. 4 сразу вытекает из теоремы 1.3 (Римана об осцилляции).Утверждение п. 5 примем без доказательства.

Симметрии функции f упрощают ее преобразование Фурье (сравните с леммой 9.2).Лемма 9.4. (о Фурье-образе четных и нечетных функций) Пусть функцияАИ на R. Тогда:1. если функция четная, то√ ˆ ∞2F [f ](ω) = F −1 [f ](ω) =f (x) cos(xω)dx;π 082Я. М. ДЫМАРСКИЙ2. если функция нечетная, то√F [f ](ω) = −F−1[f ](ω) = −i2πˆ∞f (x) sin(xω)dx.0Задача. Опираясь на представление (9.12) преобразования Фурье, докажите лемму 9.4.Теорема 9.3. (формулы обращения) Пусть функция f абсолютно интегрируема на R.

Тогда:1. для тех x ∈ R, для которых существует интеграл Фурье, суперпозиция прямого и обратного преобразований Фурье (в любом порядке)совпадает с интегралом Фурье:F −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) = F I(f, x);2. Если x – точка разрыва и скачка производной функции f , тогдаF −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) =1(f (x + 0) + f (x − 0));23. Если x – точка гладкости или скачка производной функции f , тогдаF −1 [F [f ]](x) = F [F −1 [f ]](x) = f (x).(9.13)Обсуждение. Формулы обращения (9.13) показывают, что при определенныхдополнительных условиях прямое и обратное преобразования Фурье в самомделе являются взаимно обратными. Мы использовали условия Дини-Липшица.(См.

замечание 1 к следствию 2.3.)Доказательство. П. 1 следует из леммы 9.3. П. 2 следует из леммы 9.3 итеоремы 9.1, а п. 3 – из леммы 9.3 и следствия 9.1.Следствие 9.2. (о квадрате преобразования Фурье) Пусть функция f и ееФурье-образ F [f ] АИ на R. Пусть функция f кусочно-гладкая на R. Тогда∀x ∈ R верно F 2 [f (x)] = f (−x).Доказательство. Из первого условия и п. 2 теоремы 9.2 следует, чтоF [F [f ]](x) = F −1 [F [f ]](−x) на R. Из второго условия и п. 3 теоремы 9.3следует, что F −1 [F [f ]](−x) = f (−x) на R.

9.6. Примеры преобразований Фурье. 1. Найдем преобразование Фурье функции f (x) = e−γ|x| (γ > 0), где γ > 0. В силу четности функции,получаем√ ˆ ∞√22γ−γxF [f ](ω) =ecos(ωx)dx =.2π 0π ω + γ2Функции f, F [f ] ∈ LR (R). См. рис. ??????12. Пусть f (x) = x2 +a2 (a > 0). Из примера 1 и следствия 9.2 получаем:1F[ 2]=x + a2√π 1· ·F [2 a√√√√2a2π 2 −a|x|2π −a|−x|2π −a|x|]=F [e]=e=e.π x 2 + a22a2a2aЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР833. Рассмотрим “прямоугольный импульс” в δ-окрестности нуля с амплитудойA: f (x) := A при |x| 6 δ и f (x) ≡ 0 при |x| > δ. Тогда√ˆ δA2 sin(ωδ)−iωxF [f ](ω) = √edx = A.πω2π −δФункция F [f ] не является абсолютно интегрируемой на R (рис. ???).Рис.

???24. Рассмотрим функцию “нормального распределения” f (x) := e−ax (a >0). Тогдаˆ ∞2211F [f ](ω) = √e−ax −iωx dx = √ e−ω /4a2π −∞2a(интеграл сводится заменой к интегралу Эйлера-Пуассона, см. п. 8.4). При a =221/2 Фурье-образ F [e−x /2 ] = e−ω /2 совпадает с прообразом. Т.е. “стандартноенормальное распределение” есть неподвижная точка преобразования Фурье.9.7. Алгебраические операции и дифференцирование.Теорема 9.4. (алгебраические операции и преобразование Фурье) Пустьфункции f и g абсолютно интегрируемы на R.

Тогда имеют место свойства:1. линейности: для любых комплексных α и βF [αf + βg] = αF [f ] + βF [g],F −1 [αf + βg] = αF −1 [f ] + βF −1 [g];2. растяжения аргумента: ∀α ∈ R, α ̸= 0(ω)11 −1 ( ω )F [f (αx)] =F [f ], F −1 [f (αx)] =F [f ];|α|α|α|α3. сдвига аргумента:F [f (x − x0 )] = e−iωx0 F [f ](ω),F −1 [f (x − x0 )] = eiωx0 F −1 [f ](ω).Доказательство. Первый и третий пункты очевидны из определения 9.3.П. 2 следует из определения 9.3 после подстановки t = αx. Пусть α > 0:( )ˆ +∞(ω )1t1−i ωtαF [f (αx)] = √f (t)ed=F [f ].α|α|α2π −∞Задача.

Докажите п. 2 при α < 0 и п. 3 теоремы 9.4.Оказывается, операция дифференцирования функции и ее преобразованиеФурье связаны через умножение на аргумент. Приведем все формулировки иобсудим их.Теорема 9.5. (преобразование Фурье производной) Пусть функция f кусочно-гладкая на любом конечном отрезке; пусть сама функция и ее производнаяf ′ (x) абсолютно интегрируемы на R. ТогдаF [f ′ ](ω) = iωF [f ](ω), F −1 [f ′ ](ω) = −iωF −1 [f ](ω).84Я. М.

ДЫМАРСКИЙСледствие 9.3. Пусть функция f такая, что для некоторого n ∈ N еепроизводная f (n−1) кусочно-гладкая на любом конечном отрезке; пусть самафункция f и ее производные f ′ , ..., f (n) абсолютно интегрируемы на R. Тогда:1.F [f (k) ](ω) = (iω)k F [f ](ω), F −1 [f (k) ](ω) = (−iω)k F −1 [f ](ω), k = 0, ..., n;(2.F [f ](ω) = o1ωn), F −1 [f ](ω) = o(1ωn)при ω → ±∞.Теорема 9.6. (производная преобразования Фурье) Пусть функции f (x) иxf (x) абсолютно интегрируемы на R. Тогда преобразования Фурье функции fявляются непрерывно дифференцируемыми на R функциями иdF [f ](ω) = −iF [xf (x)](ω),dωd −1F [f ](ω) = iF −1 [xf (x)](ω).dωСледствие 9.4.

Пусть функции f (x), xf (x), ... , xn f (x) абсолютно интегрируемы на R. Тогда преобразования Фурье функции f являются n разнепрерывно дифференцируемыми на R функциями и для k = 0, ..., n верноdkF [f ](ω) = (−i)k F [xk f (x)](ω),dω kdk −1F [f ](ω) = ik F −1 [xk f (x)](ω).dω kОбсуждение. Теорема 9.5 и следствие 9.3 не только предлагают метод нахождения Фурье-образа производной, но и оценивают убывание на бесконечности Фурье-образа самой функции в зависимости от ее гладкости: чем глажефункция, тем быстрее убывает на бесконечности ее Фурье-образ (сравните стеоремой 3.3 об убывании коэффициентов Фурье). Теорема 9.6 и следствие 9.4означают, что справедливо и двойственное утверждение: чем быстрее убываетфункция, тем глаже ее Фурье-образ.Доказательство теоремы 9.5.

Покажем, что в условиях теоремы функцияf обладает предельным свойством limx→±∞ f (x) = 0.´ Свойства функции f доxстаточны, чтобы представить ее в виде f (x) = f (0) + 0 f ′ (t)dt. Из абсолютнойинтегрируемости следует существование конечного предела()ˆ xˆ ∞′lim f (x) = lim f (0) +f (t)dt = f (0) +f ′ (t)dt = A ∈ R.x→∞x→∞00Если допустить, что A ̸= 0, то существует такое число x0 , что |f (x)| > |A|/2для всех x > x0 . Что противоречит абсолютной сходимости.

Аналогично рассматривается случай x → −∞.Теперь, опираясь на п. 1 теоремы 9.2, применим преобразование Фурье кпроизводной:ˆ +∞1f ′ (x)e−ixω dx =F [f ′ ](ω) = √2π −∞()x→+∞ ˆ +∞1−ixω −ixω√f (x)e−f (x)e(−iω)dx = iωF [f ](ω). x→−∞2π−∞ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ, ЧЕТВЕРТЫЙ СЕМЕСТР85Доказательство п. 2 следствия 9.3. Из п. 1 следует, что |F [f ](ω)| =|F [f (n) ](ω)|/|ω|n . Поскольку функция f (n) абсолютно интегрируема на R, длянее (в силу п. 4 теоремы 9.2) limω→±∞ F [f (n) ](ω) = 0.

Доказательство теоремы 9.6. Применим лемму 9.1 к функциям xf (x) иg(x, ω) = −ie−ixω на полосе (−∞, +∞) × [0, t], где t – любое число. Получаем:))ˆ +∞ (ˆ tˆ t (ˆ +∞−ixω−ixωf (x)(−ix)edω dx =f (x)(−ix)edx dω. (9.14)−∞0−∞0В интеграле слева сомножитель f (x) выносится из внутреннего интеграла, иˆt(−ix)e−ixω dω =0ˆ0t( −ixω )′edω = e−ixt − 1.ωВнутренний интеграл справа есть Фурье-образ функции (−ix)f (x):ˆ+∞f (x)(−ix)e−ixω dx = F [−ixf (x)](ω).−∞Тождество (9.14) (по переменной t) приобрело вид:ˆ+∞−∞f (x)(e−ixt − 1)dx =ˆtF [−ixf (x)](ω)dω.0Но интеграл слева есть Фурье-образ функции f в точках t и t0 = 0.

Поэтомуˆ tF [f ](t) − F [f ](0) =F [−ixf (x)](ω)dω.0По условию функция (−ix)f (x) абсолютно интегрируема на R, поэтому (теорема 9.2 п. 3) ее Фурье-образ непрерывен. Значит, функция справа непрерывнодифференцируема по t. Следовательно, функция слева – тоже непрерывнодифференцируема. Дифференцируя тождество в точке t = ω, получаем утверждение теоремы.

86Я. М. ДЫМАРСКИЙ§ 10. Обобщенные функцииПонятие обобщенной функции (ОИ) появилось в первой четверти 20 века.В исследованиях по квантовой механике Поль Дирак (1902-1984) ввел “некорректное” понятие дельта-функции – это был первый (и, как оказалось, важнейший) пример обобщенной функции. Сергей Львович Соболев (1908-1989),анализируя понятие решения уравнения в частных производных, создал систематическую теорию, в которой ввел ключевое понятие обобщенной производной. Позже Лоран Шварц (1915-2002) разработал универсальный формализм,которому мы будем следовать.10.1. Предварительное обсуждение.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
664,75 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6487
Авторов
на СтудИзбе
303
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее